寒假培优——正比例和反比例（讲义）-2025-2026学年六年级下册苏教版数学

寒假培优讲义：正比例和反比例 【知识梳理+例题讲解+提升练习】 知识点梳理 一、正比例的意义 1、正比例的概念 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）核心特征：一个量扩大（或缩小），另一个量也随着扩大（或缩小），且它们的比值保持不变。 2、正比例关系的表达式 （1）字母表示：如果用 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为： （一定）。 （2）理解：这里的“一定”非常关键，意味着无论 和 怎么变，它们相除的结果始终是一个固定的数。 3、正比例关系的判断方法 （1）看关联：首先看这两种量是不是相关联的，即一种量变化，另一种量是否也随着变化。 （2）看比值：再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。如果比值一定，这两种量就成正比例关系。 二、正比例的图像 1、图像特征 （1）形状：正比例关系的图像是一条经过原点（0,0）的直线。 （2）意义：图像上的每一个点都代表一组对应的 和 的值。 2、图像的作用 （1）直观性：从图像上可以直观地看出两种量的变化情况，即随着一种量的增加，另一种量也均匀地增加。 （2）预测性：借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值，即使这个值在表格中没有列出来。 三、反比例的意义 1、反比例的概念 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 （2）核心特征：一个量扩大，另一个量反而缩小；它们的乘积保持不变。 2、反比例关系的表达式 （1）字母表示：如果用 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的积（一定），那么反比例关系可以表示为： （一定）。 （2）理解：当 变大时， 必须变小，才能保证两者的乘积不变。 3、反比例关系的判断方法 （1）看关联：首先看这两种量是不是相关联的。 （2）看积：再看这两种量相对应的两个数的乘积是否一定。如果积一定，这两种量就成反比例关系。 例题讲解 【典型例题1】 下面是同一时间、同一地点，树高和影长的测量数据： 树高/m | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 影长/m | 1.6 | 2.4 | 3.2 | 4 | 4.8 树高和影长成正比例吗？为什么？ 【解析】 （1）分析：要判断树高和影长是否成正比例，需要看它们的比值是否一定。 （2）计算： ； ； ； ； 。 （3）结论：因为影长与树高的比值都是0.8（一定），也就是 （一定），所以树高和影长成正比例。 【跟踪练习】 （1）购买同一种苹果，购买苹果的质量和应付的钱数如下： 质量/kg | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 总价/元 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 购买苹果的质量和应付的钱数成正比例吗？为什么？ （2）圆的周长和它的直径是否成正比例？为什么？ 【典型例题2】 一批货物共60吨，卡车每次运的吨数和需要的次数如下表： 每次运的吨数 | 60 | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 需要的次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 表中两种量成反比例吗？为什么？ 【解析】 （1）分析：要判断每次运的吨数和需要的次数是否成反比例，需要看它们的乘积是否一定。 （2）计算： ； ； ； ； ； 。 （3）结论：因为每次运的吨数 × 需要的次数 = 总吨数（60吨），乘积一定，所以这两种量成反比例。 【跟踪练习】 （1）长方形的面积一定，长方形的长和宽成反比例吗？为什么？ （2）小明从家到学校，行走的速度和所用的时间如下表： 速度/(米/分) | 40 | 50 | 60 | 80 时间/分 | 15 | 12 | 10 | 7.5 表中两种量成反比例吗？为什么？ 【典型例题3】 根据下表中长方形的面积一定时，长和宽的数据，先填表，再判断它们是否成反比例。 长/cm | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | （ ） 宽/cm | 12 | 6 | 4 | （ ） | （ ） | 2 【解析】 （1）填表：根据长方形面积公式（长×宽=面积），先算出面积： （平方厘米）。然后填表： 当长是4cm时，宽是 cm； 当长是6cm时，宽是 cm（已给出）； 当宽是2cm时，长是 cm（已给出）。 （2）判断：观察表中数据，长×宽=12（一定），乘积一定，所以长和宽成反比例。 【跟踪练习】 （1）根据下表中大豆的单价一定时，购买大豆的数量和总价的数据，先填表，再判断它们是否成正比例。 数量/kg | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 总价/元 | 3 | 6 | （ ） | （ ） | （ ） （2）如果 和 是两种相关联的量，且 （ 不为0），那么 和 成（ ）比例。 巩固练习 一、填空题 1．如果5x=8y(x、y均不为0)，那么 　 　，x和y成　 　比例。 2．(a、b均不为0)，那么a∶b=(　 　：　 　)，a与b成　 　比例。 3．在一般情况下，人的脚长与身高的比约是1：7。小张的脚长约是25厘米。则他的身高约是　 　米。 4．酸梅汤是夏季防暑去火的上佳饮品。小优用150mL的酸梅原汁加350mL的水调制的酸梅汤口感较好，现在小优要配置900mL同样比例的酸梅汤，需要酸梅原汁　 　mL。 5．下表中，若A 和B 成正比例，则“☆”代表的数是　 　；若A 和B 成反比例，则“☆”代表的数是　 　。 A 2 4 B 6 　 二、判断题 6．如果（m，n均不为0），那么m和n成正比例。(　　) 7．圆的半径和面积既不成正比例关系也不成反比例关系。(　　) 8．订阅《悦读悦享》的总价和订阅份数成正比例。(　　) 9．圆锥的体积一定，它的底面积和高成反比例。(　　) 10．因为爸爸的年龄：壮壮的年龄=5，所以爸爸的年龄和壮壮的年龄成正比例。(　　) 三、选择题 11．下列x和y成反比例关系的是(　　)。 A．y=20+x B． C． D． 12．下面各选项中，(　　)中的两个量成正比例。 A．圆的面积和半径 B．正方形的周长和边长 C．跳绳100个，已跳个数和未跳个数 D．路程一定，时间和速度 13．下面各组中，给出的两个量成反比例的是(　　)。 A．圆锥的体积一定，它的底面半径的平方和高 B．每公顷的产量一定，总产量和公顷数 C．除数一定，被除数和商 D．花生的出油率一定，花生榨出油的质量和花生的质量 14．如图，沿着直尺的方向拉橡皮筋，标记点B。若A端的位置固定不变，将C端拉伸至15cm处，此时点B 的位置在(　　)cm处。(橡皮筋各处均匀拉伸) A．6 B．8 C．9 D．10 15．据统计，少浪费1500张纸，就可以保留1棵树。某公司新购进一批白纸，计划每天用234张，可以用20天。为节约用纸，公司倡导无纸化办公，实际每天少用114张，实际用了多少天？设实际用了x天，列出的比例方程为(　　)。 A．234：114=x：20 B．234：(234-114)=x：(x-20) C．234：(234-114)=x：20 D．234：x=20：(234-114) 四、解决问题 16．随着村民收入水平提高，福福家搬了新家。装修其中一间卧室时，如果用边长30厘米的正方形地砖铺地，需要200块。如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要多少块？（用比例解决问题） 17．甜甜一家自驾去兵马俑景区游玩，下面是他们驾车从家到兵马俑景区行驶的路程与耗油量之间的关系统计表。 路程/km 12 24 36 48 60 … 耗油量/L 1 2 3 4 5 　 （1）在图中描出表示行驶路程和对应耗油量的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）行驶路程和耗油量成　 　比例关系，甜甜家到兵马俑景区的路程有72 km，汽车耗油量为　 　L。 （3）在兵马俑景区游玩结束后，他们还想去大雁塔看喷泉表演，已知兵马俑景区到大雁塔的路程大约是45 km，此时油箱里大约还有4.5L油，他们还需要加油吗？ 18．给一间屋子铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下表。 每块地砖的面积/m2 0.16 0.4 0.5 … 所需地砖的数量/块 300 120 　 … （1）根据表中的数量关系把表格补充完整。 （2）判断每块地砖的面积和所需地砖的数量成什么比例，并说明理由。 （3）如果用80块相同的地砖刚好铺满这间屋子，所用地砖每块的面积是多少平方米？ 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）成正比例。解析： ， ， ……比值都是5（单价一定），所以成正比例。 （2）成正比例。解析： （一定），所以成正比例。 【跟踪练习2】答案 （1）成反比例。解析：因为长×宽=面积（一定），乘积一定，所以长和宽成反比例。 （2）成反比例。解析： ， ， ……乘积都是600（路程一定），所以成反比例。 【跟踪练习3】答案 （1）9，12，15；成正比例。解析： ， ， ……比值都是3（单价一定）。 （2）正。解析： （一定），即 （一定），符合正比例定义。 【巩固练习】 1．；正 2．16；15；正 3．1.75 4．270 5．12；3 6．错误 7．正确 8．正确 9．正确 10．错误 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．解：0.6米＝60厘米 设如果改用边长0.6米的正方形地砖铺地，需要块。 答：需要50块。 17．（1） （2）正；6 （3）解：45÷12=3.75(L) 3.75<4.5 答：他们不需要加油。 18．（1） 每块地砖的面积/m2 0.16 0.4 0.5 … 所需地砖的数量/块 300 120 96 … （2）答：每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例。因为每块地砖的面积×所需地砖的数量=屋子总面积(一定) （3）解：0.16×300÷80 =48÷80 =0.6(m2) 答：所用地砖每块的面积是0.6平方米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $