河南方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（十五）

方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（十五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 3．一束光线从点射出，经轴反射后与圆相交于两点，且，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4． “”是“直线与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 5．已知，则（    ） A． B． C． D．0 6．在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．某校为了解该校高一年级学生的数学成绩，从某次高一年级数学测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其数学成绩（满分为100分），得到如下数据：12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．经计算得这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73，则下列说法正确的是（   ） A．这8名女生的数学成绩的极差为14 B．这8名女生的数学成绩的第25百分位数是67 C．为了增加数学成绩的区分度，现在把这12名男生的成绩换算成150分制（每位学生的成绩乘以二分之三），则这12名男生数学成绩换算后的方差是 D．这20名学生的数学成绩的方差是33 10．已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B．若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C．设直线PA、PB的斜率分别为，则 D．若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 11．伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（   ） A．若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则 B．双纽线C上满足的点有1个 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为 ． 13．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等． 其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位:cm)，那么该壶的容量约为 ． (A)       (B)         (C)          (D) 14．已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 16．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 17．平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. (1)求折叠前的标准方程； (2)若，求； (3)当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 18．已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 19．已知函数 (1)讨论函数的单调性 (2)若函数的极大值为． ①求实数a的值； ②令，实数.求证：有两个极小值点，且. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（十五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A C C D ABD ACD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】由结合集合的交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 2．B 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 3．C 【分析】求出点关于轴的对称点，再设反射光线所在直线的斜率为，结合弦长公式即可求解. 【详解】圆的方程可化为. 易知关于轴对称的点为. 如图所示， 易知反射光线所在直线的斜率存在，设为， 其方程为，即， ， ∴圆心到直线的距离为， 即，化简得，解得或. 故选：C. 4．A 【分析】分析可得，两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义，即可得答案. 【详解】∵对于任意，恒成立， ∴直线与垂直恒成立， ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 5．A 【分析】利用同角的三角函数关系式中的商关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 6．C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 7．C 【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为，且， 所以满足条件的最大整数. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是发现是等比数列，从而由等比数列前项和公式可将表示出来，结合单调性即可得解. 8．D 【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围. 【详解】的定义域是，， 令， 所以在区间递减；在区间递增. 要使有两个极值点，则， 此时， 构造函数， 所以在上递增，所以， 所以， 所以实数a的取值范围. 故选：D 【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系. 9．ABD 【分析】根据极差定义判断A，根据百分位数定义即得判断B，应用方差性质及分层抽样的方差公式计算判断C，D. 【详解】12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，，8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80．这8名女生的数学成绩的平均数与方差分别是，，这20名同学数学成绩的平均数是73， 则这8名女生的数学成绩的极差为，A选项正确； 8名女生的数学成绩分别为66，66，68，68，68，68，76，80，因为，则这8名女生的数学成绩的第25百分位数是，B选项正确； 12名男生的数学成绩的平均数与方差分别是，， 现在把这12名男生的成绩换算成150分制，则这12名男生数学成绩换算后的方差是，C选项错误； 因为这20名学生的数学成绩平均数，这20名学生的数学成绩的方差是，D选项正确； 故选：ABD. 10．ACD 【分析】根据直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、三角形的面积、定值问题以及三角形内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，代入得， 解得（负根舍去），所以， 两边除以得，解得，A选项正确. B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为， 所以，所以， 由于双曲线的离心率，所以， 所以，所以B选项错误. C选项，设，则， ，， 所以C选项正确. D选项，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，如图所示， 则，且， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确. 故选：ACD    【点睛】思路点睛： 利用双曲线的几何特性求解离心率：首先通过双曲线的焦点和交点条件，利用关于的方程推导出离心率. 内切圆位置的几何分析：通过分析双曲线在第一象限内的内切圆位置，利用几何关系确定圆心具体的横坐标. 11．ABC 【分析】由已知，代入坐标整理即可得出方程，即可判断A，令，求出，即可判断B，根据面积公式判断C，首先根据余弦定理，以及基本不等式判断D. 【详解】对于A，由双纽线的定义得：， 即，化简得：， 当时，点P的轨迹方程为， 令，解得或，所以，A正确； 对于B， ，由，得点P在y轴上， 在方程中，令，解得， 则满足的点P为，只有一个，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，的周长为，设， 则， 当且仅当时取等号，当时，，而点P不能在x轴上，则， 于是 即，则， ，因此的周长的取值范围为，D错误． 故选：ABC 12．120° 【分析】根据法向量求直线的方向向量，由方向向量即可求出倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 倾斜角为120°． 故答案为：120° 【点睛】本题考查了求直线的方向向量、由方向向量求直线的倾斜角，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 13．（C）. 【分析】方法1：运用圆台体积公式计算即可. 方法2：运用大圆锥体积减去小圆锥体积即可为圆台体积计算即可. 【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4， 则. 方法2：如图， 设大圆锥的高为h，则，解得：， 所以. 故答案为：（C）. 14． 【分析】首先判断是的一个解，当时，将问题转化为有三个不同的解，构造函数，根据导数研究函数的性质，分类讨论求解. 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角； （2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解. 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率可得，，进而可得和椭圆方程； （2）可得直线方程为，与椭圆方程联立结合韦达定理求弦长； （3）联立方程求点的坐标，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程. （2）由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交， 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则， 由弦长公式可得：. （3）当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或， 即， 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 故， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 可得 平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率计算得到椭圆的标准方程； （2）设点其中，因为轴于点，得到，利用两直线垂直的斜率关系和直线的点斜式方程得到直线的方程为，进而得到，计算的方程为，进而得到，计算得到证明. 【详解】（1）因为椭圆：的右焦点，所以， 因为离心率，解得，由，解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故， 直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故， 因此为定值. 综上所述，为定值. 19．(1)答案见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先求的定义域，再求导，根据的范围分类讨论即可求解； （2）①根据的极大值即可求； ②由，构造，利用导数研究单调性求在的值域，令，可得，利用导数研究单调性进而得的极小值点，进而得证. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，在递增， 当时，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减； （2）①因为函数的极大值为，由（1）知， 此时函数的极大值为， 所以，解得； ②， 则， 可知的定义域为， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 可知在内值域为， 令，可得，则， 且，令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设， 因为，则有： 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 所以有两个极小值点， 又因为， 则，， 所以. 答案第16页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $