8.1.3 功的计算 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦“功的计算”核心内容，围绕巩固功的计算、掌握变力做功方法及理解常见力做功关系展开。通过具体例题（如竖直上抛小球空气阻力做功、水平拉绳做功等）搭建学习支架，衔接恒力做功到变力做功的认知过渡，帮助学生建立知识脉络。 导学案特色显著，以分段法、图像法等多种变力做功方法培养科学思维，结合“捏笔”“拉课本”等实践活动及多样化检测习题提升科学探究能力，深化能量观念，助力学生掌握解题方法并培养物理核心素养。

8.1.3功的计算 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册 学号： 班级： 姓名： 【学习目标】 1. 巩固功的计算． 2. 了解计算变力做功的方法． 3. 理解常见的几种力做功的关系． 【活动方案】 现阶段，求变力做功的方法实质上就是转化为恒力做功的计算．今后，我们还要学习利用动能定理或能量的转化与守恒计算变力的功． 1. 分段法．力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功． 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　) A. 0　 B. －Fh　 C. －2Fh　 D. －4Fh 2. 转换研究对象法．拉力对物体来说是变力（大小不变，方向改变），但拉绳的力却是恒力，于是可以转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对物体做的功． 如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力F＝100 N的作用下从A点运动到B点．不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，H＝2.4 m，α＝37°，β＝53°，求绳的拉力对物体所做的功．（已知sin 37°＝0.6） 3. 图像法．在v-t图像中，图线与t轴所围的“面积”表示位移. 类似地，在F-l图像中，若能求出图线与l轴所围的面积，则这个“面积”即为F在这段位移l上所做的功． 用质量为5 kg的均匀铁索，从10 m深的井中吊起一质量为20 kg的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，g取10 m/s2，求在这个过程中人所做的功． 4. 平均值法．当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化（如图所示）时，即F是位移l的线性函数，则平均力 ＝，由W＝l cos α求功． 请将活动一3中的问题再用平均值法求解一遍． 5. 微元法．当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积． 如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法错误的是(　　) A. 重力做功为mgL B. 悬线的拉力做功为0 C. 空气阻力做功为－mgL D. 空气阻力做功为－F阻πL 6. 功率定义法．当机车以恒定功率运动时，可以用W＝Pt求解牵引力所做的功． 一辆汽车以恒定的输出功率P＝75 kW在一条平直的公路上加速行驶，在t＝20 s内前进了x＝500 m，求牵引力在这段时间内所做的功． 1. 如图所示，物体A、B叠放在光滑的地面上，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B向右匀速运动．用F拉、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，在A没有滑离B的过程中，下列叙述中错误的是(　　) A. F做正功 B. F拉做正功 C. FAB做负功，FBA不做功 D. F和FAB做功的代数和为零 2. 归纳下列两个关系，并举例验证． (1)作用力与反作用力做功之间的关系：_____________________________________________________________________________________________________. (2)一对平衡力做功之间的关系：___________________________________________________________________________________________________________. 1. 做一做：用拇指和食指捏住笔，笔杆处于竖直方向． (1)匀速移动手，说一说手对笔的静摩擦力的做功情况． (2)分析手、笔间互为作用力和反作用力的一对静摩擦力做功的代数和． 2. 做一做：将橡皮放到课本上表面，快速拉动课本，让课本和橡皮发生相对运动；将手指压在桌面上，并在水平面内任意移动手指． (1)说一说滑动摩擦力可能的做功情况． (2)分析互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力做功的代数和． 【检测反馈】 1. 下列关于力对物体做功的说法正确的是(　　) A. 静摩擦力对物体一定不做功 B. 滑动摩擦力对物体一定做功 C. 一对平衡力对物体做功的代数和一定为零 D. 合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态 2. 在机械化生产水平较低时，人们经常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心O的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为(　　) A. 0 B. 2πrF　 C. 2Fr D. －2πrF 3. 如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆，则小物块运动到x0处时拉力F做的功为(　　) 甲 乙 A. 0 B. Fmx0　 C. Fmx0 D. x 4. 如图所示，均匀长木板长l＝40 cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量为m＝2 kg，与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2.今用水平推力F将其匀速推下桌子，则水平推力做功为（g取10 m/s2）(　　) A. 0.8 J B. 1.6 J C. 8 J D. 4 J 5. 如图所示，质量为m的滑块（可视为质点），从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受到的摩擦力大小恒为Ff，则滑块(　　) A. 从A到B过程，重力做功为零 B. 从A到B过程，弹力对滑块做正功 C. 从A到B过程，摩擦力做功为－πRFf D. 从A到C过程，摩擦力做功为－πRFf 6. 如图甲所示的救生缓降器由挂钩（或吊环）、吊带、绳索及速度控制装置等组成，是一种可使人沿（随）绳（带）缓慢下降的安全营救装置．如图乙所示，高层建筑工人在一次险情中，将安全带系于腰部，从离地面某高度处通过钢丝绳先匀加速运动后匀减速运动安全着陆，图丙是工人运动全过程的v-t图像．已知工人的质量m＝70 kg，g取10 m/s2，下列说法中错误的是(　　) A. 发生险情处离地面的高度为45 m B. 加速下滑时，钢丝绳对工人的拉力大小为280 N C. 整个过程中工人重力做功为3 150 J D. t＝4 s时钢丝绳对工人拉力的瞬时功率为11 970 W 甲 乙 丙 甲 乙 （第6题）　　　　　　 　　　　（第7题） 7. 放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，其在0～6 s内的速度—时间图像和该拉力的功率—时间图像如图甲、乙所示．下列说法正确的是(　　) A. 0～6 s内物体的位移大小为20 m B. 0～6 s内拉力做功为100 J C. 合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等 D. 摩擦力的大小为5 N 8. 如图所示，一轻质立方体被从水表面缓慢压入水中，直至其上表面没入水中，已知立方体的棱长为L，水的密度为ρ，重力加速度为g，不考虑水面高度的变化．该过程中，立方体克服水的浮力所做的功为(　　) A. 　　 B. 　 C. ρgL2　　 D. ρgL4 9. 如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m＝10 kg的物体，以大小为a＝2 m/s2的加速度匀加速上升，求前3 s内力F做的功．（g取10 m/s2） 10. 一列火车质量为1.0×105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍，其牵引力的大小与火车前进的距离是线性关系，且F＝103x＋f0（f0是火车所受的阻力）.当此火车前进100 m时，牵引力所做的功是多少？（g取10 m/s2） 【参考答案】 【活动方案】 活动一： 1. C　小球在上升过程和下落过程中空气阻力都阻碍小球运动，都做负功，所以全过程中空气阻力对小球做功为WF＝WF上＋WF下＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh.C正确． 2. 恒力作用在绳的端点，端点沿力F的方向移动的距离为l，即为滑轮左侧绳子长度的减小量， 故l＝－＝1 m， 拉力对绳做的功W＝Fl＝100 J， 绳子对物体做的功也等于100 J. 3. 由F-h图线与h轴所围“面积”的物理意义，得拉力做功W＝×10 J＝2 250 J. 4. 提升物体过程中拉力对位移的平均值 ＝ N＝225 N， 故该过程中拉力做功W＝h＝2 250 J. 5. C　重力方向上摆球发生的位移为L，因此重力做的功为mgL，A正确；悬线上的拉力总与运动方向垂直，故拉力做功为零，B正确；空气阻力时刻改变方向，但把过程分成很多小段，则空气阻力总与对应段的位移方向相反，故全程中空气阻力的功等于各小段的功的总和，为－F阻πL，C错误，D正确．故选C. 6. W＝Pt＝1.5×106 J. 活动二： 1. B 2. (1)作用力做功与反作用力做功没有必然的联系，应该具体情况具体分析． (2)一对平衡力作用在同一物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功均为零或一正一负且代数和为零． 活动三： 1. (1)可能做正功，也可能做负功，还可能不做功(手水平移动时). (2)为零． 2. (1)可能做正功，也可能做负功，还可能不做功(桌面虽然受到了滑动摩擦力，但桌子的位移为零). (2)为负． 【检测反馈】 1. C　如果静摩擦力是动力或者阻力，就会对物体做正功或者负功，A错误；如果滑动摩擦力既不是动力也不是阻力，就对物体不做功，B错误；一对平衡力要么对物体都不做功，要么一个正功一个负功且代数和为零，C正确；根据匀速圆周运动的知识可知D错误． 2. B　由题可知，推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，为圆周切线方向，根据微元法可知，推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，所以推力所做的功W＝FL＝2πrF，故B正确． 3. C　由于水平面光滑，所以拉力F即为合外力，F随物块所在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功，即W＝F＝x＝Fmx0，C正确． 4. A　只要将木板的重心推离桌面，木板就会掉下桌面，由滑动摩擦力公式得f＝μN＝μmg＝0.2×2×10 N＝4 N，F＝f，W＝Fl＝4×0.2 J＝0.8 J，A正确． 5. D　滑块从A到B过程，重力做功不为零，A错误；弹力始终与速度方向垂直，弹力做功为零，B错误；从A到B过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功为W1＝－FfsAB＝－Ff(×2πR)＝－πRFf，C错误；同理，滑块从A到C过程，摩擦力做功W2＝－Ff＝－πRFf，D正确． 6. C　根据速度—时间图像的面积表示位移，则发生险情处离地面的高度为x＝×5×18 m＝45 m，A正确；根据速度—时间图像的斜率表示加速度，则有a＝＝ m/s2＝6 m/s2，根据牛顿第二定律有mg－F＝ma，解得F＝280 N，B正确；整个过程中工人重力做功为WG＝mgh＝70×10×45 J＝31 500 J，C错误；t＝4 s时的加速度为a′＝＝ m/s2＝－9 m/s2，根据牛顿第二定律有mg－F′＝ma′，解得F′＝1 330 N，根据图像可知t＝4 s时的速度为v＝9 m/s，t＝4 s时，钢丝绳对工人拉力的瞬时功率为P＝F′v＝11 970 W，D正确．故选C. 7. C　0～6 s内物体的位移大小等于v-t图像中图线与横坐标轴所包围的面积，为x＝(×2×6＋4×6) m＝30 m，故A错误；0～2 s 由图乙可知，当P＝30 W时，v＝6 m/s，得拉力大小F1＝＝ N＝5 N，在0～2 s内物体位移为x1＝6 m，则拉力做的功为W1＝F1x1＝5×6 J＝30 J，2～6 s内拉力做的功为W2＝Pt＝10×4 J＝40 J，所以0～6 s内拉力做的总功为W＝30 J＋40 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，物体匀速运动，合力做功为0，则合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等，故C正确；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，有摩擦力f＝F2，得f＝F2＝＝ N，故D错误． 8. B　设浸入的深度为x，则浮力的大小为F＝ρgV＝ρgL2x，可见浮力与浸入水中的深度成正比．则克服浮力做的功为W＝·L＝L＝，故B正确． 9. 物体受到两个力的作用：拉力F′和重力mg， 由牛顿第二定律得F′－mg＝ma， 所以F′＝m(g＋a)＝10×(10＋2) N＝120 N， F＝F′＝60 N， 物体从静止开始运动，3 s内的位移为 l＝at2＝×2×32 m＝9 m， 力F作用点为绳的末端，而在物体发生9 m位移的过程中，绳的端点的位移为2l＝18 m， 所以，力F做的功W＝F×2l＝60×18 J＝1 080 J． 10. 方法一：用平均力来求功．由于阻力f0＝0.05mg＝0.05×1.0×105×10 N＝5×104 N，又由牵引力与前进距离x的关系式F＝103x＋f0可知， 当x＝0时，牵引力F1＝f0＝5×104 N， 当x＝100 m时，牵引力 F2＝103×100 N＋5×104 N＝1.5×105 N， 所以在这一过程中牵引力的平均值为 ＝＝1.0×105 N， 因此该火车前进100 m的过程中，牵引力做的功为 W＝x＝1.0×105×100 J＝1.0×107 J. 方法二：用图像法求解．因为阻力 f0＝0.05mg＝0.05×1.0×105×10 N＝5×104 N， 则牵引力的表达式为F＝(103x＋5×104) N， 其牵引力与位移的关系图像如图所示，则图像所包含的“面积”(阴影部分)即表示牵引力所做的功，所以W＝×(0.5＋1.5)×105×100 J＝1.0×107 J． 学科网（北京）股份有限公司 $