6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用（第二课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第2课时　分类加法计数原理与 分步乘法计数原理的简单应用 第六章 计数原理 校园文化节的节目报名与方案选择 咱们学校下个月要举办校园文化节，每个班级需要推选 1 名同学参加才艺表演，可选的才艺类别分为三大类：声乐类（唱歌、美声）、器乐类（钢琴、小提琴、吉他）、舞蹈类（民族舞、现代舞）。另外，班级还要设计一个文化展板，展板的设计方案需要两步完成：第一步选底色，有红色、蓝色、黄色 3 种选择；第二步选图案，有校徽、祥云、五角星 3 种选择。 这就是我们生活中遇到的计数问题， 这一节课我们就来深入学习两个计数原理的实际应用. 创设背景，引入新知 学习目标 学习目标： 1. 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理； 2. 了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义； 3. 能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题. 教学重点： 归纳出两个计数原理，能应用它们解决简单的实际问题. 教学难点： 正确区分“分类”和“分步”. 刘雨萌 复习回顾   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 关键词 或 和 区别 每类方法都能独立完成这件事 各步都完成，才能完成这件事 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 都是用来解决关于完成一件事的不同方法种数的问题 即：类类独立，步步关联。 刘雨萌 例1（教材例4）要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 典例分析 分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”， 可以分步完成. 解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上， 可以分两个步骤完成: 第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法， 第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 N=3×2=6. 图6.1-2 刘雨萌 典例分析 例2（教材例5） 给程序模块命名，需要用3个字符， 其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9， 最多可以给多少个程序模块命名？ 分析:要完成的一件事情是“给一个程序模块命名”,可以分三个步骤完成: 第1步，选首字符：第2步，选中间字符:第3步，选最后一个字符. 而首字符又可以分为两类. 解:由分类加法计数原理,首字符不同选法的种数为7+6=13.后两个字符从1~9中选,因数字可以重复,所以不同选法的种数都为9由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 N=13×9×9=1053 即最多可以给1053个程序模块命名. 刘雨萌 典例分析 例3 （教材例6）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问： （1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 刘雨萌 分析:要完成的一件事情是“确定1个字节各二进制位上的数字”, 由于每个字节有8个二进制，每一位上的值有0,1两种选择， 而且不同的顺序代表不同的字符因此可以用分步乘法计数原理求解.如图6.1-3. 典例分析 1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，１个字节最多可以表示不同字符的个数是： 刘雨萌 解析 （2）由 （1）知，1个字节所能表示的不同字符只有256个，不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符． 第1步，前1个字节有256种不同的表示方法；第2步，后1个字节也有256种表示方法． 根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是． 这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763． 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示． 典例分析 刘雨萌 典例分析 探究点一　数字组数问题 例4 （全品导学案例1） 有0,1,2,3,4五个数字. (1)可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)? 解:三位数的百位不能为0,故三位数的百位有4种选法, 三位数的十位、个位都有5种选法, 因此,符合题意的三位数共有4×5×5=100(个). (2)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 解:能被2整除的数即为偶数,个位数字可取0,2,4, 故共有12+18=30(个)能被2整除的无重复数字的三位数. 刘雨萌 变式 用0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数? 解:完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步: 第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法; 第二步定千位,有3种方法; 第三步定百位,有3种方法 ;第四步定十位,有2种方法. 由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2=36(个)无重复数字的四位奇数. 刘雨萌 探究点二　选(抽)取与分配问题 典例分析 例5（全品例2） (1)某医院研究所研制了5种消炎药X1,X2,X3,X4,X5和4种退烧药T1,T2,T3,T4,现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时使用进行疗效试验.已知X1,X2两种消炎药必须同时搭配使用,但X3和T4两种药不能同时使用,则不同的选法有 (　　) A.16种 B.15种 C.14种 D.13种 [解析] 由题意分四类:①消炎药为X1,X2,退烧药有4种选法;②消炎药为X3,X4,退烧药有3种选法;③消炎药为X3,X5,退烧药有3种选法;④消炎药为X4,X5,退烧药有4种选法.故符合题意的选法有4+3+3+4=14(种).故选C. 刘雨萌 变式 在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的安排方法? 解:方法一:分4类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6(种)安排方法; 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6(种)安排方法;第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4(种)安排方法;第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选2名分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2×1=2(种)安排方法.故不同的安排方法共有6+6+4+2=18(种). 刘雨萌 典例分析 例6（教材例8） 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示. 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 刘雨萌 分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按程序编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类；没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号，分为五个子类，将有2个字母的序号，分为十个子类. 解：（1）当没有字母时，这类号牌张数10×10×10×10×10=100000. （2）当有1个字母时这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类24×10×10×10×10=240000. 240000+240000+240000+240000+240000=1200000. （3）当有2个字母时，24×24×10×10×10=576000，576000×10=5760000 10000十1200000+5760000=7060000. 刘雨萌 探究点三　涂色与种植问题 典例分析 例7. 探索1用3种不同的颜色填涂图6-1-1中A, B,C,D四个区域,每个区域涂一种颜色且相邻区域不同色,则共有多少种不同的涂色方案? 2.在探索1中,若恰好用3种不同的颜色填涂A,B,C,D四个 区域,则共有多少种不同的涂色方案? 解:1.A区域有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法.由分步乘法计数原理知,共有3×2×2×2=24(种)不同的涂色方案. 2. 由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可得,共有3×2×1+3×2×1+3×2×1=18(种)不同的涂色方案. 刘雨萌 变式 有4种不同的作物可供选择种植在如图6-1-3所示的4块试验田中,每块试验田种植一种作物,相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物,共有多少种不同的种植方法? 解:分两类:(1)若A,D种植同种作物,则A有4种种植方法,B有3种种植方法,C也有3种种植方法.由分步乘法计数原理,共有4×3×3=36(种)种植方法. (2)若A,D种植不同作物,则A有4种种植方法,D有3种种植方法,B有2种种植方法,C有2种种植方法.由分步乘法计数原理,共有4×3×2×2=48(种)种植方法.由分类加法计数原理得,共有36+48=84(种)种植方法. 图6-1-3 刘雨萌 变式 将5种不同的花卉种植在如图6-1-5所示的4个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种法共有多少种? 解:由于规定一个区域种植一种花卉,相邻的区域花卉不同,可分步进行.先种植区域A,有5种种法,再种植区域B,有4种种法,当A,D种植不同花卉时,D有3种种法,C有2种种法,此时有5×4×3×2=120(种)种法;当A,D种植相同花卉时,D有1种种法,C有3种种法,此时有5×4×1×3 =60(种)种法.综上,共有120+60=180(种)不同的种法. 刘雨萌 例8 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在图6-1-2中,要求每个区域涂一种颜色,相邻的两个区域涂不同的颜色,则有多少种不同的涂色方法? 探究点三　涂色与种植问题 典例分析 图6-1-2 解:给图中区域标上记号A,B,C,D,E,如图所示. 方法一:按B与D是否同色分类: ①当B与D同色时,有4×3×2×1×2=48(种)不同的涂色方法. ②当B与D不同色时,有4×3×2×1×1=24(种)不同的涂色方法. 故共有48+24=72(种)不同的涂色方法. 刘雨萌 方法二:按涂色时所用颜色种数分类:第一类,用4种颜色.此时B,D同色或A,E同色,则共有2×4×3×2×1=48(种)不同的涂色方法. 第二类,用3种颜色.此时B,D同色且A,E同色,先从4种颜色中选3种,再涂色,共有4×3×2×1=24(种)不同的涂色方法. 由分类加法计数原理知共有48+24=72(种)不同的涂色方法. 刘雨萌 解析 第1类：顶点A,C同色.顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可供选择，不同的涂法有5×4×3×1×3=180种. 第2类：顶点A,C不同色，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可供选择，不同的涂法有5×4×3××2=240种. 综上，不同的涂法共有180+240=420种. 变式　如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法. 刘雨萌 变式　如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法. 解　由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法. 当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3，剩余2种颜色分别为4和5. 若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法； 若C染4，则D可染3或5，有2种染法； 若C染5，则D可染3或4，有2种染法. 由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法. 由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种). 刘雨萌 总结 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点： （1） 要完成的“一件事”是什么； （2） 需要分类还是需要分步． 注意：（1）分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． （2）分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数． 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 刘雨萌 题型一 “排数”问题 例题1 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【详解】(1)三位数字的电话号码，首位可以是0数字也可以重复，每个位置都有5种排法，根据分步乘法计数原理，可以排成电话号码总数共有： . (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此共有. 题型强化训练 题型一 “排数”问题 例题1 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 【详解】(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有(种)排法．因而有(种)排法. 题型强化训练 总结 “排数”问题，应把握的两个原则 (1) 明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位. 题型强化训练 题型二 选(抽)取与分配问题 例题2 高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有多少种？ 【法一】直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： ① 四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况； ② 有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有(种)； 题型强化训练 【法一】直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类： ③ 有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有 (种)； ④ 有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有: (种)． 综上所述，由分类加法计数原理可得，不同的分配方案有： (种)． 【法二】间接法：先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无班级去的情况，即：(种)方案 题型强化训练 总结 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1) 当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2) 当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ① 直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理． 一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ② 间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 题型强化训练 题型三 涂色（种植）问题 例题3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 题型强化训练 【详解】完成涂色，分两类进行： 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法. 第1类：第2个、第3个小方格涂不同颜色，有(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可得，有 (种)不同的涂法. 第2类：第2个、第3个小方格涂相同颜色，有4(种)不同的涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得，共有(种)不同的涂法. 题型强化训练 总结 解决涂色（种植）问题的一般思路 (1) 按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析. (2) 以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析. (3) 将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. 题型强化训练 课堂小结 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 解 随堂达标测验 课后作业 作业1：完成教材：第7页 练习1,2,3,4,5；第11页 练习1,2,3,4；. 作业2：配套辅导资料对应的《两个计数原理综合应用》.  刘雨萌 练习（第7页） 1．某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0~9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个? 课后练习答案 练习（第7页） 2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法? 课后练习答案 练习（第7页） 3．从1，2，…，19，20中任选一个数作被减数，再从1，2，…，10中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式? 第一步：从1，2，…，19，20中选一个数作为被减数，有20种选法； 第二步：从1，2，…，10中选一个数作为减数，有10种选法， 课后练习答案 练习（第7页） 4．在1，2，…，500中，被5除余2的数共有多少个? 因为在1，2，…，500中，被5除余2的数有2，7， … ，497， 这些数构成以2为首项，以5为公差的等差数列， 课后练习答案 练习（第7页） 5．由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)? 课后练习答案 练习（第11页） 课后练习答案 练习（第11页） 2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个? 第1类：当个位数字是0时，十位数字可以是1~9，所以有9个满足条件的两位数； 第2类：当个位数字是1时，十位数字可以是2~9，所以有8个满足条件的两位数； 依此类推，当个位数字是2，3，4．5，6，7，8时．满足条件的两位数分别有7，6，5，4，3，2，1个； 课后练习答案 练习（第11页） 3．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式? 要完成的“一件事”是“从6个门中的一个门进人商场并从另一个门出去”． 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去． 课后练习答案 练习（第11页） 4．任意画一条直线，在直线上任取n个分点． （1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段? （2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量? 课后练习答案 练习（第11页） 4．任意画一条直线，在直线上任取n个分点． （1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段? （2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量? 课后练习答案 本节内容结束 习题 1.6 参考答案 6.1 两个计数原理 1．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种．要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法? 课后练习答案 2．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线? 课后练习答案 3．如图，要让电路从A处到B处接通，可有多少条不同的路径? 课后练习答案 4．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数?可构成多少个不同的真分数? 由真分数的定义， ①若1为分子，分母有4种选择； ②若5为分子，分母有3种选择； ③若9为分子，分母有2种选择； ④若13为分子，分母有1种选择； 课后练习答案 5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法? 分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法； 课后练习答案 课后练习答案 7．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码? 课后练习答案 8．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43? （2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53? 课后练习答案 9．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法? （2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种?(一个抽屉可放多本书) 课后练习答案 10．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球． （1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种? （2）正好是两个白球的取法有多少种? 课后练习答案 10．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球． （1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种? （2）正好是两个白球的取法有多少种? 课后练习答案 11．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法? 利用分步乘法计数原理，分七步来求解． 第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法； 第二步，安排第二天的值班人员．有6种方法； 第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法； 同理．第四、五．六七步均有6种方法． 课后练习答案 12．2160有多少个不同的正因数? 课后练习答案 由题意知，本题是一个分步计数问题，因为3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张， 所以第一张有10种不同的分法，第二张有9种不同的分法，第三张有8种不同的分法，根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法： 10×9×8＝720(种)． 1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是________ 按末位是1，3，5分三类计数： 第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个； 第二类：末位是3的共有3×4×3＝36(个)； 第三类：末位是5的共有3×4×3＝36(个)， 由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个) 2．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的比2 000大的四位奇数________个． 法一　设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法． 法二　让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同安排方法．故选：C. 3．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法有_____种. 完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色． ①当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法； ②当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法． 由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)． 4．如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有____种. $