1.3直角三角形 同步练习 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

1.3直角三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，，交于点，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，于点，则下列不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果或，那么 B．两个负数之积是正数 C．如果，那么 D．绝对值相等的两个数一定相等 7．小丽的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力G的方向竖直向下，若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（   ） A．68° B．112° C．122° D．158° 8．如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 11．直角三角形中有一锐角为，则另一锐角为（    ） A． B． C． D． 12．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 二、填空题 13．命题：“等角的余角相等”的条件是 ，结论是： ，逆命题是 ． 14．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 15．如图，在中，于点，平分交于点．    （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 16．命题“对顶角相等”的逆命题是 ，逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 17．如图， ，直线分别交、于点，，平分，于点，若，则 ．   三、解答题 18．如图，是等腰三角形底边的中线，，，求的度数和的长度． 19．如图，已知在中，，D是AB上的一点，且． (1)如图①，求证：是直角三角形． (2)如图②，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点． ①若，则______； ②若，求的度数． 20．如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 21．下列命题的条件是什么？结论是什么? （1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等； （2）如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； （3）直角三角形的两锐角互余； （4）两直线平行，同位角相等． 22．已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 23．写出命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断其真假． 24．（1）已知中，于平分，，求的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 《1.3直角三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B B B C C B 题号 11 12 答案 B A 1．D 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余，根据对顶角相等，直角三角形两锐角互余得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查同角的余角相等，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合同角的余角相等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项A，C，D正确，符合题意，无法得到，故选项B错误； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．B 【分析】根据所学知识，逐一判断解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①“若，则”是真命题； 其逆命题“若，则”也是真命题； ②“若，则”是真命题， 其逆命题“若，则”是假命题， ∵当时，不成立； ③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是真命题， 其逆命题“若一条直线把三角形分成面积相等的两部分，则这条直线是三角形的中线”是假命题， ∵直线不是中线； ④“内错角相等，两直线平行”是真命题，是判定定理， 其逆命题“若两直线平行，则内错角相等”也是真命题，是平行线的性质定理； 综上所述，原命题与逆命题均为真命题的只有①④，2个. 故选：B. 5．B 【分析】根据所学的定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补,它是真命题； ②若，则的逆命题是：若，则，它是真命题； ③锐角与钝角互为补角的逆命题是：互补的角是锐角与钝角，它是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了命题与逆命题，正确把握相关性质是解题关键． 6．B 【分析】先找出各命题的逆命题,后根据所学知识逐一判断即可． 【详解】根据题意，得 A命题的逆命题是“如果，那么或”，是真命题，不符合题意； B命题的逆命题是“如果两个数的积是正数，那么这两个数都是负数”，两数还可能都是正数，是假命题，符合题意； C命题的逆命题是“如果，那么”，是真命题，不符合题意； D命题的逆命题是“如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等”，是真命题，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题，逆命题的关系，熟练掌握逆命题的确定方法并灵活判断真伪是解题的关键． 7．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余， 先对图形标注，三个力的交点为E，再求出，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案． 【详解】解：对图形标注，三个力的交点为E， 根据题意可知， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】根据得到FG∥AD，判断①正确； 根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确； 根据， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确； 证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确． 【详解】解：∵ ∴∠FGB=∠ADB=90°， ∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°， 故①正确； ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠CAB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴， ∴③正确； ∵， ∴∠BDE=∠C， ∵∠FGC=90°， ∴∠C+∠CFG=90°， ∴∠BDE+∠CFG=90°， ∴④正确； ∵∠ADB=90°， ∴∠ADE+∠BDE=90°， ∴②不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键． 9．C 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键．先根据平行线性质求出，再在直角三角形中利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 11．B 【分析】利用直角三角形的两个锐角互余直接计算即可得到答案. 【详解】解：直角三角形中有一锐角为， 根据直角三角形中两个锐角互余， ∴另一锐角为：． 故选： 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，掌握三角形的内角和定理是解题的关键. 12．A 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可，熟练掌握一个命题的逆命题的书写方法是解题的关键． 【详解】解：、命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”，该命题是真命题，符合题意； 、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，该命题是假命题，不符合题意； 、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，该命题是假命题，不符合题意； 、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，该命题是假命题，不符合题意； 故选：． 13． 两个角相等 它们的余角相等 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等 【分析】根据命题的条件和结论和逆命题的定义进行求解即可． 【详解】解：命题：“等角的余角相等”的条件是：“两个角相等”；结论是：它们的余角相等；逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 故答案为：两个角相等；它们的余角相等；如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 【点睛】本题主要考查了命题的条件与结论，命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14．有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 【分析】根据逆命题的定义写出即可． 【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”． 故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15． /20度 /10度 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可解得，由角平分线的定义可知，再根据“直角三角形两锐角互余”可得，然后由求解即可； （2）根据“直角三角形两锐角互余”可得，，再根据角平分线的定义可得，易知，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角度计算，涉及知识包括直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等，熟练掌握相关知识是解题关键． 16． 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 假 【分析】交换逆命题将原命题的题设和结论即可；根据对顶角的定义判定逆命题的真假． 【详解】原命题的题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 题设和结论互换后即为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 根据对顶角的定义：对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；故原命题的逆命题是假命题． 故答案为：①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②假． 【点睛】本题考查了命题：一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题，对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键． 17．/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质得出，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出． 由等腰三角形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵是等腰三角形，是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．(1)见解析 (2)①12；② 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知角的等量关系，推导出中有一个角为，从而证明它是直角三角形； （2）①根据翻折的性质得到线段相等关系，再结合勾股定理，求出的长度； ②先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再结合翻折得到的角的等量关系，求出的度数． 【详解】（1）解：证明：， ． ， ，即 ， 是直角三角形． （2）解：①由翻折可知 设，则 在中： 由（1）知 在中： 在中： 解得（舍去） ②， ． 由题意，得， ． 【点睛】本题围绕直角三角形的性质与翻折变换展开，掌握利用直角三角形角的关系、翻折的性质进行推理计算是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 21．（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等；（2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形；（3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余；（4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【分析】（1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题）即可得； （2）根据命题的定义即可得； （3）根据命题的定义即可得； （4）根据命题的定义即可得． 【详解】解：（1）条件：两个三角形的两边及其夹角分别相等；结论：这两个三角形全等； （2）条件：一个三角形中有两个角相等；结论：这个三角形是等腰三角形； （3）条件：一个三角形是直角三角形；结论：它的两锐角互余； （4）条件：两直线平行；结论：这两条直线被同一条直线截出的两个同位角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟记命题的定义是解题关键． 22．(1)见解析 (2) (3)= 【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得； （2）根据， ，平分，可得； （3）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 23．“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，假命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题真假，把原命题的题设和结论互换作为新命题的题设和结论，新命题即为原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，这是一个假命题． 24．（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握三角形内角和定理，图形结合分析方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得的度数，再利用角平分线的定义得，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理、角平分线定义用含代数式表示和，根据三角形内角和定理求出； （3）同理（2），用含代数式表示和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $