1.2 等腰三角形 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

这是一份初中数学同步教学课件，共31页，聚焦等腰三角形的判定和反证法。通过导入复习旧知，引导探究“等角对等边”定理，包含动手画图测量、多种证明方法，结合例题讲解应用，系统介绍反证法的定义、步骤及实例，配套跟踪练习和课堂总结。 资料特色突出，以探究活动为支架，通过画图测量培养几何直观，多种证明方法发展推理能力，反证法教学结合实例（如证明三角形不能有两个直角）渗透逻辑思维，例题和练习融入中考真题。适合初中八年级学生，帮助其从具体到抽象转变，培养逻辑推理能力，为教师提供结构化教学流程和丰富实例，助力同步教学高效开展。

第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定和反证法 1 素养目标 1.掌握等腰三角形的判定定理并运用其解决问题． 2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明． 3.通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力． 重点：1.等腰三角形判定方法的运用． 2.反证法的基本步骤． 难点：等腰三角形判定方法的运用． 2 导入新课 问题1:上节课我们学习了等腰三角形的两个性质定理,它们的内容是什么? 等边对等角,三线合一. 等腰三角形的两个底角相等. 问题2:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 3 新知探究 任务一:探究等腰三角形的判定定理 问题:如果一个三角形有两个角相等,那么它是一个等腰三角形吗? 活动:利用量角器和直尺画一个三角形,使得两个角相等(如∠B=∠C=70°),然后测量它们所对的边AB和AC的长度. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 如何证明这一结论呢? 4 新知探究 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C. 求证:AB=AC. 证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D. ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 5 新知探究 已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C. 求证:AB=AC. 还有其他证明方法吗? 也可作∠BAC的平分线AD,利用AAS证明△ABD≌△ACD. 6 新知探究 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简述为等角对等边. 符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC. “等边对等角”与“等角对等边”有什么相同和不同? “等边对等角”是等腰三角形的性质定理,“等角对等边”是等腰三角形的判定定理. 7 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴ △ABD≌△DCA(SSS). ∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等). ∴ AE=DE(等角对等边). ∴ △AED是等腰三角形. 任务二:例题讲解——判定定理的应用 下列条件能判定△ABC是等腰三角形的是（　B　） A. ∠A＝30°，∠B＝60° B. ∠A＝50°，∠B＝80° C. ∠A＝2∠B＝70° D. AB＝3，BC＝7，周长为15 B 跟踪练习 解题通法 “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法 在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等. 新知探究 任务三:反证法 问题:小明认为,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明的这个结论成立吗?如果成立,你能证明它吗? 即在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. 11 新知探究 在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. 证明:如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据定理“等边对等角”可得∠B=∠C,这与已知条件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC. 12 像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法. 注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的; 新知探究 这种证明方法和我们以前的证明方法一样吗?它有什么特点? 不一样,这里先假设命题的结论不成立,然后从假设出发,推导出与已知条件相矛盾的结果,说明假设错误,从而证明原命题的结论一定成立. 14 新知探究 反证法的概念: 在证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法. 15 例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°. 于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件. 解题通法 用反证法证明的一般步骤 (1) 先假设结论的反面是正确的； (2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果； (3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确. 在△ABC中，已知AB＝AC. 求证：∠B＜90°. 下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为 180°矛盾. ②因此假设不成立，所以∠B＜90°. ③假设在△ABC中，∠B≥90°. ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（　D　） A. ④③①② B. ③④②① C. ①②③④ D. ③④①② D 跟踪练习 1.[2024四平期末改编]如图，是一块三角形木板的 残余部分，量得 ， ， ， 则 边的长是( ) C A.3 B.4 C.7 D.无法确定 【解析】 ， ， 。 课堂练习 19 2.[2025上海浦东新区月考]下列条件中，不能判定 是等腰三角形的 是( ) D A.，， B. C. ， D. 20 【解析】 对于A项，，，，， 能判 定是等腰三角形，故不符合题意；对于B项， ， 可设 ， ， ，，， 能 判定是等腰三角形，故不符合题意；对于C项， ， ， ， ， ， 能判定 是等腰三角形，故不符合题意；对于D项, ，， 不是等腰三角形，故 符合题意。 21 3.新趋势·数学文化 [2024三明期末]牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的 武器之一。”用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时， 应先假设( ) A A.一个三角形中有两个角是直角 B.一个三角形中有两个角是钝角 C.一个三角形中有两个角是锐角 D.一个三角形中有一个角是直角 22 4.[2025长春四十五中月考]用反证法证明“在中，若 ，则 ”时，应假设( ) C A. B. C. D. 23 5.[2025石家庄裕华区期末]如图，在 中， ，，，过点 的直线，与 的平分线分别 交于点，，则 的长为( ) A A.14 B.16 C.18 D.20 【解析】 ，。平分 ， ，，。同理可得， ， 。 24 6.[2025成都锦江区期中]如图，为 内一点， 平分，，垂足为，交于点 ， 。若，，则 的长为__。 【解析】 平分，。 ， 。又， ， ，。，。 ， ，，， 。 25 证明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR. 又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP. 在Rt△QPB和Rt△RPC中， ∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°， ∴∠B＝∠C，∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形. 7. （教材P21习题T7变式）如图，在△ABC中，P是边BC上的 一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于 点R. 若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形. 8. 用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°. 证明：假设△ABC中的∠A，∠B，∠C都小于60°， 则∠A＋∠B＋∠C＜3×60°， 即∠A＋∠B＋∠C＜180°， 这与三角形的内角和定理矛盾， 因此∠A，∠B，∠C都小于60°不成立， 所以一个三角形中至少有一个角不小于60°. 9.[2025自贡自流井区期中]如图，点在 的边的延长线上， 点在边上，交 于点，，。 求证: 是等腰三角形。 28 证明:如图，过点作交于点 。 ，， 。 又， ， ， 。 ， ， ， ， 是等腰三角形。 29 课堂总结 1.本节课你经历了怎样的探究过程得到等腰三角形的判定定理? 2.反证法的基本思路和步骤是什么? 3.你收获了什么数学知识?积累了哪些数学思想方法? 30 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边” 等腰三角形的判定 反证法 判定定理 有两条边相等的三角形是等腰三角形 定义法 引入 课堂总结 $