1.3 直角三角形 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 3 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定 1 素养目标 1.掌握“斜边、直角边”的判定方法． 2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等． 3.使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维． 2 教学重难点 重点：“斜边、直角边”判定方法的使用． 难点：分析问题，探索直角三角形全等的条件． 3 导入新课 问题1:我们已经学习过哪些判定三角形全等的方法? 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。 (1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据______，△ABC≌△DEF； A B C F E D (2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (3)若AB=DE，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据______，△ABC≌△DEF。 ASA AAS SAS SSS 4 导入新课 问题2:如果两个三角形满足两边分别相等且其中一组等边的对角相等(即边边角),那么它们一定全等吗? 不一定全等. 在一般三角形中,“边边角”不一定成立,但如果其中一组等边的对角都是直角呢? 今天我们就来探究直角三角形特有的全等判定方法. 5 新知探究 活动一:探究证明“斜边、直角边”判定定理 问题:已知斜边和一条直角边,如何作出这个直角三角形呢? (1)假设满足条件的直角三角形已经作出,你能画出这个直角三角形的草图吗? (2)你是按照怎样的步骤画这个直角三角形的草图的?先画一画,再用尺规试一试. 梳理上述作图过程,你能总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边,用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗? 6 作法 图形 如图，已知线段a，c(a<c)，用尺规作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=c，BC=a. a c N C M B A 1. 作射线CN. 2. 过点C作射线CN的垂线CM. 3. 在射线CM上截取CB=a. 4. 以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A. 5. 连接AB. △ABC就是所要作的直角三角形. 新知探究 把你作的直角三角形与同伴作的直角三角形进行比较,它们一定全等吗?由此,你得到了什么结论? 这些三角形全等. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 你能证明你发现的结论吗? 8 新知探究 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B', AC=A'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明:在△ABC中,∵∠C=90°, ∴BC2=AB2-AC2(勾股定理). 同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2. ∵AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 9 新知探究 “斜边、直角边”判定定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简述为“斜边、直角边”或“HL”). 用符号语言表示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中, ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 10 例1 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度 AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系? 解：根据题意，可知 ∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF， ∴ Rt△BAC≌Rt△EDF(HL). ∴ ∠CBA=∠DEF(全等三角形的对应角相等). ∵ ∠DEF+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴ ∠CBA+∠EFD=90°. 活动二:应用“斜边、直角边”判定定理解决实际问题 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝ DE，点B，E，C，F在同一条直线上，且BE＝FC. 求证： Rt△ABC≌Rt△DFE. 证明：∵BE＝FC， ∴BE＋EC＝FC＋EC，即BC＝FE. 在Rt△ABC和Rt△DFE中， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）. 跟踪练习 一般三角形与直角三角形全等的判定方法的比较： 注意：在应用“HL”定理时，要在两个直角三角形的前提下，利用“斜边和一条直角边对应相等”证明这两个直角三角形全等. 一般三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 SAS ASA AAS SSS SAS ASA AAS HL SSS 1.[2025常德期末]如图，已知 ， ，则 的理由是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在和 中， 。 课堂练习 14 2.[2025邢台信都区期末]如图，已知，，若用“ ”判定 和 全等，则需要添加的条件是( ) D A. B. C. D. 15 3. （教材P30例题变式）如图，有两个长度相等的滑梯（即BC ＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF 相等.有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＋∠DFE＝90°； ③∠ABC＝∠DEF. 其中正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 C 4.[2024商丘期末]如图,在中, , ,。若 ,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， 。 ， 。在和 中， ， ， ， 。 17 5. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF. （1）求证：BE＝BF； 解：（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴BE＝BF. 5. 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延 长线上一点，点E在边BC上，且AE＝CF. （2）若∠CAE＝22°，求∠ACF的度数. 解：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－22°＝23°. 由（1），知Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝23°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝23°＋45°＝68°. 6.[2025合肥蜀山区期末]如图，在中，平分，且 于点，过点作，连接，且， 。 求证: 20 （1） ； 证明：平分， ， ， ， 在和中， ， 。 21 （2） 。 解：， ， ， ， ， ， 在和中， 。 22 课堂总结 1.“HL”定理的内容是什么?它与一般三角形全等的判定有什么关系? 2.已知斜边和一条直角边,作直角三角形的关键步骤是什么? 3.本节课体现了哪些数学思想和方法? 23 直角三角形 SSS、SAS、ASA、AAS “HL” 定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 直角三角形全等的判定定理 尺规作图 已知斜边和一条直角边，作出唯一的直角三角形 课堂总结 $