1.2等腰三角形 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 3．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，在平行四边形中，的平分线交BA的延长线于点E，，则AB的长为（    ） A．5 B．7 C．3 D．2 5．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（　　） A． B． C． D．或 6．如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 8．下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 9．小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，并测得，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线，则图①中的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　）    A． B．2 C．4 D．1 11．一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 13．如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为 14．通过教材“13.4最短路径问题”的学习，我们体会到轴对称变换的作用．请你用轴对称的有关知识解决下面的问题：如图，为的中点，，，，，则的最大值是 ．    15．在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 16．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 17．如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作圆，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为 （用含的代数式表示）． 三、解答题 18．如图，四边形中，点E在边上，连接、．给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． (1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）． 19．如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 20．如图，等腰中，，过点A作，交的平分线于点D，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点E是的中点，求的度数． 21．已知如图中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． (1)图中有几个等腰三角形？请说明与、间有怎样的关系． (2)若，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中与、间的关系还存在吗？ (3)若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？与、间的关系如何？为什么？ 22．实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 23．如图，在中，，交于，，，求的长． 24．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 《1.2等腰三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C C A C A B C B 题号 11 12 答案 C C 1．C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是熟记等腰三角形的定义和判定定理．根据等腰三角形的定义（两个角相等或两边相等），逐一分析各选项中的角度条件，判断是否存在两个相等的角． 【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意； B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意； C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意； D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断①；由不一定等于，即可判断②；由对称的性质得，根据全等三角形的性质即可判断③；如图，过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断④；综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故②错误， ∵与关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 同理可得：， 由轴对称性质可知：， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①③④． 故选：C． 4．C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．能证得是等腰三角形是解此题的关键．由平行四边形中，平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．由题意知，的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角． 【详解】解：∵在一个内角是的等腰三角形中，该内角必为顶角， ∴底角的度数为， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 7．A 【分析】由∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE，即可得到，，，再由，即可得到． 【详解】解：∵△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，CD⊥BE， ∴，，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的性质． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，在正方形中，连接，由正方形的性质得出，在菱形中连接、交于点，利用菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形，， ∴， 如图，连接、交于点， ， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【分析】根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 11．C 【分析】由等腰三角形的两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】等腰三角形的底角等于， 又等腰三角形的底角相等， 顶角等于， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 12．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 13．5 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．9.5 【分析】作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，利用轴对称的性质得出，，，，，，则可求出，，进而证明是等边三角形，求出，由知，当D，M，N，E共线时，最大，然后代入数值即可求出最大值． 【详解】解：作A关于的对称点M，B关于的对称点N，连接，，，，，     ， 则，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 又，当D，M，N，E共线时，， ∴的最大值为9.5． 故答案为：9.5． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 15．（或） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形， ∴可添加（或）． 故答案为：（或） 16． 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 17．/ 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作线段等于已知线段，平行线的性质，等腰三角形的判定，由作法得，平分，则有，由平行线的性质可得，所以，则，然后通过线段和差即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．(1)如果，那么；理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）如果，那么；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出； （2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可． 【详解】（1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形对角相等，对边相等得到，再由等边三角形的性质可证明，则可证明，据此可证明结论； （2）根据平行四边形对边平行和平行线的性质结论三角形内角和定理可得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质得到，根据等角对等边证明即可； （2）根据平行线的性质得到，证明，得到，进而证明是等边三角形，可知，根据平分及即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴． ∵，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 21．(1)有5个等腰三角形，，理由见解析 (2)有2个等腰三角形分别是：等腰和等腰； (3)有，还是有2个等腰三角形，，，，理由见解析 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握， （1）根据，、的平分线交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （2）根据 和、的平分线交于点，还可以证明出和是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质即可得出与，的关系． （3）和，分别是与的角平分线，还可以证明出和是等腰三角形． 【详解】（1）解：有5个等腰三角形，与、间有怎样的关系是：，理由如下： ， ，，， 又、的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， 有5个等腰三角形，分别是， ； （2）解：由（1）知：有2个等腰三角形分别是：等腰和等腰； 第一问中的与，的关系是：． （3）解：有，还是有2个等腰三角形，，，，理由如下： ， ，是延长线上的一点）， 又，分别是与的角平分线， ，， ， ， 同理， ， 又， ． 22．[提出问题]等边；[解决问题]见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【详解】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 23． 【分析】本题考查“等腰三角形的性质”“角所对直角边是斜边一半”，根据等腰三角形的性质计算并找到角度之间的关系，同时利用角度关系得到线段关系是解题关键 利用已知角和等边对等角，求出两底角的度数为，再借助和直角，得到线段关系，从而计算求出的长 【详解】解：，， ． ，， ，， ， ， ∴． 24． （1）它的另外两个角是和； （2）它的另外两边长是和，或和． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 答：它的另外两个角是和． （2）等腰三角形的一边长是，周长是， 若等腰三角形的腰长为，则另一条腰长为，底边长为， 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 检验：，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意；，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意． 答：它的另外两边长是和，或和． 学科网（北京）股份有限公司 $