1.3 直角三角形 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 3 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质和判定 1 素养目标 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定． 2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题． 3.理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假．通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力． 4.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯． 2 教学重难点 重点：掌握直角三角形的性质和判定定理，灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题． 难点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形． 3 导入新课 前面我们探究过直角三角形的哪些性质? 直角三角形的两个锐角互余; 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半…… 直角三角形还有哪些性质呢?如何判定直角三角形呢?这节课我们一起来探究直角三角形的性质与判定. 4 新知探究 活动一:证明直角三角形的性质定理和判定定理 问题1:我们曾经探索过直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.你能证明这一结论吗? 已知:如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°. 求证:∠A+∠B=90°. 证明:∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B+∠C=180°.又∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°-∠C=90°. 5 定理 直角三角形的两个锐角互余. C B A 符号语言： 在△ABC中， ∵ ∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=90°. 新知探究 问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?为什么? 已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°. 求证:△ABC是直角三角形. 证明:∵在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=180°,且∠A+∠B=90°, ∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°. ∴△ABC是直角三角形. 7 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. C B A 符号语言： 在△ABC中， ∵ ∠A+∠B=90°， ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°. 新知探究 活动二:证明勾股定理及其逆定理 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 问题1:你能证明勾股定理吗? 已知:如图,直角三角形,直角边为a(勾),b(股),斜边为c(弦). 求证:a2+b2=c2. 9 新知探究 已知:如图,直角三角形,直角边为a(勾),b(股),斜边为c(弦). 求证:a2+b2=c2. 证明:如图,用四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,内部留出一个小正方形. ∵c2=4×ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2, ∴a2+b2=c2. 10 新知探究 问题2:在一个三角形中,当两条边的平方和等于第三条边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗? 已知:如图,在△ABC中,AB2+AC2=BC2. 求证:△ABC是直角三角形. 要证明△ABC是直角三角形,一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系,由此你能想到什么?借助边的关系,你能构造一个直角三角形,使它与△ABC全等吗? 11 新知探究 已知:如图,在△ABC中,AB2+AC2=BC2. 求证:△ABC是直角三角形. 构造一个直角三角形与△ABC全等,你能自己写出证明过程吗? 证明:如图,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC, 则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理). ∵AB2+AC2=BC2,∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等). 因此,△ABC是直角三角形. 12 新知探究 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言:∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∴AB2+AC2=BC2. 定理:如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 符号语言:∵在△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴∠A=90°. 13 例1 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD=1，AD=2，BD=4，那么∠BAC是直角吗? 请说明理由. C A B D ∟ 1 2 4 解：∵ AD⊥BC， ∴ ∠ADC=∠ADB=90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=22+12=5. 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=22+42=20. ∵ AC2+AB2=20+5=25，BC2=52=25. ∴ AC2+AB2=BC2. ∴ △ABC是直角三角形，且∠BAC=90°. （2025·黔南州一模）将一把含30°角的直角三角尺和直尺 按如图所示的方式放置.若∠1＝40°，则∠2的度数是 （　C　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° C 跟踪练习 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c， 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　B　） A. ∠A＋∠B＝∠C B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C. a2＝c2－b2 D. a2∶b2∶c2＝5∶12∶17 B 新知探究 活动三:认识互逆命题与逆定理 问题1:观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢? 定理:直角三角形的两个锐角互余. 定理:有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理:如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 第一个定理和第二个定理的条件和结论恰好互换,第三个定理和第四个定理也是如此. 17 新知探究 问题2:观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等; 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果a=b,那么a2=b2; 如果a2=b2,那么a=b. 一个三角形中相等的边所对的角相等; 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系. 18 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 条件 结论 结论 条件 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 互逆命题 如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。 原命题 逆命题 尝试·思考 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。 原命题是真命题，逆命题是假命题。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 新知探究 例如,原命题:“对顶角相等”.逆命题:“相等的角是对顶角” . 原命题是真命题,它的逆命题一定是真命题吗? 不是,例如,上面的例子中,两条平行直线被第三条直线所截时,形成的同位角相等,但这些角没有公共顶点,不符合“对顶角(由两条直线相交形成,有公共顶点且互为对顶)”的定义,因此不是对顶角. 重要结论:原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题. 21 新知探究 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 定理:直角三角形的两个锐角互余. 定理:有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理:如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 互逆定理 互逆定理 22 新知探究 你还能举出一些互逆定理的例子吗? 两直线平行,内错角相等; 内错角相等,两直线平行. 23 1.下列说法错误的是（　B　） A. 任何命题都有逆命题 B. 定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定正确 D. 定理的逆定理一定正确 B 2.命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题 是“ ⁠ ”，这个命题是 （填“真”或“假”）命题. 底边上的高线与中线互相重合的三角形为等腰三角 形　 真　 跟踪练习 1.[2024潍坊期末]若直角三角形的一个锐角等于 ，则它的另一个锐角 等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 它的另一个锐角的度数为 。 课堂练习 25 2.[2024金华期末]给出下列条件，不能判定 为直角三角形的是 ( ) C A. B. C. D. 26 【解析】 A项，， ， ， 是直角三角形，故A项不符合题意；B项， ， ，又 ， ， ， 是直角三角形，故B项不符合题意；C项，由 ，设，则， ， ，解得 ， 不是直角三角 形，故C项符合题意；D项，由，设 ，则 ， ，解得 ， ， 是直角三角形，故D项不符合题意。 27 3.新情境 [2025洛阳洛龙区期末]如图，洛阳 地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的 支架是由水平方向的、竖直方向的 两段 构成的，若段长度为，点， 之间的 距离比段长，则 段的长度为( ) C A. B. C. D. 【解析】 设为，则 ，由题意可知， ，，在 中，由勾股定理得 ，解得，即段的长度为 。 28 4.教材习题变式 [2024烟台期中]如图， 中， ， ， 于点 ，，则 的长是_____。 【解析】 ， ， 。 ， ， ， 。 29 5.[2025上海同济大学附属嘉定实验中学期中]下列说法正确的是( ) A A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.定理的逆命题一定是真命题 （1）每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，结论 改成条件，便可以得到原命题的逆命题。当原命题是真命题时，它的逆命 题未必是真命题。（2）一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一 个命题是假命题只需举一个反例即可。一个假命题的逆命题可以是真命题， 甚至可以是定理。不是所有的定理都有逆定理。 30 6. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝ 13，D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝ 3.求证：△BCD是直角三角形. 证明：在Rt△ABC中， ∵∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC＝ ＝ ＝5. 在△BCD中，∵CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2＋BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形. 7. （2025·大连甘井子区月考）如图，在△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝ AC2. （1）求∠A的度数； 解：（1）连接CE（图略）. ∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE. ∵BE2－AE2＝AC2，∴CE2－AE2＝AC2. ∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°. 7. （2025·大连甘井子区月考）如图，在△ABC中，D是BC 的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝ AC2. （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长. 解：（2）在Rt△BDE中，BE＝ ＝5， ∴CE＝BE＝5.设AE＝x，则AE＝BE＋AE＝5＋x， AC2＝CE2－AE2＝25－x2. ∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8. 在Rt△ABC中，∠A＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2， 即64＝（5＋x）2＋25－x2，解得x＝1.4，即AE＝1.4. 直角三角形 角的性质 边的性质 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂总结 互逆命题与互逆定理 互逆命题 互逆定理 一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 $