1.1 三角形内角和定理 第4课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第4课时 多边形的外角和 1 素养目标 1.探索多边形的外角和，进一步发展学生简单推理的意识及能力． 2.会用多边形的内角和公式解决相关问题． 重点：多边形外角和定理的探索和应用． 难点：灵活运用公式解决简单的实际问题． 2 导入新课 如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑.小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角? 这节课我们就来探究与这个问题有关的知识. 3 新知探究 活动一:明确多边形外角及外角和的定义 问题:如图,小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑. (1)小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时,跑步方向改变的角是哪些角?在图上标出这些角. 如图,跑步方向改变的角是∠1,∠2, ∠3,∠4,∠5. (2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总 和是多少度?说说你的理由,并与同伴进行交流. 1 2 3 4 5 4 新知探究 (2)∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°, ∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=180°×5=900°. ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°, 即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°. ∴跑步方向改变的角的总和是360°. 5 新知探究 如图,延长边CB至点D.像∠ABD这样,在多边形的顶点处,多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,就是多边形的外角. 每个顶点只取一个外角,这个外角与相邻的内角是什么关系? 互为邻补角,和为180°. 6 新知探究 活动:请在你自己画的四边形、五边形上,每个顶点画出一个外角并进行标注. 同桌互相检查:是否每个顶点只画了一个外角?外角与内角是否相邻? 7 新知探究 四边形、五边形各有几个外角?n边形有几个外角? 四边形有4个外角,五边形有5个外角,n边形有n个外角. 你能否给外角下一个定义? 8 多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角. 你知道n边形有几个外角吗? 如图，∠6也是五边形ABCDE的外角, 所以n边形有2n个外角. 6 9 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. 新知探究 活动二:探究三角形、四边形的外角和（操作猜想） 问题:三角形和四边形的外角和分别是多少? 活动:以小组为单位探究三角形、四边形的外角和. 选择度量法和剪拼法. 三角形、四边形的外角和均为360°. 11 新知探究 三角形、四边形的外角和均为360°,那么五边形、六边形、八边形呢?会不会所有多边形的外角和都是360°? 活动:以小组为单位进行探究,分析五边形、六边形、八边形的外角和. 五边形、六边形、八边形的外角和也都是360°. 12 新知探究 活动三:证明三角形、四边形的外角和（逻辑证明） 问题:你能证明三角形、四边形的外角和分别是360°吗? 三角形的内角和是180°,且每个外角与内角互为邻补角(和为180°),能不能用这两个知识证明三角形的外角和是360°? 13 新知探究 如图,设△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C的对应外角分别为∠1,∠2,∠3, 则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B,∠3=180°-∠C. 求和得∠1+∠2+∠3=3×180°-(∠A+∠B+∠C)=540°-180°=360°. 14 新知探究 你能否模仿三角形的外角和证明过程,证明四边形的外角和? 如图,设四边形ABCD的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D的对应外角分别为∠1,∠2,∠3,∠4, 则∠1=180°-∠A,∠2=180°-∠B, ∠3=180°-∠C,∠4=180°-∠D. 求和得∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°-(∠A+∠B+∠C+∠D)=720°-360°=360°. 15 新知探究 五边形、六边形、八边形的外角和,你能证明吗? 这种证明方法的关键是什么? 将外角和转化为n个邻补角的总和减去内角和的形式,用已知的内角和公式推导未知的外角和,这是转化思想的应用. 16 新知探究 活动四:推广到n边形的外角和，总结核心结论 问题:n边形的外角和是多少? 三角形、四边形、五边形、六边形、八边形的外角和都是360°,那么n边形(n≥3)的外角和呢?是不是也是360°?请大家类比前面的证明方法,尝试推导. 17 猜想：n边形的外角和都是360°. 理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角， 它们的和是180°， ∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°， 又∵n边形的内角和为(n-2)×180°， ∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°． 18 定理 多边形的外角和等于360°. 注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 新知探究 问题:n边形的外角和是多少? 多边形的外角和定理:多边形的外角和等于360°. 无论n是3,4,5,还是100,n边形的外角和恒为360°,这与多边形的内角和(随n的增大而增大)完全不同. 例如,九边形的外角和是360°,十边形的外角和也是360°. 20 新知探究 辨析以下说法或结论: ①多边形的外角和是所有外角的和. ( ) 正解:每个顶点只取一个外角,不是所有外角. ②多边形的边数越多,外角和越大. ( ) 正解:多边形的外角和恒为360°,与边数无关. × × 21 例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形? 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得 (n-2)·180°=3×360°. 解得 n=8. 所以，这个多边形是八边形. 新知探究 活动五:运用新知，例题讲解 研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法? 思考·交流 转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和. 多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和. 跟踪练习 正六边形一个外角的度数为（　B　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° [变式] 若正n边形的一个外角的度数是36°，则n＝ ⁠. B 10　 1.[2024资阳中考]已知一个多边形的每个外角都等于 ，则该多边形的 边数是( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】 任意多边形的外角和都是 ，这个多边形的每个外角都等 于 ， 该多边形的边数是 。 课堂练习 25 2.教材例题变式 [2025遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4 倍，则该多边形的边数为( ) A A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】 设该多边形的边数为 ，根据题意，得 ，解得 ，则该多边形的边数为10。 26 3.教材习题变式 若一个多边形的边数增加1，则这个多边形的内角和与外 角和增加的度数之和是( ) A A. B. C. D. 【解析】 由多边形的内角和公式可知，这个多边形边数增加1，则它的内 角和增加 ；由任意多边形的外角和都是 可知，这个多边形的外 角和增加 ，则这个多边形的内角和与外角和增加的度数之和是 。 27 4.[2025重庆二十九中月考]如图，小明在操场上从 点出 发，沿直线前进8米后向左转 ，再沿直线前进8米后， 又向左转 ，这样走下去，他第一次回到出发地 点 时，一共走了( ) D A.56米 B.64米 C.80米 D.72米 【解析】 由题意可知，小明所走的路线是正多边形，因为 ，所以这个正多边形是正九边形，所以他一共走了 （米）。 28 5. 已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角大120°，求这 个多边形的边数. 解：由题意，知这个多边形的每个内角均相等. 设这个多边形的每个外角的度数为x， 则每个内角的度数为x＋120°. 根据题意，得x＋x＋120°＝180°，解得x＝30°， ∴它的边数为360°÷30°＝12. 6.[2025马鞍山期中]已知一个多边形的边数为 。 （1）若该多边形的内角和的比外角和多 ，求 的值； 解：由题意，得 ， 解得 。 （2）若该多边形是正多边形，且其中一个内角为 ，求 的值。 解：由题意，得 ， 解得 。 30 多边形的外角和定理 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和 正n边形的每一个外角的度数为 多边形的外角和等于360° 多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角 多边形的外角 多边形的外角和 多边形的外角和定理 课堂总结 通过本节课,你学到了什么? $