1.2 等腰三角形第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第3课时 等边三角形的判定和含30°角的 直角三角形的性质 1 素养目标 1.学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题． 2.理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题． 3.通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力． 重点：等边三角形的判定． 难点：等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用． 2 导入新课 问题:等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢? 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°. 上节课我们学习了等腰三角形的判定方法,那如何判定一个三角形是等边三角形呢?一个三角形满足什么条件时是等边三角形?一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形?这节课我们就来探究这些问题. 3 新知探究 活动一:探究等边三角形的判定定理 问题:如何判定一个三角形是等边三角形? 活动:小组讨论,回顾等边三角形的定义,并尝试从“边”和“角”的角度提出等边三角形的判定方法的猜想. 猜想1,三边相等的三角形是等边三角形; 猜想2,三个角都相等的三角形是等边三角形; 猜想3,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 定义 4 新知探究 (1)证明:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B,∴AC=BC. ∵∠B=∠C,∴AB=AC. ∴AB=AC=BC. ∴△ABC是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 5 新知探究 (2)证明:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,且有一个角等于60°. 求证:△ABC是等边三角形. 6 新知探究 证明:当∠A=60°时,∵AB=AC, ∴∠B=∠C=×(180°-∠A)=60°. ∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形. 当∠B=60°或∠C=60°时,∵AB=AC, ∴∠B=∠C=60°.∴∠A=180°-∠B-∠C=60°. ∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形. 定理:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 7 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°) ∴△ABC是等边三角形 等边三角形的判定 等边三角形与等腰三角形的判定定理归纳： 等腰三角形 等边三角形 边 角 三条边都相等的三角形是等边三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 两条边相等的三角形是等腰三角形 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 证明等边三角形的思路： 三角形 等边 三角形 等腰三角形 有一个角等于60° 等腰三角形的判定 思路1：三边相等 思路2：三角相等 例1 如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A =60°，且AB//CD，求证：△OCD是等边三角形. 证明： ∵∠A=60°,OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠B=60°. ∵ AB//CD， ∴ ∠C= ∠A =60°，∠D = ∠B =60°， ∴∠COD=60°， ∴∠D=∠C=∠COD， ∴△OCD是等边三角形. 在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判 定△ABC为等边三角形的是（　C　） A. AB＝AC B. ∠A＝∠B C. AD⊥BC D. ∠B＝∠C C 跟踪练习 （教材P23习题T13变式）如图，△ABC是等边三角形， DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC， ∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°， ∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°， ∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°， ∴△DEF是等边三角形. 新知探究 活动二:探究含30°角的直角三角形的性质 问题1:用两个完全相同的含30°角的三角尺,你能拼成怎样的三角形?能拼成一个等边三角形吗? 如图,两个完全相同的含30°角的三角尺,能拼成一个等腰三角形,也可以拼成一个等边三角形. 14 新知探究 问题2:在上述拼接过程中,你得到了什么结论? 在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系? 30°角的对边等于三角尺斜边的一半. 你能证明你的结论吗? 15 新知探究 已知:如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°. 求证:BC=AB. 16 新知探究 证明:如图,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. ∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等), ∠BAC=∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∵∠BAC=30°,∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°. ∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形). ∴BC= BD= AB. 17 新知探究 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言:在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴BC= AB. 18 例2 求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高. 求证：CD=AB. A B C D 活动三:运用新知，深化理解 证明：在△ABC中，∵ AB=AC，∠B=15°， ∴ ∠ACB=∠B=15°(等边对等角). ∴ ∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30° (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). ∵ CD是腰 AB上的高， ∴ CD=AC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半). ∴ CD=AB. A B C D ∴ ∠ADC=90°. （教材P18“尝试·思考”变式）一个含30°角的直角三角尺 ABC如图1所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一 个如图2所示的等边三角形.若BC＝6，则AB的长为（　C　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 9 C 跟踪练习 （教材P20随堂练习T2变式）如图，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠A＝30°，CD⊥AB. 若AB＝4，求△ACD的周长. 解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4， ∴∠B＝60°，BC＝ AB＝2. ∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠DCB＝30°，∴BD＝ BC＝1， ∴AD＝AB－BD＝4－1＝3，CD＝ ＝ ， ∴AC＝2 ，∴△ACD周长为AD＋CD＋AC＝3 ＋3. 1.[2025沈阳铁西区期中]下列条件中，不能判定 是等边三角形的是 ( ) D A.， B.， C. D. 课堂练习 23 【解析】 A项，， ，根据“有一个角等于 的等腰 三角形是等边三角形”，可知 是等边三角形，不符合题意；B项， ，，又， ，根据“三个 角都相等的三角形是等边三角形”，可知 是等边三角形，不符合题 意；C项， ， ，根据“三个角都相等的三角 形是等边三角形”，可知 是等边三角形，不符合题意；D项， ，， ， ，根据已知条件无法得到 或 ，故无法判 定 是等边三角形，符合题意。 24 2.[2025晋中期中]由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方 便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即 可。如图1，衣架杆。若衣架收拢时， ， 如图2，则此时， 两点之间的距离是( ) C 图 1 图 2 A. B. C. D. 25 【解析】 连接。， ， 是等边三角 形，，即,两点之间的距离是 。 26 3.[2024长春期末]如图，一棵垂直于地面生长的树 在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部 分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为 ( ) B A.6米 B.9米 C.12米 D.15米 【解析】 如图，根据题意， ， 米， ， （米）， （米）。 27 4.[2025安徽中考]如图，在 中， ，，边的中点为 ， 边上的点满足。若 ， 则 的长是( ) B A. B.6 C. D.3 【解析】 ， ， ， ， ，， ， （由勾股定理得到）是的中点， 。 28 5. （教材P23习题T13变式）如图，△ABC是等边三角形， DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC. 求证：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC， ∴∠DAB＝∠CBE＝∠ACF＝90°， ∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°， ∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°， ∴△DEF是等边三角形. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F. （1）求证：△AEF是等边三角形； 解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠ABF＝30°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∴∠AEF＝∠BED＝90°－∠CBF＝60°. ∵∠AFB＝90°－∠ABF＝60°， ∴∠AFE＝∠AEF＝60°，∴△AEF是等边三角形. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°， AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F. （2）若AF＝2，求AD的长. 解：（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABF＝30°，∴AE＝BE. 由（1），知△AEF是等边三角形. ∵AF＝2，∴AE＝EF＝AF＝2，∴BE＝2. ∵在Rt△BED中，∠DBE＝30°， ∴DE＝ BE＝1，∴AD＝AE＋DE＝3. 课堂总结 1.本节课我们学到了哪些判定等边三角形的方法? 2.在证明含30°角的直角三角形的性质时,我们是如何运用“转化与化归”数学思想的? 32 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 等边三角形的判定 定义法 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 判定定理 直角三角形的性质定理 三条边都相等的三角形是等边三角形 课堂总结 $