1.2 等腰三角形 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1 素养目标 1.探索并证明等腰三角形的性质． 2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算． 3.掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题． 4.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性． 重点：1.探索并证明等腰三角形的性质． 2.运用等腰三角形和等边三角形的性质进行证明和计算． 难点：等腰三角形性质的证明． 2 导入新课 什么是等腰三角形?它有哪些特征? 有两边相等的三角形是等腰三角形,它有两条边相等的特征. 3 导入新课 除了两边相等,等腰三角形还有哪些性质?比如,按照如图所示的折纸活动,你发现它的两个底角有什么关系?底边上的中线、高线、顶角的平分线之间又有什么关系?请同学们猜想一下. 它的两个底角相等;三条线好像重合. 这些都只是我们的猜想,我们的猜想 对不对呢?如何用最严谨的数学逻辑来验 证这些猜想?这就是今天要学习的内容. 4 新知探究 环节一:证明等腰三角形的性质——等边对等角 问题:你能证明“等腰三角形的两个底角相等”这个猜想吗? 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C. 要证明两个角相等,我们学过哪些结论? 全等三角形、平行线等,目前没有平行线,所以构造全等三角形是首选. 5 新知探究 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C. 如何构造全等三角形? 回想折纸的过程,那条折痕给了我们什么启示? 折痕将等腰三角形分成了两部分. 作法一:作底边BC的中线AD. 作法二:作顶角∠A的平分线AD. 作法三:作底边BC上的高AD. 6 新知探究 已知:如图,在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B=∠C. 证明:如图,取BC的中点D,连接AD. ∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 用另外两种作辅助线的方法能否证明?为什么? 7 新知探究 定理:等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为“等边对等角”. 符号语言:在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 8 新知探究 环节二:探究等腰三角形的性质——三线合一 在上面的证明中,得出△ABD≌△ACD,除了∠B=∠C,还能得到哪些结论? BD=CD,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°. 由此,你发现了什么? 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 9 新知探究 若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢? ①∵AB=AC,∠BAD=∠CAD(已知顶角平分线),AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴AD⊥BC,BD=CD(即高、中线). 10 新知探究 若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢? ②∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵AD⊥BC(已知高),∴∠ADB=∠ADC=90°. 又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS). ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD(即中线、顶角平分线). 11 新知探究 若已知AD是△ABC的顶角平分线,你能否用符号语言表达推出AD是底边上的高和中线的过程吗?若已知底边上的高或中线呢? ③∵AB=AC,BD=CD(已知中线),AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD(即高、顶角平分线). 12 等腰三角形的性质定理 ： 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”). 注意：“三线合一”即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”. A B C D 符号语言： 在△ABC中，∵ AB=AC， ∠1=∠2 (已知)， ∴ BD=CD，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， BD=CD (已知)， ∴ ∠1=∠2，AD⊥BC (“三线合一”). 或∵ AB=AC， AD⊥BC (已知)， ∴ BD=CD，∠1=∠2 (“三线合一”). 1 2 A B C D 已知等腰三角形的顶角的度数是30°，则它的底角的度数是 （　D　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° [变式]（2024·湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为40°， 则它的顶角的度数为 ⁠. D 100°　 跟踪练习 有关等腰三角形性质的一些结论 (1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. 如图，DE+DF=CH. 等面积法：∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC， ∴ ·AB·CH=·AB·DE+·AC·DF. 又∵ AB=AC，∴ DE+DF=CH. (2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半. 如图，∠HCB=∠BAC. 证明：在Rt△BHC中，∠B=90°-∠HCB， 在等腰三角形ABC中，∠B=(180°-∠BAC)= 90°-∠BAC， ∴90°-∠HCB=90°-∠BAC，即 ∠HCB=∠BAC. 新知探究 环节三:探究等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形,那么它除了具备等腰三角形的所有性质外,还有哪些特殊的性质呢? 三个角都相等. 如何证明这个猜想呢?能得出每个角等于多少度吗? 利用“等边对等角”进行证明、推理: ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=BC, ∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.再根据三角形内角和定理,得出每一个角等于60°. 19 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 新知探究 等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都重合. B C A 等腰三角形 等边三角形 边 角 三线 合一 对称性 每条边上的中线、高和这边所对的角的平分线都重合(3条) 三个角都相等，且都是60° 轴对称图形(3条对称轴) 轴对称图形(1条对称轴) 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条) 两腰相等 三条边都相等 等边三角形与等腰三角形的性质归纳 如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上， ∠1＝40°，则∠2的度数为（　C　） A. 100° B. 90° C. 80° D. 60° C 跟踪练习 如图，在等边三角形ABC中，AD，BE是△ABC的两条中 线，则∠AOB的度数为 ⁠. 120°　 1.[2025金华期末]已知等腰三角形的一个内角的度数为 ，则它的顶角 的度数为( ) D A. B. C. D. 或 【解析】 如图，在中， 。分两种情况： ①顶角 ；②当底角为 时，则 ，所以 。 故这个等腰三角形的顶角的度数为 或 。 课堂练习 25 2.[2024兰州中考]如图，在中， ， ，，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中，， ， ， 。 ， ， 。 26 3.[2024云南中考]已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线 的距离为3，则点到直线 的距离为( ) C A. B.2 C.3 D. 【解析】 是等腰三角形底边上的高，是 的平分线， （等腰三角形的“三线合一”）点到直线的距离为3， 点到直线 的距离为3。（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 27 4.[2025西安一中期中改编]如图，在等边三角形 中，是边上一点，于点，则 的 度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】 是等边三角形， ， ， ， 。 28 5. 如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC延长线上一点， E为CA延长线上一点，且AE＝DC，连接AD，BE. 求证： BE＝AD. 证明：∵在等边三角形ABC中，AB＝CA， ∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠EAB＝∠DCA＝120°. 在△EAB和△DCA中， ∵AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA， ∴△EAB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD. 6.教材习题变式 [2025泉州七中月考]如图，在等 边三角形中，，分别是边， 上的点， 连接，，与交于点， 。 （1）求证: 。 证明：是等边三角形， ， 。在和 中， ， 。 30 （2）求 的度数。 解:是等边三角形， 。 ， ， 。 31 课堂总结 1.我们是怎样研究等腰三角形的性质的? 2.在证明中我们用到了什么重要的数学思想? 3.回顾七年级至今研究图形性质的过程,你认为研究一个几何图形的一般路径是什么? 32 课堂总结 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 A B C D 1 2 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 A B C $