8.1平方根（3课时）课件 2025--2026学年人教版七年级数学下册

8.1 平方根 第八章 实 数 第2课时 算术平方根及其应用 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 2 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 3 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算 术平方根;（重点） 2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点） 学习目标 侵权必究 情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 5 dm 因为 52=25 新课导入 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 6 已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算. 正方形的边长 1 2 0.5 正方形的面积 1 一、算术平方根 填表： 表1 思考：你能从表1发现什么共同点吗？ 4 0. 25 讲授新课 侵权必究 正方形的面积 1 4 0.36 49 正方形的边长 已知一个正数的平方，求这个正数. 表 2 表1和表2中的两种运算有什么关系？ 1 2 0.6 7 思考：你能从表2发现什么共同点吗？ 侵权必究 正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根，正数a的算术平方根用 来表示. （一）、算术平方根的概念 a的算术平方根 互为 逆运算 平方根号 被开方数 读作：根号a （a≥0) (x≥0) 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为 侵权必究 3.下列说法正确的是 . ①4是25的算术平方根. ② 0.01是0.1的算术平方根. ① 1. 下列说法正确的是(　　) A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根 B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根 C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D．以上说法都不对 A 练一练： 2．16的算术平方根是　　　　． 4 侵权必究 1.一个正数的算术平方根有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 2.0的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有1个 合作与交流： （二 ）、算术平方根的性质 侵权必究 判断题：下列各式是否有意义？为什么？ 有 有 有 无 练一练 侵权必究 不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 求下列各数的算术平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.0001. 例1 解： (1)因为102 = 100，所以100的算术平方根是10， 即 (2)因为( )2 = ，所以 的算术平方根是 ， 即 ； (3)因为0.012 =0.0001，所以0.0001的算术平方 根是0.01，即 =0.01. 侵权必究 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) . 例2 解： (1)因为62=36，所以 =6； (2)因为0.92=0.81，所以 ； (3)因为 ，所以 . 侵权必究 （1）49的算术平方根是______; 7 2 一步运算 两步运算 （2） 的算术平方根是______. 例3 填空： 注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解. 归纳： 侵权必究 问题1: (1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是____， 即 ＝______. (2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______， 即 ＝______. (3)因为_____2=0，所以0的算术平方根是______， 即 ＝______. 8 8 8 0.5 0.5 0.5 0 0 0 问题2: 讨论：在 中，被开方数a是一个_____数， 算术平方根 是一个______数. 非负 非负 二、算术平方根的双重非负性 侵权必究 算术平方根具有双重非负性 a的算术平方根 非负数 非负数 侵权必究 解： 无意义，因为其被开方数不是非负数． 下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？ 注意：被开方数为非负数. 练一练 侵权必究 解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，且|m-1| + =0, 所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2. 例4 若|m-1| + =0,求m+n的值. 几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 归纳 侵权必究 3.若 ，则a= ； 2.若 ，则m= ； 4.若｜a-3|+ ，则式子(a+b)2021 =___. 1.若|a+1|=0 ， 则a= ； -1 7 5 -1 练一练 到目前为止，表示非负数的式子有： |a|≥0, a2 ≥0, ≥0(a≥0). 侵权必究 探究 怎样用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积2dm2的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形. 设大正方形的边长为xdm，则 x2=2. 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长是 小正方形的对角线的长是多少呢？ 探究 有多大呢？ 因为12=1,22=4,12＜2＜22，所以1＜ ＜2； 因为1.42=1.96,1.52=2.25,1.42＜2＜1.52，所以1.4＜ ＜1.5. 因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,1.412＜2＜1.422，所以1.41＜ ＜1.42. 因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,1.4142＜2＜1.4152，所以1.414＜ ＜1.415. ...... 探究 如此进行下去，可以得到 的更精确的估计范围.事实上， =1.414213562373···，它是一个无限不循环小数. 实际上，很多正有理数的算术平方根（例如 ， ， 等 ）都是无限不循环小数. 无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，你以前见过这样的数吗？ 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 25 A A 当堂练习 侵权必究 B 侵权必究 4.填空： (1) 一个数的算术平方根是8，则这个数是 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是 . 5.计算： (1) 的算术平方根为 . (2) 2的算术平方根为____. 3 64 a2 a2+1 3 侵权必究 6.求下列各数的算术平方根: （1）121； (2) ； (3) 0.0001. 解：(1)因为112 =121,所以121的算术平方根是11， 即 ; (2)因为 ,所以 的算术平方根是 ， 即 (3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根 是0.01，即 侵权必究 解:（1） （2） 7.求下列各式的值： （1） （2） （3） （3） 侵权必究 侵权必究 解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得 故每块地板砖的边长是0.5 m. 9.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 侵权必究 10.已知：｜x+2y|+ . 求x-3y+4z的值. 解：由题意得： 解得 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 34 算术平方根 算术平方根的概念 算术平方根的双重非负性 课堂小结 侵权必究 2．下列说法正确的是（　　） A.表示25的算术平方根 B．－表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作± D．2是的算术平方根 1．数4的算术平方根是（　　） A．2 B．－2 C．±2 D. 3．下列说法： ①－4的算术平方根是－2； ② 3的算术平方根是9； ③ 是7的算术平方根； ④ 64的算术平方根是8.其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （3）的结果是　　　　． $第八章 实 数 8.1 平方根(第3课时) 用计算器求一个正数的算术平方根及估算 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 2 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 3 1.会用计算器求算术平方根; 2.掌握算术平方根的估算及大小比较．（重点） 学习目标 侵权必究 新课导入 通过上节课的学习，我们知道 的范围是 你还记得这个范围是怎么推断出来的吗？你可以用同样的方法推断出 介入哪两个相邻整数之间吗？ 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 6 大多数计算器都有 键，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数). a = 一、用计算器求算术平方根 按键顺序： 不同的计算器的按键方式 可能有所差别！ 侵权必究 用计算器求下列各式的值： (1) ； (2) (结果保留小数点后三位). 例1 解： (1)依次按键 3136 ， 显示：56. ∴ =56. (2)依次按键， 2 ， 显示：1.414 213 562. ∴ ≈1.414. 侵权必究 下面来解决本章引言中提出的问题. 由 及 的实际意义，得 ，其中 ≈9.8（单位：m/s2），R≈6.4×106（单位：m）.用计算器求得 因此，第二宇宙速度 约为1.12×104m/s，即11.2km/s. 侵权必究 … … … … 规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位. (1)用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律? 探究 侵权必究 (2)用计算器计算 (结果保留小数点后三位),并利用你在(1)中发现的规律说出 的近似值,你能根据 的值求出 的近似值吗? 侵权必究 例2 估算 的值 (　　) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 解析：因为42<19<52,所以4< <5. 故选D. D 估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须 先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间 归纳 侵权必究 例3 通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.9； (2) 与1.5. 解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9. (2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5. 比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值 归纳 侵权必究 例4 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z 解:由题意知正方形纸片的边长为20cm. 设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有 就是3× 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 15 1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是 （ ） A. 3 B. －3 C. －1 D. 1 2. 估计 在 ( ) A. 2～3之间 B. 3～4之间 C. 4～5之间 D. 5～6之间 B D 当堂练习 侵权必究 3. 设n为正整数，且n< <n＋1，则n的值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 D 4.已知 ≈4.80， ≈15.17，则 的值约为（　　） A．0.480 B．0.048 0 C．0.151 7 D．1.517 B 侵权必究 5.用计算器求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) (精确到 0.01). 解： 侵权必究 6.比较大小： 解：∵ 5＞4， 　　∴ 　　　， ∴ 　　　　　　， ∴ 　　　　　． 侵权必究 侵权必究 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 22 用计算器开方 使用计算器进行开方运算 算术平方根的估算及比较大小 课堂小结 侵权必究 8．国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由． 解：这个足球场能用作国际比赛．理由如下： 设足球场的宽为x m，则足球场的长为1.5x m， 由题意，得1.5x2＝7 560. ∴x2＝5 040. ∵x＞0，∴x＝. 又∵702＝4 900，712＝5 041，∴70＜＜71. ∴70＜x＜71.∴105＜1.5x＜106.5. ∴符合要求．∴这个足球场能用作国际比赛． $8.1 平方根 第八章 实 数 第1课时 平方根 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 新课导入 教学目标 教学重点 1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．（重点、难点） 学习目标 （1）32= ，（－3）2= ； （2） ， ； （3）0.82= ，（－0.8）2= . 9 0.64 0.64 填空： 9 思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？ 新课导入 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 讲授新课 典例精讲 归纳总结 问题 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 想一想：3和-3有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是3或-3. 一、平方根的定义 3和-3互为相反数，会不会是巧合呢? 讲授新课 你发现了什么结论？ 填一填 填表： x2 1 16 36 49 x 8 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.　 平方根的概念 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 开平方 平方 例1 求下列各数的平方根． （1）100 （2） （3）0.25. 解： （1）因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10. （3）因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5. 已知72=49，（-7）2=49，下列说法正确的是（ ）　　 A．49的平方根是7 B．49的平方根是-7 C．49的平方根是±7 D．以上均不正确 1. D 练一练 求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3） . 解：（1）±11；（2）±0.1；（3） . 2. 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -49有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数 二、平方根的性质 看谁算的又快有准 通过这些题目的解答，你能发现什么? 问题：（1）正数有几个平方根？它们之间有什 么关系？ 想一想 因为任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根. （2）0的平方根是多少？ （3）负数呢？ 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 （1）平方根的性质： 1.正数有两个平方根，它们互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根. 要点归纳 （2）平方根的表示方法： 正数a的正的平方根记为“ ”,读作“根号a”，a叫作被开方数，正数a的负的平方根可以用“ ” 表示，故正数a的平方根可以用“ ”表示，读作“正、负根号a”. 说一说 各表示什么意义？ 表示7的正的平方根 表示7的负的平方根 表示7的平方根 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根，如果没有，说明理由. （1）0.36；（2）-5；（3）（-4）2. 例2 解：（1）因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根， （2）因为-5是负数，所以-5没有平方根； （3）因为（-4）2=16是正数，所以（-4）2有两个平方根， 例3 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4， 求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数. 1.判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）81的平方根是9； （2）(-5)2的平方根是-5； （3）64的平方根是±8； （4）-16的平方根是-4． （5）0的平方根是0. 做一做 2．若一个数的平方等于5，则这个数等于　　　． 当堂练习 当堂反馈 即学即用 1.下列说法正确的是（ ）　　 A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C．-1的平方根是-1 D．0.1是0.01的一个平方根 B 当堂练习 21 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.如果x2＝a，那么下列说法错误的是(　　) A.若x确定，则a的值是唯一的 B.若a确定，则x的值是唯一的 C.a是x的平方 D.x是a的平方根 B C D 5.下列说法正确的是_________. ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0. ①④ 6. 分别求 64， ，6.25 的平方根. 64的平方根是8与-8， 的平方根是 与 ， 6.25的平方根是2.5与-2.5. 解: 课堂小结 归纳总结 构建脉络 平方根 平方根的概念 开平方及相关运算 平方根的性质 课堂小结 2．（－3）2的平方根是（　　） A．3 B．－3 C．±3 D. 4.若8xmy与6x3yn的和是单项式，则（m＋n）3的平方根为（　　） A．4 B．8 C．±4 D．±8 $