6.1分类加法计算原理与分步乘法计算原理（第一课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计 数 原 理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） 思考：从学校到世界之窗，一共有多少种不同的出行方式？ 我们年级计划组织世界之窗研学活动，从学校出发到目的地，有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 创设情境 引入新知 刘雨萌 2 情景引入中，研学计划有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 解析 从学校到世界之窗，一共有多少种不同的出行方式？ 学习目标 学习目标： 1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义； 3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题. 教学重点： 归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题. 教学难点： 正确区分“分类”和“分步”. 刘雨萌 新知探究 1. 分类加法计数原理 问题1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码. 思考：你能说一说这个问题的特征吗？ 思考：你能总结计数过程的基本环节？ 首先 这里要完成的事情是“给一个座位编号” 其次 “或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示 因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同． 这两类号码数相加就得到号码的总数． 刘雨萌 上述计数过程的基本环节是： （1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 1. 分类加法计数原理 分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法. 注意：两类不同方案中方法互不相同 知识梳理 刘雨萌 教材第3页 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表. 典型例题 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学   如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 刘雨萌 分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件. 解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数 N=5+4=9. 刘雨萌 跟踪训练 某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法. 练1 可以从男生或女生种选一名． 从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法． 根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为 一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 练2 刘雨萌 问题2. 完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第 3 类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 种不同方法 推广 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 共有 种不同方法 刘雨萌 跟踪训练 刘雨萌 新知探究 2. 分步乘法计数原理 问题3. 用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A1， A2，…A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来 ”树状图“是解决计数问题常用的方法，你能用树状图列出所有可能号码吗？ 方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码. 刘雨萌 问题4. 你能说说这个问题的特征吗？ 上述计数过程的基本环节是： （1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步； （2）分别计算各步号码的个数； （3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数. 2. 分步乘法计数原理 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 知识概念 刘雨萌 典型例题 教材第4页 例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ 分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生. 解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择； 第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择； 根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法. 刘雨萌 问题5. 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法， 那么完成这件事共有多少种不同的方法? N＝m1×m2×m3 思考：如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法, 那么应当如何计数呢? N＝m1×m2×…×mn 刘雨萌 典型例题 教材第5页例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法? (3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法? 解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； （2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24； （3）需先分类再分步：N=4×3+4×2+3×2=26. 刘雨萌 解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9； （2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24； （3）需先分类再分步. 第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法； 第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法； 第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法； 根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=4×3+4×2+3×2=26 答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法. 刘雨萌 刘雨萌   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 分类 分步 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 刘雨萌 题型一 “多面手”问题 例题1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 【详解】第1步：选出会象棋的，有5种选择; 第2步：选出会围棋的，有4种选择; 根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法. 3 象 2 围 2 多 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有20－2=18种选法 重要题型专项练 刘雨萌 解法 总结 排除法解决“多面手”问题 a 甲 c 乙 b 多 a名会甲但不会乙，c名会乙但不会甲，b名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有种不同的选法. 第1步：选出会甲的，有种选择; 第2步：选出会乙的，有种选择; 根据分步乘法计数原理，共种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有－种选法 模 型 重要题型专项练 刘雨萌 题型二 “ 与”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 【详解】（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：. （2）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：. 重要题型专项练 刘雨萌 总结 分步乘法计数原理解决“ ”问题 有个人选个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解法 （1）人选项目，每人有种选法，根据乘法原理：个人共有种选法; （2）项目选人，每项目有种选法，根据乘法原理：个项目共有种选法; 模 型 重要题型专项练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 随堂演练 刘雨萌 解 2 象棋 3 围棋 4 多 第1步：选出会下象棋的，有种选择; 第2步：选出会乙的，有种选择; 根据分步乘法计数原理，共种选法. 其中同个多面手4次均被选中的情况应排除， 故有种选法 随堂演练 刘雨萌 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》 课后作业 刘雨萌 练习（第5页） 1．填空题 （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ； （2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ． （1）由分类加法计数原理可得，不同选法的种数是： （2）由分步乘法计数原理可得，不同选法的种数是： 课后作业答案 刘雨萌 练习（第5页） 2.在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为．这种算法有什么问题？ 这种算法不正确. 因为要确定的是这名同学的专业选择，并步需要考虑学校的差异， 所以应当是（种）可能的专业选择. 课后作业答案 刘雨萌 练习（第5页） 3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? （1）从书架上任取1本书，有两类方法： 第1类方法是从上层取1本数学书，有6种取法； 第2类方法是从下层取1本语文书，有5种取法， 根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为. 课后作业答案 刘雨萌 练习（第6页） 3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2）从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? （2）从书架的上、下层各取1本书，可以分成两个步骤完成： 第1步，从上层取1本数学书，有6种取法； 第2步，从下层取1本语文书，有5种取法， 根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为. 课后作业答案 刘雨萌 练习（第6页） 4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． （1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? （2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? （1）从三个年级的学生中任选1人，有三类方案： 第1类从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；第2类从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；第3类从高三年级的学生中选取1名，有4种选法； 根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为. 课后作业答案 刘雨萌 练习（第6页） 4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． （1）从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? （2）从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? （2）从三个年级的学生中任各选1人，可以分三步完成： 第1步从高一年级的学生中选取1名，有3种选法；第2步从高二年级的学生中选取1名，有5种选法；第3步从高三年级的学生中选取1名，有4种选法； 根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为. 课后作业答案 刘雨萌 本节内容结束 跟踪训练1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是(　　) A．18 　 　　B．36 C．72 　 　　D．48 解析：方法一　按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 方法二　按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个). 跟踪训练2.　有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729. (2)每项限报一人，且每人至多参加一项， 因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120. (3)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216. 完成从书架上取1本书可以分三类方案，第1类，从第1层取有有3种取法；第2类，从第2层取有有3种取法；第3类，从第3层取有有2种取法；由分类加法计数原理可得，不同的取法种数共为： . 故选：B. 1．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 任选1部电影可分四类： 第一类选的是科幻片，有3种选法；第二类选的是警匪片，有4种选法；第三类选的是战争片，有3种选法；第四类选的是喜剧片，有2种选法； 由分类加法计数原理可得不同的选法共有 （种）． 故选：B． 2．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（    ） A．9种 B．12种 C．24种 D．72种 搭配配成一套，需要分两个步骤： 第 1步选上衣，共有5种选法；第2步选长裤，共有8种选法，由分步乘法计数原理得不同的配法种数为 . 故选：B. 3．有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（    ） A．13 B．40 C．72 D．60 由题可知，每个人都必须有灯笼，所以是人选灯笼，每名同学都有3种选法， 故不同的选购方式有 种. 故选：A 4．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2类，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3类，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为 . 5．书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2步，从第2层取1本数学书，有5种方法；第3步，从第3层取1本外语书，有4种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为 . 5．书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ 6．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ $