1.4 线段的垂直平分线 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 4 线段的垂直平分线 第2课时 用尺规作等腰三角形和已知直线的垂线 1 素养目标 1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题． 2.能够利用尺规过直线外一点作直线的垂线． 2 教学重难点 重点：利用三角形三边垂直平分线的性质解决问题． 难点：尺规作图的规范与合理性． 3 导入新课 我们班要设计一期“对称之美”的文化墙,需要在墙面上布置一个等腰三角形的主题图案.现在只有一根绳子和一支粉笔,你能在墙面上确定一个等腰三角形的位置吗?如果还需要在三角形顶点处悬挂装饰品,那么如何确保装饰品垂直于墙面呢? 4 新知探究 任务一:探索三角形的不唯一性 问题:已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗? 已知:如图,三角形的一条边a和这条边上的高h. 求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h. 你能作出三角形吗?如果能,能作出几个? 5 新知探究 已知:如图,三角形的一条边a和这条边上的高h. 求作:△ABC,使BC=a,BC边上的高为h. 6 新知探究 任务二:使用尺规作等腰三角形 问题:已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗?能作几个? 已知:如图,线段a,h. 求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h. 7 作法 图形 已知线段a，h，用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. △ABC就是所要作的等腰三角形． 原理:∵点A在线段BC的垂直平分线上,∴AB=AC. a h a l A B C h D 1．作线段BC，使BC ＝a． 2．作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D． 3．在l上作线段DA，使DA＝h． 4．连接AB，AC． 新知探究 任务三:用尺规作已知直线的垂线 问题:还记得用尺规过直线l上一点P作l的垂线的方法吗?这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题.如果点P在直线l外呢?此时,还能运用这种转化的方法吗? 9 新知探究 活动:如图,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P. 要作一条直线与l垂直且过点P,关键是找到垂足的位置.我们能否利用已学的线段垂直平分线的知识来解决? 10 作法 图形 已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. A B m l P Q • • 1. 任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. 2. 以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧， 交直线l于点A和点B. 3. 作线段 AB的垂直平分线m. 直线m就是所要作的直线. 为什么直线m经过点P? 因为点P到直线上点A，B的距离相等， 所以点P一定在线段 AB的垂直平分线m上. 1. 如图，已知直线AB和AB外一点C，用尺规作AB的垂线， 使它经过点C. 有以下步骤： ①任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁； ②分别以点D和点E为圆心，以大于 DE的长为 半径作弧，两弧相交于点F； ③以点C为圆心，以CK的长为半径作弧，交AB于点D，E； ④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线. 上述步骤正确的顺序是 .（填序号） ①③②④　 跟踪练习 2. 如图，已知线段a，直线l及l外一点A. 求作：等腰三角形ABC，使底边BC在直线l上，且BC＝a. （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，△ABC即为所求. 例2 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. B A C P E D 要证明AC的垂直平分线经过点P,实质是证明什么? 要证明点P在边AC的垂直平分线上,需要什么条件? 已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论? 任务四:讲解例题 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵ 点P在边AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等). 同理，PB=PC. ∴ PA=PB=PC. ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P. B A C P E D 归纳总结 符号语言： ∵ 直线MN，EF，PQ分别垂直平 分线段BC，AB，AC， ∴ 直线MN，EF，PQ相交于点O， 且OA=OB=OC. 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 这个点叫作三角形的外心. 三角形三条边的垂直平分线的交点位置如下： 锐角三角形 三角形内部 直角三角形 斜边中点 钝角三角形 三角形外部 锐角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的内部，直角三角形三边垂直平分线的交点位于斜边的中点，钝角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的外部．上述结论可作为判定三角形类型的依据． 1. 如图，兔子的三个洞口A，B，C构成△ABC，猎狗想捕捉 兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC （　C　） C A. 三条边的中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的平分线的交点 跟踪练习 2. （教材P36例2变式）如图，已知在△ABC中，边AB，BC的 垂直平分线交于点P，则下列结论一定成立的有（　B　） ①PA＝PB＝PC； ②点P在AC的垂直平分线上； ③∠BAP＝∠CAP. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 1.[2025盐城月考]如图， 的周长是21， ，分别平分和，于点 ， 且，则 的面积为( ) C A.84 B.63 C.42 D.21 课堂练习 22 【解析】 如图，过点作于点， 于点，连接。，分别平分 和 ，于点， ， 。 ，，又 的周长为21， 23 2. 在由小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示，且顶 点均在格点（网格线的交点）上.在△ABC的内部有E，F， G，H四个格点，其中到△ABC三个顶点距离相等的点是 （　B　） A. 点E B. 点F C. 点G D. 点H B 3. （教材P36例2变式）如图，已知在△ABC中，边AB，BC的 垂直平分线交于点P，则下列结论一定成立的有（　B　） ①PA＝PB＝PC； ②点P在AC的垂直平分线上； ③∠BAP＝∠CAP. B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 4. 如图，在△ABC中，DE，DF分别垂直平分边AC，BC， 连接AD，BD，CD. 若∠ACB＝40°，则∠BAD的度数 为 ⁠°. 50　 5.[2024大连二十四中期中]如图，在中，, 的平分线相交 于点，连接并延长交于点，过点作于点 ，若 ，，则 的长为___。 6 27 【解析】 如图，过点作于点。平分， ， ，。又，分别平分和， 平分， ， 在 中， 。 28 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D 在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于 点E，交BD于点F，连接DE. （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； 解：（1）DE⊥DP. 理由如下： ∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA. ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB. ∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠PDA＋∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°－90°＝90°，∴DE⊥DP. （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长. 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D 在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于 点E，交BD于点F，连接DE. 解：（2）如图，连接PE. 设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8－x. ∵AC＝6，PA＝2， ∴PC＝6－2＝4，PD＝PA＝2. ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2， ∴42＋（8－x）2＝22＋x2，解得x＝4.75， ∴DE＝4.75. 课堂总结 1.我们今天学习了哪两种基本作图?它们的共同数学原理是什么? 2.在作图过程中,有哪些容易出错的细节需要提醒大家注意? 32 已知底边及底边上的高，作等腰三角形 过直线外一点作已知直线的垂线 尺规作图 线段的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 课堂总结 $