微专题29　直线与圆锥曲线的位置关系讲义-2026届高三数学二轮复习

微专题29　直线与圆锥曲线的位置关系 近几年高考：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题,难度中等. 一、高考真题 1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A. B. C.- D.- 3.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 4.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　　　.  5.(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 二．典型例题 1.中点弦问题 例1 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线x-y+=0与椭圆C相交于不同的两点A,B.若P为线段AB的中点,O为坐标原点,直线OP的斜率为-,则椭圆C的方程为(　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 (2)(2025·南通二模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2-=1,过左焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C交于A,B两点,设线段AB的中点为M,若|OM|=2,则实数k的值为　　　　　　.  规律方法　1.处理中点弦问题的常用方法:(1)根与系数的关系;(2)点差法;(3)常用结论. 2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交. 训练1 (1)(2025·宝鸡调研)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(6,-2),则双曲线E的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (2)(2025·福建名校大联考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)分别交于A,B两点.若线段AB的中点的横坐标是m,则该双曲线的离心率为　　　　.  2.弦长问题 例2 (2025·石家庄调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为第一象限内C上的一点,直线AF2与C的另一个交点为B,且|AB|=|AF1|. (1)证明:|BF1|=2|AF2|; (2)若|AF2|=1,|BF2|=2,求直线AF1被C截得的弦长. 易错提醒　1.设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等. 2.涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉. 3.|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立. 训练2 (2025·淄博模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=,点P在双曲线上 (1)求双曲线C的标准方程; (2)点F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,过点F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点, 若△ABF1的周长为12,求直线l的方程. 3.面积问题 例3 (2025·北京西城区模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A为椭圆E上一点,且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2. (1)求椭圆E的方程; (2)若A关于原点O的对称点为B,过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C,AH⊥x轴于点H,直线BC与x轴交于点M.用S△BOM与S△AOH分别表示△BOM与△AOH的面积, 证明:S△BOM=2S△AOH. 规律方法　圆锥曲线中求解三角形面积的方法 (1)常规面积公式:S=×底×高. (2)正弦面积公式:S=absin C. (3)铅锤水平面面积公式: ①过x轴上的定点:S=a|y1-y2|(a为x轴上定长);②过y轴上的定点:S=a|x1-x2|(a为y轴上定长). 训练3 (2025·南昌二模)已知抛物线C:y2=4x,过点D(4,0)作斜率大于0直线l与曲线C交于A,B两点.原点O关于AB的对称点记为M点. (1)求证:OA⊥OB: (2)当M在抛物线C上时,求△ABM的面积. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·兰州诊断)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与E交于A,B两点,点M为线段AB的中点,若点M的横坐标为p,|AB|=12,则p=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2025·柳州三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0).若直线3x+2y=0与C没有公共点,则C的离心率的范围为(　　) A. B. C. D. 3.已知椭圆C:+=1,过点P的直线与椭圆C交于A,B两点且AB的中点为P,则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 4.(2025·石家庄检测)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若|F1A|=2|F1B|,则|AB|=(　　) A.4 B.2 C.4 D.4 5.已知F1为椭圆+=1的左焦点,过F1作倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　) A. B. C. D.3 6.(2025·金丽衢十二校联考)设抛物线C:x2=4y的焦点为F,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=7,则cos ∠AFB的值为(　　) A.0 B.- C.- D.- 7.已知过双曲线C:-=1的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A,B,过原点与弦AB中点D的直线交直线x=-于点E,若△AFE为等腰直角三角形,则直线l的方程可以为(　　) A.x+(3-2)y+2=0 B.x-(3+2)y+2=0 C.x+(3-2)y-2=0 D.x+(3+2)y+2=0 8.抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则=(　　) A. B. C. D. 二、多选题 9.(2025·邵阳二模)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C的右支交于A,B两点,则(　　) A.直线y=x-1与C恰有两个公共点 B.双曲线C的离心率为 C.当∠F1AF2=60°时,△AF1F2的面积为5 D.当直线AB的斜率为k1,过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时,k1k2= 10.(2025·南昌调考)已知直线l:y=kx(k≠0)与椭圆+=1交于A,B两点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M,N分别为椭圆的左、右顶点,F2关于直线l的对称点Q在椭圆上,则(　　) A.l∥F1Q B.若椭圆的离心率为,则直线MA,MB的斜率之积为- C.若直线BQ平行于x轴,则k=± D.若k=2,则椭圆的离心率为 11.(2025·昆明诊断)已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线与C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的有(　　) A.弦AB的最小值为8 B.弦AB的中点到准线的距离小于 C.存在弦AB,使得AB的中点坐标为 D.当AB⊥OF时,|OA|·|OB|=5 三、填空题 12.(2025·深圳模拟)已知双曲线C:x2-y2=1,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作倾斜角为60°的直线与双曲线C交于M,N两点,则△MNF1的周长为　　　　.  13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点为A,过A,F的直线l与椭圆C交于另一点B,若直线l的斜率为1,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为　　　　.  14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1,0),一条切线的方程为x+y=7,则C的离心率e=　　　　.  四、解答题 15.(2025·豫西北教研联盟质检)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点G在椭圆C上,且关于原点的对称点为H,四边形GF1HF2的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F2作直线l与C交于A,B两点,△F1AB的面积为,求l的方程. 16.(2025·嘉兴调研)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为4,一个焦点为F(1,0). (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)过点F且斜率存在的直线交椭圆E于A,B两点,在x轴上是否存在点M,使得=?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题29　直线与圆锥曲线的位置关系 近几年高考：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题,难度中等. 一、高考真题 1.(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　抛物线的焦点坐标为,其到直线x-y+1=0的距离d==, 解得p=2(p=-6舍去). 2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A. B. C.- D.- 答案　C 解析　由题意,F1(-,0),F2(,0),△F1AB面积是△F2AB面积的2倍, 所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍, 即=2×, 解得m=-或m=-3(此时直线与椭圆C不相交,舍去),故选C. 3.(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 答案　D 解析　法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上, 得两式作差,得-=, 即(x1-x2)(x1+x2)=, 化简得=9, 即·=kAB·=9, 因此kAB=9·. 由双曲线方程可得渐近方程为y=±3x,如图. 对于A,因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意; 对于B,因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意; 对于C,kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意; 对于D,因为kAB=9×=<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意. 法二　选项中的点均位于双曲线两支之间,故A,B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称,设线段AB的中点坐标为(x0,y0), 则|kAB|=9||<3,即|y0|>3|x0|, 结合选项可知选D. 4.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　　　.  答案　 解析　由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0). 因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±. 5.(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 解　(1)由题意得2a=4,解得a=2. 由e==,得c=a=, 又b2=a2-c2,所以b=. 所以C的方程为+=1. (2)由题意得l的斜率存在且不为0,设斜率为k,则直线l的方程为y=kx-2, 联立消去y并化简得(1+2k2)x2-8kx+4=0, 由Δ=16(2k2-1)>0,得k2>, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 设直线l与x轴交于点M,则M, S△AOB=|OM||y1-y2|=|(kx1-2)-(kx2-2)|=|x1-x2|===, 解得k2=. 所以|AB|=|x2-x1|=×=. 二．典型例题 1.中点弦问题 例1 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线x-y+=0与椭圆C相交于不同的两点A,B.若P为线段AB的中点,O为坐标原点,直线OP的斜率为-,则椭圆C的方程为(　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 (2)(2025·南通二模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2-=1,过左焦点F且斜率为k(k>0)的直线l与双曲线C交于A,B两点,设线段AB的中点为M,若|OM|=2,则实数k的值为　　　　　　.  答案　(1)B　(2) 解析　(1)因为过椭圆上两点A,B的直线x-y+=0过点F(-,0), 所以c=且kAB=1, 可得kAB=-·=-·=1, 所以=,即a2=2b2=b2+c2, 所以b=c=,a=2, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)法一　由双曲线C:x2-=1, 可得a2=1,b2=3, 则c==2, 所以双曲线C的左焦点为F(-2,0), 设过左焦点F且斜率为k(k>0)的直线l的方程为y=k(x+2), 联立方程组 整理得(3-k2)x2-4k2x-(4k2+3)=0,其中k≠, 设A(x1,y1),B(x2,y2),且M(x0,y0), 则x1+x2=, 则x0==, 可得y0=k(x0+2)=, 即M, 因为|OM|=2,所以=2, 可得=4,解得k2=, 又因为k>0,所以k=. 法二　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则·=3, 即kAB·=3. 又F(-2,0),故kAB=, 则·=3. 即=3+6x0, 又|OM|2=+=4, 则2+3x0-2=0, 解得 因为k=kAB>0, 故则k=kAB=. 规律方法　1.处理中点弦问题的常用方法:(1)根与系数的关系;(2)点差法;(3)常用结论. 2.利用点差法需注意保证直线与曲线相交. 训练1 (1)(2025·宝鸡调研)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(5,0),过点F的直线交双曲线E于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(6,-2),则双曲线E的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 (2)(2025·福建名校大联考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)分别交于A,B两点.若线段AB的中点的横坐标是m,则该双曲线的离心率为　　　　.  答案　(1)D　(2) 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 两式相减得=·, 即=·,化简得3b2=2a2, 又c=5,c2=a2+b2, 解得a2=15,b2=10, 所以双曲线E的方程为-=1. (2)法一　由线段AB的中点的横坐标是m, 得线段AB的中点的纵坐标是m. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去x得(9b2-a2)y2-6b2my+b2(m2-a2)=0, Δ=36b4m2-4b2(9b2-a2)(m2-a2) =4a2b2·(9b2+m2-a2)>0, 因此,y1+y2==, 整理得a2=4b2,显然Δ>0成立, 所以该双曲线的离心率e===. 法二　易知直线x-3y+m=0的斜率为kAB=,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 两式相减得·=, 又AB的中点横坐标为m, 则其纵坐标为m, 则×=×==, 则双曲线的离心率为e===. 2.弦长问题 例2 (2025·石家庄调研)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为第一象限内C上的一点,直线AF2与C的另一个交点为B,且|AB|=|AF1|. (1)证明:|BF1|=2|AF2|; (2)若|AF2|=1,|BF2|=2,求直线AF1被C截得的弦长. (1)证明　由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,① 由题意,|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|,② 将②代入①可得2|AF2|+|BF2|=|BF1|+|BF2|, 故得|BF1|=2|AF2|. (2)解　若|AF2|=1,|BF2|=2, 此时|AF1|=|AB|=1+2=3,所以|AF1|+|AF2|=2a=4,则a=2. 由(1),|BF1|=2|AF2|=2=|BF2|,即点B为椭圆C的下顶点. 在△ABF1中,由余弦定理,得cos ∠F1BA===, 在△BF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|= ==, 则F1,F2. 设曲线C的半焦距为c,此时c=, 又b2=a2-c2=4-=, 所以B,椭圆C的方程为+=1. 因为=2, 所以=2,解得A, 所以直线AF1的斜率为==, 此时直线AF1的方程为y=. 联立 消去y得7x2+x-24=0(*). 设方程(*)的两个实数根分别为x1,x2, 则x1+x2=-,x1x2=-, 故直线AF1被曲线C截得的弦长为 |x1-x2|==×=. 易错提醒　1.设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等. 2.涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉. 3.|AB|=x1+x2+p是抛物线过焦点的弦的弦长公式,其他情况该公式不成立. 训练2 (2025·淄博模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),离心率e=,点P在双曲线上 (1)求双曲线C的标准方程; (2)点F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,过点F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点, 若△ABF1的周长为12,求直线l的方程. 解　(1)由题意可得==, 则=,即a2=4b2, 又因为点P在双曲线上, 所以-=1, 解得b2=1,a2=4, 所以双曲线C的标准方程为-y2=1. (2)因为△ABF1的周长为12,所以|AB|+|AF1|+|BF1|=12,① 由双曲线的定义可得 |AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4, 所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=|AF1|+|BF1|-|AB|=8,② 所以由①②可得|AB|=2, 由(1)知c2=a2+b2=5,所以F2(,0), 因为直线l的斜率不为0, 所以设l:x=my+, 则联立直线与双曲线方程 消去x得(m2-4)y2+2my+1=0,(*) 当m2-4=0,即m=±2,直线与双曲线只有一个交点,不合题意,所以m2-4≠0, 设方程(*)的两实根分别为y1,y2, 则y1+y2=-,y1y2=, 所以|AB|= = = ===2, 解得m2=-6(舍去)或m2=, 所以m=±, 直线l的方程为x=±y+, 即3x±y-3=0. 3.面积问题 例3 (2025·北京西城区模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A为椭圆E上一点,且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2. (1)求椭圆E的方程; (2)若A关于原点O的对称点为B,过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C,AH⊥x轴于点H,直线BC与x轴交于点M.用S△BOM与S△AOH分别表示△BOM与△AOH的面积, 证明:S△BOM=2S△AOH. (1)解　因为点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于2, 所以2a=2,解得a=, 因为椭圆的离心率为,所以c=2, 则b2=a2-c2=2, 所以椭圆E的方程为+=1. (2)证明　由题意,设点A(x0,y0)(x0y0≠0),则点B(-x0,-y0),H(x0,0). 设直线BC的方程为y+y0=k(x+x0),C(xC,yC). 联立消去y并整理 得(3k2+1)x2+6k(kx0-y0)x+3-6=0. 所以Δ>0,-x0+xC=,-x0xC=, 故xC=+x0, yC=kxC+kx0-y0=+2kx0-y0. 又因为AB⊥AC,所以·=(x0,y0)·=0, 去分母化简得到(y0-kx0)(y0-3kx0)=0, 所以y0=kx0或y0=3kx0. 当y0=kx0时,直线BC过原点,不符合题意. 当y0=3kx0时,直线BC的方程为y=kx-2kx0,则点M坐标为(2x0,0), 所以S△AOH=×|OH|×|y0|=|x0y0|,S△BOM=×|OM|×|y0|=|x0y0|. 故S△BOM=2S△AOH. 规律方法　圆锥曲线中求解三角形面积的方法 (1)常规面积公式:S=×底×高. (2)正弦面积公式:S=absin C. (3)铅锤水平面面积公式: ①过x轴上的定点:S=a|y1-y2|(a为x轴上定长);②过y轴上的定点:S=a|x1-x2|(a为y轴上定长). 训练3 (2025·南昌二模)已知抛物线C:y2=4x,过点D(4,0)作斜率大于0直线l与曲线C交于A,B两点.原点O关于AB的对称点记为M点. (1)求证:OA⊥OB: (2)当M在抛物线C上时,求△ABM的面积. (1)证明　设直线l的方程为x=my+4(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立直线与抛物线方程消去x 得y2-4my-16=0,此时Δ=16m2+64>0, 由根与系数的关系得y1y2=-16,y1+y2=4m,x1x2===16, ·=x1x2+y1y2=16+(-16)=0, 所以OA⊥OB. (2)解　设O关于直线l的对称点M(x0,y0), 则 解得x0=,y0=, 即M, 又因为点M在抛物线C上,则=,解得m=1. 所以y1+y2=4,y1y2=-16, 所以|y1-y2|= ==4, 所以S△MAB=S△OAB=|OD|·|y1-y2| =×4×4=8. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2025·兰州诊断)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与E交于A,B两点,点M为线段AB的中点,若点M的横坐标为p,|AB|=12,则p=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题设知x1+x2=2p,则|AB|=x1+x2+p=3p=12,得p=4. 2.(2025·柳州三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0).若直线3x+2y=0与C没有公共点,则C的离心率的范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　双曲线的一条渐近线为y=±x,因为直线3x+2y=0与双曲线无公共点, 故有-≥-,即≤,==e2-1≤,所以e2≤,所以e≤. 所以e的范围为. 3.已知椭圆C:+=1,过点P的直线与椭圆C交于A,B两点且AB的中点为P,则坐标原点O到直线AB的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案　B 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 两式相减得+=0, 由条件可知x1+x2=1,y1+y2=3, 即+=0, 并且由对称性可知x1≠x2,所以=-1, 所以直线AB的斜率为-1, 所以直线AB的方程为y-=-, 即x+y-2=0, 所以原点O到直线AB的距离d==. 4.(2025·石家庄检测)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若|F1A|=2|F1B|,则|AB|=(　　) A.4 B.2 C.4 D.4 答案　A 解析　因为双曲线C的标准方程为-=1, 所以a=2,b=2,c=2. 由题意知过坐标原点的直线与双曲线左、右支各交于一点,不妨设点A在第一象限. 如图所示,连接F2A. 因为点A,B关于坐标原点对称, 所以|F1B|=|F2A|, 又|F1A|=2|F1B|, 所以|F1A|=2|F2A|. 由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2|F2A|-|F2A|=|F2A|=2a=4, 所以|F2A|=4,|F1A|=8, 又|F1F2|=4, 所以|F1F2|2+|F2A|2=|F1A|2, 则F1F2⊥F2A, 所以|AB|=2|OA|=2=4,故选A. 5.已知F1为椭圆+=1的左焦点,过F1作倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　) A. B. C. D.3 答案　A 解析　如图, 因为直线AB的倾斜角为, 所以斜率为, 又直线AB过点F1(-,0), 所以直线AB:y=(x+), 联立 消去x并整理得11y2-12y-36=0, Δ=144+4×11×36>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=-, 所以|y1-y2|===, 所以S△AOB=·|OF1|·|y1-y2|=××=. 6.(2025·金丽衢十二校联考)设抛物线C:x2=4y的焦点为F,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=7,则cos ∠AFB的值为(　　) A.0 B.- C.- D.- 答案　B 解析　抛物线x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),准线方程为y=-1, 设直线AB的方程为y=x+b, 联立 消y可得x2-2x-4b=0, 方程x2-2x-4b=0的判别式Δ=4+16b>0, 故b>-, 设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设x1<x2, 由已知x1,x2为方程x2-2x-4b=0的根, 所以x1+x2=2,x1x2=-4b, 设点A,B在准线上的投影分别为A1,B1, 因为|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=7, 所以y1+1+y2+1=7, 故x1+b+x2+b=5, 所以b=2, 即x1,x2为方程x2-2x-8=0的根, 故x1=-2,x2=4, 所以|AF|=y1+1=x1+2+1=2, |BF|=y2+1=x2+2+1=5, 又|AB|=|x2-x1|=3, 由余弦定理, cos ∠AFB= ==-.故选B. 7.已知过双曲线C:-=1的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A,B,过原点与弦AB中点D的直线交直线x=-于点E,若△AFE为等腰直角三角形,则直线l的方程可以为(　　) A.x+(3-2)y+2=0 B.x-(3+2)y+2=0 C.x+(3-2)y-2=0 D.x+(3+2)y+2=0 答案　A 解析　由题意知F(-2,0) 设l:x=my-2(m≠±), 因为若△AEF为等腰直角三角形,且∠AFE为直角, 所以直线EF的方程为y=-m(x+2), 令x=-,得y=-m, 即E. 设A(x1,y1),由|EF|=|AF|可得==, 解得y1=±. 又-=1,所以x1=-, 所以m=±(3-2), 从而直线l的方程为x+(3-2)y+2=0或x-(3-2)y+2=0. 8.抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C.若|BF|=3,则=(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由抛物线y2=4x得抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2), 过A,B分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为E,N,则|BF|=|BN|=x2+1=3,所以x2=2,把x2=2代入y2=4x,可得y2=±2,即点B(2,-2)或B(2,2). 当点B(2,-2)时,点A在x轴上方,即y1>0,如图1,由=4x1,可得y1=2, 即A(x1,2), 因为M(,0)且kAM=kMB,即=,所以x1=3, 所以|AE|=3+1=4,所以==. 当点B(2,2)时,点A在x轴下方,即y1<0, 如图2,由=4x1,可得y1=-2, 即A(x1,-2), 因为M(,0)且kAM=kMB, 即=,解得x1=3, 所以|AE|=3+1=4,所以==. 综上,可得=.故选A. 二、多选题 9.(2025·邵阳二模)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与C的右支交于A,B两点,则(　　) A.直线y=x-1与C恰有两个公共点 B.双曲线C的离心率为 C.当∠F1AF2=60°时,△AF1F2的面积为5 D.当直线AB的斜率为k1,过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时,k1k2= 答案　BC 解析　对于A,联立 可得所以直线y=x-1与C恰有一个公共点,A错; 对于B,对于双曲线C,则a=2,b=,c==3, 所以双曲线C的离心率为e==,B正确; 对于C,设|F1A|=m,|F2A|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a=4, 由余弦定理可得=4c2=36=m2+n2-2mncos 60°=m2+n2-mn=(m-n)2+mn=16+mn, 可得mn=20,则=mnsin 60°=×20×=5,C正确; 对于D,设点A(x1,y1),B(x2,y2), 线段AB的中点为M, 则k1=,k2==, 则k1k2=, 由题意可得 所以-=0, 则k1k2==,D错误. 10.(2025·南昌调考)已知直线l:y=kx(k≠0)与椭圆+=1交于A,B两点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M,N分别为椭圆的左、右顶点,F2关于直线l的对称点Q在椭圆上,则(　　) A.l∥F1Q B.若椭圆的离心率为,则直线MA,MB的斜率之积为- C.若直线BQ平行于x轴,则k=± D.若k=2,则椭圆的离心率为 答案　AC 解析　如图,直线l与QF2交于G, 对于A,由题意可知OG是△P1P2Q的中位线,故l∥F1Q,故A正确; 对于B,设A(xA,yA), 则B(-xA,-yA),且+=1, 即=, 且==1-=1-=, 所以kMAkMB=·===-=-,故B错误; 对于C,设点B(xB,yB),则直线l:y=x, 因为直线BQ平行于x轴, 所以点Q(-xB,yB),F2Q的中点G, 所以由点G在直线l上,且kl=-1得 解得xB=c,=, 即yB=±c, 因此k===±,故C正确; 对于D,若k=2,设F2(c,0)关于直线y=2x的对称点Q(xQ,yQ), 则 解得xQ=-c,yQ=c. 因为Q在椭圆上,将Q点坐标代入椭圆方程+=1, 即+=1, 又b2=a2-c2, 化简可得9c4-50a2c2+25a4=0, 等式两边同时除以a4, 则9e4-50e2+25=0, 解得e2=或e2=5(舍去), 所以e=,故D错误.故选AC. 11.(2025·昆明诊断)已知抛物线C:y2=4x,过焦点F的直线与C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的有(　　) A.弦AB的最小值为8 B.弦AB的中点到准线的距离小于 C.存在弦AB,使得AB的中点坐标为 D.当AB⊥OF时,|OA|·|OB|=5 答案　BD 解析　由题意知,焦点F(1,0),准线方程为直线x=-1, 令A,B. 对于A,当过焦点F的直线为x=1时,设A为上交点,易得A(1,2),B(1,-2), 此时|AB|min=4,故A错误; 对于B,设AB的中点为E,过A,B,E分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q, 如图,则|EQ|=(|AM|+|BN|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,而|AB|<|OA|+|OB|,所以|EQ|<(|OA|+|OB|),故B正确; 对于C,由抛物线的性质可知y1y2=-p2=-4.① 若存在弦AB,使得AB中点的坐标为, 则 都不满足①式,故C错误; 对于D,当AB⊥OF时, 由对称性,不妨取A(1,2),B(1,-2),则|OA|=|OB|=,所以|OA|·|OB|=5,故D正确. 三、填空题 12.(2025·深圳模拟)已知双曲线C:x2-y2=1,左、右焦点分别为F1,F2,过F2作倾斜角为60°的直线与双曲线C交于M,N两点,则△MNF1的周长为　　　　.  答案　12 解析　因为F1(-,0),F2(,0), 所以直线MN为y=tan 60°(x-)=(x-), 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由 得2x2-6x+7=0, 则x1+x2=3,x1x2=, 所以|MN|=· =2=4, 因为|MF1|=|MF2|+2,|NF1|=|NF2|+2, 所以|MF1|+|NF1|=|MF2|+|NF2|+4=|MN|+4=8, 所以|MF1|+|NF1|+|MN|=12. 13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点为A,过A,F的直线l与椭圆C交于另一点B,若直线l的斜率为1,且|AB|=,则椭圆C的标准方程为　　　　.  答案　+=1 解析　设F(c,0), 由题意知,b=c,a=c,直线l的方程为y=x-c, 与椭圆C的方程联立化简得3x2-4cx=0, 所以xA=0,xB=c, 故|AB|=·|xB-xA|=c=, 解得c=,所以b=,a=2, 椭圆C的方程为+=1. 14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1,0),一条切线的方程为x+y=7,则C的离心率e=　　　　.  答案　 解析　联立直线与椭圆方程 可得(a2+b2)x2-14a2x+49a2-a2b2=0, 则有Δ=196a4-4(a2+b2)(49a2-a2b2)=0, 化简得a4b2+a2b4=49a2b2, 又a>b>0,故a2+b2=49, 又椭圆的一个焦点的坐标为(1,0), 故有a2-b2=1, 则a2=25,故a=5,则e=. 四、解答题 15.(2025·豫西北教研联盟质检)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点G在椭圆C上,且关于原点的对称点为H,四边形GF1HF2的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)过点F2作直线l与C交于A,B两点,△F1AB的面积为,求l的方程. 解　(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0), 如图,连接HG,则HG过点O,|OG|=|OH|, 又|OF1|=|OF2|, 所以四边形GF1HF2为平行四边形, 设其面积为S,则S=2c·=,所以c=1, 所以a2-b2=c2=1, 又+=1, 所以a2=4,b2=3, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)易知l的斜率不为0,设l:x=my+1, A(x1,y1),B(x2,y2). 联立得 得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ>0, 所以y1+y2=,y1y2=. 所以|y1-y2|==, 由=|F1F2||y1-y2|==, 解得m=±1, 所以l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 16.(2025·嘉兴调研)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为4,一个焦点为F(1,0). (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)过点F且斜率存在的直线交椭圆E于A,B两点,在x轴上是否存在点M,使得=?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 解　(1)由题意,得2a=4,c=1, 所以b2=a2-c2=3. 所以椭圆E的方程为+=1, 离心率e==. (2)假设存在x轴上的点M(m,0), 设直线AB的方程为y=k(x-1)(显然k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程 整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 所以x1+x2=,x1x2=. 法一　因为==. 又=, 所以sin ∠AMF=sin ∠BMF. 所以∠AMF=∠BMF,直线AM的斜率与直线BM的斜率互为相反数. 设直线AM的斜率为k1,直线BM的斜率为k2, k1+k2=+=0, 整理可得=0, k(x1-1)(x2-m)+k(x2-1)(x1-m)=0, 因为k≠0, 所以(x1-1)(x2-m)+(x2-1)(x1-m)=0, 则2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m=0, 即2×-(m+1)×+2m=0, 解得m=4. 所以点M的坐标为(4,0). 法二　因为==,又=,所以=, 即=,=, 所以=, 且k≠0,整理得=, 则[(x2-1)(x1-m)-(x1-1)(x2-m)][(x2-1)(x1-m)+(x1-1)(x2-m)]=0, 而(x2-1)(x1-m)-(x1-1)(x2-m)=(m-1)(x1-x2),显然m≠1,x1≠x2, 所以(x2-1)(x1-m)-(x1-1)(x2-m)≠0, 故(x2-1)(x1-m)+(x1-1)(x2-m)=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m=0, 所以2×-(m+1)×+2m=0, 解得m=4. 所以点M的坐标为(4,0). 学科网（北京）股份有限公司 $