6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性第三册

6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计 内 容 教学目的 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理. 2.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 3.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题. 4.培养数学抽象、逻辑推理等核心素养. 教学重点难点 1.教学重点：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题. 2.教学难点：正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”. 教学过程 环节一 导入 生活中的计数 深圳市发放的燃油车号牌为粤B加5位序号，其中，五位序号的编码规则为： (1)由0~9这10个阿拉伯数字和除O、I之外的24个英文字母组成； (2)最多只能有2个英文字母. 那么深圳市最多能发放多少张燃油车号牌? 【设计意图】展示生活中常见的计数问题，源自生活中的鲜活的、有一定难度的问题能很好地引起学生的探究兴趣，同时，还能让学生体会生活中的计数问题无法通过一个一个数来解决，感受学习计数原理的必要性。 计数的历史 【设计意图】展示计数的历史，体现计数问题不仅和生活息息相关，而且历史悠久，体现数学的文化价值，让学生感受数学文化之美。 环节二 课内探究 问题1 某同学计划高考放假期间，从深圳去井冈山旅游，打算坐航班或高铁前往；假设深圳到井冈山每天有2个航班，3列高铁，请问此同学从深圳到井冈山共有多少种不同的方法？ 【设计意图】以深圳高中的井冈山社会实践为背景，贴近学生生活，设计简单问题情境，帮助学生体会分类加法计数原理。 问题2 用一个大写的英文字母（A~Z）或一个阿拉伯数字（0~9）给教室里的一个座位编号，请问总共能编出多少种不同的号码? 【设计意图】以编号为背景，设计贴近学生学校生活的情境，和问题1一起帮助学生体会分类加法计数原理。 追问 你能说说以上两个问题的共同特征及背后的计数原理吗？ 问题剖析 问题1 问题2 要完成的一件事情？ 从深圳去井冈山 给一个座位编号 分析（怎么完成）？ 坐航班或高铁 一个大写英文字母或 一个阿拉伯数字 方案分几类？ ①航班：2种 ②高铁：3种 ①字母：26种 ②数字：10种 各类的方法数是？ 共几种方法？ 2+3=5 26+10=36 【设计意图】设计问题剖析框架，给学生搭建归纳分类加法计数原理的“梯子”，进一步体会到，当完成一件事情有2类不同的方案时，各类方案的方法数相加即可得到完成这件事情的总方法数，提升学生的数学抽象素养。 原理总结：分类加法计数原理 一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法. 【设计意图】展示分类加法计数原理。 例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 【设计意图】通过例题，加深学生对分类加法计数原理的理解和应用。 追问1 若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？ A大学 B大学 C大学 生物学 数学 新闻学 化学 会计学 金融学 医学 信息技术学 人力资源学 物理学 法学 工程学 【设计意图】通过设计追问，让学生自然而然体会到当完成一件事情有多类不同方案时，完成事情的总方法数即各类方案中方法数相加。在教学中，教师可口头继续追问：若还有D大学，其中有不同于已有专业的其他2个专业可供选择，请问共几种方法？ 原理推广：分类加法计数原理的一般形式 如果完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事情共有N=m1+m2+ ‧‧‧ +mn种不同的方法. 【设计意图】展示分类加法计数原理的一般形式。 追问2 在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，B大学共有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择为6+4=10.这种算法对吗？ A大学 B大学 数学 数学 生物学 会计学 化学 信息技术学 医学 法学 物理学 工程学 【设计意图】本题选自教科书P5练习第2题，通过举例，帮助学生理解使用分类加法计数原理时，可以完成事情的每一种方法必须属于且只能属于一类方案，也就是必须不重不漏。 问题3 某同学计划高考放假期间，从深圳去井冈山旅游，打算坐高铁前往，经查询，深圳到井冈山需在吉安中转，深圳到吉安有3列高铁，吉安到井冈山有5趟列车，共有多少种不同的方法？ 【设计意图】对比问题1设计问题3，通过对比，帮助学生体会分类加法计数原理和分步乘法计数原理的不同之处，并理解分步乘法计数原理。教师需要点拨，第一步中的每一个方法都对应着第二步中相同的方法数5。 问题4 用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 【设计意图】对比问题2设计问题4，进一步通过对比，帮助学生体会分类加法计数原理和分步乘法计数原理的不同之处，并理解分步乘法计数原理。教师需要点拨，第一步中的每一个方法都对应着第二步中相同的方法数9。 追问 你能说说以上两个问题的共同特征及背后的计数原理吗？ 问题剖析 问题3 问题4 要完成的一件事情？ 从深圳去井冈山 给一个座位编号 分析（怎么完成）？ 先深圳去吉安， 再从吉安去井冈山 先写一个大写英文字母（前6个）再写一个阿拉伯数字（1~9） 方案分几步？ ①深圳→吉安：3种 ②吉安→井冈山：5种 ①字母：6种 ②数字：9种 每一步的方法数是？ 共几种方法？ 3×5=15 6×9=54 【设计意图】设计问题剖析框架，给学生搭建归纳分布乘法计数原理的“梯子”，帮助学生进一步体会到，当完成一件事情需要分两步完成时，每一步的方法数相乘即可得到完成这件事情的总方法数，提升学生的数学抽象素养。 原理总结：分步乘法计数原理 一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法. 【设计意图】展示分步乘法计数原理。 原理推广：分步乘法计数原理的一般形式 特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法. 【设计意图】通过类比分类加法计数原理一般形式的研究过程，得出分步乘法计数原理的一般形式，提高学生的数学抽象素养。 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 【设计意图】通过例题2，帮助学生进一步理解分步乘法计数原理并加以应用。 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1) 从书架上任取1本书，有多少种不同取法? (2) 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 【设计意图】通过例题3，帮助学生进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的内涵和区别，并感受到当“完成一件事情”一步即可完成时用分类加法计数原理，当“完成一件事情”一步完不成时用分步乘法计数原理。 环节三 课堂练习 1.家住A地的小明同学准备周末去B地旅游，从A地到B地一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘坐这些交通工具去B地的不同方法有(　　) A.240种 B.180种 C.120种 D.90种 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为(　　) A.7 B.12 C.64 D.81 【设计意图】通过简单练习，检测学生对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的掌握程度。 环节四 进阶训练 1. 已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？ (2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？ 2. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路. 从甲地到丁地共有多少条不同的路线？ 3. 乘积展开后共有多少项？ 4.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是还是？ （2）3个班分别从5个景点中选择一处浏览，不同的选法种数是还是？ 【设计意图】通过进阶训练，帮助学生在不同情境下应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，一方面加深学生对两个计数原理的理解，另一方面帮助学生体会“完成一件事情”的内涵，提高学生的数学抽象素养和数学知识的迁移应用能力。 环节五 归纳小结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是用来计算“完成一件事”的方法种数． 不同点 1. 事情分类完成，用加法; 2. 方法之间相互独立，用任何一种方法均可完成这件事． 1. 事情分步完成，用乘法; 2. 步骤相互依存，依次完成所有步骤才能完成这件事． 注意点 不重不漏 步骤完整 先分类，再分步 【设计意图】以表格形式呈现两个原理的相同点、不同点和注意点，将本节课的内容进行归纳小结，有利于学生理解和掌握。 环节六 作业布置 1.完成课前思考题，深圳市最多可以发放几块燃油车号牌？ 2.教科书P11~P12习题6.1的1、4、5、6、7. 学科网（北京）股份有限公司 $$