1.4 线段的垂直平分线 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 1 素养目标 1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题． 2.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法． 2 教学重难点 重点：线段的垂直平分线的性质与判定． 难点：线段的垂直平分线的性质与判定的运用． 3 导入新课 活动:折纸探秘. 如图,在纸上画出线段AB,动手折叠,使点A与点B重合,观察折痕. 问题:这条折痕与线段AB有什么位置关系和数量关系? 这条折痕与线段AB互相垂直,且平分线段AB. 4 导入新课 在折痕上任取一点P,连接PA,PB.猜一猜,PA与PB有什么关系? 猜想:PA=PB. 你的猜想正确吗?请用直尺测量进行验证. 测量的只是一个或几个点,能保证对于这条直线上的任意一点,结论都成立吗?如何让人信服? 5 新知探究 任务一:逻辑推理，证明线段垂直平分线的性质 问题:我们曾经探索过,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗? 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. 求证:PA=PB. 6 新知探究 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.求证:PA=PB. 1.我们学过的证明线段相等的方法有哪些? 全等三角形、等角对等边等. 2.本题中,证明哪两个三角形全等最直接? △PCA与△PCB. 3.两个三角形全等的条件够了吗?请说明理由. 够了,理由:SAS(AC=BC,∠PCA =∠PCB=90°,PC=PC). 7 新知探究 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.求证:PA=PB. 证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 8 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： ∵MN⊥AB于点C，且AC=BC， ∴PA=PB 线段垂直平分线的性质： A B C M N P 这一点是任意一点 1.教材习题变式 [2024凉山州中考]如图，在 中， ，垂直平分交 于点，若的周长为，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 垂直平分交于点 ， 。的周长为， 。 跟踪练习 10 2.[2024吕梁期末]如图，的斜边 的垂直平分线与交于点，与 交 于点， ，，则 的面积为___。 1 【解析】 是的斜边 的垂 直平分线， ，， ， ， ， ， 。 跟踪练习 11 新知探究 任务二:逆向思考，探究线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 问题:你能写出上面这个性质定理的逆命题吗? 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗?你能证明自己结论的正确性吗? 12 新知探究 已知:PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:如图,过点P作AB的垂线PC,垂足为C,则∠PCA=∠PCB=90°. 在Rt△PCA和Rt△PCB中,PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL). ∴AC=BC. 又∵PC⊥AB, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 13 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 线段的垂直平分线的判定： A B P 归纳总结： 线段的垂直平分线可以看成是到线段两端距离相等的所有点(无穷个点）的集合。 线段是一个轴对称图形，垂直平分线是它的一条对称轴。 归纳总结： 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找出这样满足条件的两个点即可作出线段的垂直平分线。 新知探究 线段垂直平分线的性质定理与判定定理有什么异同? 17 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内 一点，且 OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. A B C O 要证“直线AO垂直平分线段BC”,有哪些证明思路? 思路一(定义法):证明AO经过BC的中点且垂直于BC. 思路二(判定定理法):证明点A和点O都在BC的垂直平分线上,由两点确定一条直线得证. 任务三:学以致用，讲解例题 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内 一点，且 OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. A B C O 证明：∵ AB=AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定 一条直线). 还有其他证法吗? 有其他证法. 证明：如图所示，设AO交BC于点D. 在△ABO和△ACO中， ∵ AB=AC，OB=OC，AO=AO， ∴ △ABO≌△ACO(SSS)， ∴ ∠BAO=∠CAO，又AB=AC， ∴ AD⊥BC，BD=CD， ∴ 直线AO垂直平分线段BC. A B C O D 1.[2025三明期末]如图，， ，则有( ) A A.垂直平分 B.垂直平分 C.与 互相垂直平分 D.平分 跟踪练习 21 2. 如图，P为∠MON内一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于 点B，连接AB交OP于点E，PA＝PB. 求证：OP是AB的垂直 平分线. 证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∵OP＝OP，PA＝PB， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴OA＝OB， ∴点O，P均在AB的垂直平分线上， ∴OP是AB的垂直平分线. 跟踪练习 1. 如图，在△ABC中，边AB上的垂直平分线交边AC于点E， 交边AB于点D. 若AC＝14 cm，BE＝8 cm，则EC的长为　 （　B　） A. 8 cm B. 6 cm C. 4 cm D. 2 cm B 课堂练习 2. 如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AC＝AD，EF为 线段BD的垂直平分线.若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 （　D　） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 D 3. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若△ABD的周 长为10，AB＝4，且CD＝2AD，则AD＝ ⁠. 2　 4. （2025·西安高新一中期末）如图，等腰三角形ABC的底边 BC＝18，面积为189，点F在边BC上，且CF＝2BF，EG是 腰AB的垂直平分线.若点D在EG上运动，则△BDF周长的最 小值为 ⁠. 15 ＋6　 【解析】 如图，连接AD，过点A作AH⊥BC于点H， 连接AF. ∵等腰三角形ABC的底边BC＝18，面积为189， ∴AH＝21，BH＝ BC＝9. ∵EG是腰AB的垂直平分线， ∴BD＝AD，∴△BDF的周长为 BD＋DF＋BF＝AD＋DF＋BF≥AF＋BF， ∴当点A，D，F共线时，△BDF的周长最小. ∵CF＝2BF，∴BF＝ BC＝6， ∴HF＝BH－BF＝3， ∴AF＝ ＝15 ， ∴AF＋BF＝15 ＋6， ∴△BDF周长的最小值为15 ＋6. 5.[2025渭南临渭区期中]如图，在中， 是上的一点，连接，平分 ，过 点作交于点，交 于 点，连接交于点 。 证明:垂直平分 。 29 证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分 。 30 6.[2025洛阳期末]【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两 端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小 如何判断呢？ 31 【自主研究】 （1）如图1，直线是线段的垂直平分线，点在直线 的左侧，经测 量， ，请证明这个结论。 证明：如图1，连接，， 。 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 。 32 【迁移研究】 （2）如图2，直线是线段的垂直平分线，点在直线外，且与点 在 直线的同侧，点是直线上的任意一点，连接，，，试判断 和 之间的大小关系，并说明理由。 解: 。理由如下： 如图2，当点不在线段上时，连接 。 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 当点在线段上时， 。 综上， 。 33 课堂总结 1.本节课我们学习了哪两个定理?它们的内容是什么?关系如何? 2.我们是如何得到这两个定理的?在证明判定定理时,有哪些不同的思路? 34 课堂总结 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 性质定理 判定定理 A B C M N P $