2025-2026学年高二上学期数学验收卷（二）人教A版

2025-2026年高二上学期数学验收卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 2．已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用给定条件求出等比数列的基本量，再利用等比数列求和公式求解目标式取值 【详解】设公比为，因为，， 所以，解得， 而正项等比数列的前n项和为， 得到，故C正确. 故选：C 3．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程． 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内， 设，则， 两式相减得，而， 因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故选：A 4．为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求目标概率. 【详解】由题意，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. 故选：C 5．已知圆直线；，直线与圆相交于、两点.则弦长度的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由圆的方程可得圆心坐标及半径的值，再由直线的方程可得直线恒过定点，代入弦长公式可得当最小时弦长最大，当最大时弦长最小，求出的最大最小值，进而求出弦长的最小最大值. 【详解】解：圆可得圆心，半径， 因为直线；，恒过直线和的交点， 解得：，， 即直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径， 当最大时，这时， 所以弦长的最小值为， 所以弦长的范围为，， 故选：. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长，圆的弦长常常用几何法计算，即利用垂径定理（勾股定理）计算，若直线过圆内一定点，则当弦过圆心时弦长最长，当为弦中点时，弦长最短． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则题意得P为的重心，则Q为的中点，可得，结合双曲线的定义和已知条件可求出，，，在中利用余弦定理列方程化简，可求出双曲线的离心率. 【详解】如图所示，设，，因为O为的中点，， 所以P为的重心，所以Q为的中点， 又，所以， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为，所以，. 在中，， 在中，由余弦定理得，， 化简得，所以，解得（舍去）， 故C的离心率为， 故选：A. 7.如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 8．已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义将所求距离之和转化为抛物线上的动点到焦点与定直线的距离之和加1，结合图形，判定当且仅当三点共线时，取得最小值即可. 【详解】 由可知抛物线的焦点为，准线方程为：， 如图过点作于点，作于点，交直线于点，则， 由图知，，则M到直线和的距离之和为： ， 因点M是抛物线上的动点，故当且仅当三点共线时，取得最小值， 即点到直线的距离，为，此时取得最小值为， 即M到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9．设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过代入求值、分析直线平行关系、验证过原点情况及利用直线恒过点求距离最大值来逐一判断选项. 【详解】选项A，当时，直线的方程为.令，得横截距为； 令，得纵截距为，截距相等，故A正确. 选项B，当时，，，两直线斜率相同且纵截距不同， 平行无公共点，故B正确. 对于选项C，将代入方程，得，故不经过原点，C错误. 对于选项D，将方程整理为，所以直线恒过定点， 原点到距离的最大值为原点到的距离，故D正确. 故选：ABD 10．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．当时，点到平面的距离为 C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D．若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】证明平面，结合三棱锥的体积求法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断BD；利用球面的性质求出交线长度判断C. 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面， 则平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 对于B，， ，有，则是平面的法向量，而， ，因此点到平面的距离，B错误； 对于C，令为球面与侧面交线上的点，由侧面，得， 而，，则，球面与侧面的交线是以点为圆心， 2为半径的圆的，长度为，C正确； 对于D，，当过点的平面截正方体所得的 截面为平行四边形时，平面与棱必相交，设交点， ，而，即，解得， 又，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 22．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 【答案】AD 【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】设数列的公差为， 对于A，由，得， 又，所以，故A正确； 对于B，由A知，则，故B错误； 对于C，当时，，当时，， 又， 所以当时，， 且， 所以当时，的最大值为8，故C错误； 对于D，因为当时，，当时，， 所以当取得最大值时，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则________ A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【分析】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式即可.. 【详解】因为，事件与对立， 所以， 又，与互斥， 所以， 故选：C. 13．若数列满足，，则 . 【答案】 【分析】当时，，当时，由与的关系可得，即可求解. 【详解】当时，， 当时，①， ②， ①②得，即， 所以. 14．已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为 . 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线，由此即可求解 【详解】将直线直线整理得， 由得，则直线过定点 ， 由于点在圆 的内部， 故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线， 故它们的斜率之积等于，即 ，解得 ， 故答案为： 四、解答题 15．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中a，b的值并估计B餐厅满意指数的第40百分位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，，B餐厅满意指数的第40百分位数 (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解，再根据百分位数的定义求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率的和为，即，解得， 因为的频率为，的频率为， 所以B餐厅满意指数的第40百分位数在上，故第40百分位数为， 所以估计B餐厅满意指数的第40百分位数为. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数为7，方差为2； 第四组人数为，平均数为9，方差为1. 混合数据平均数. 方差 . 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，先由余弦定理求出，再由勾股定理证明，结合平面，可得，最后根据线线垂直可证线面垂直，利用线面垂直的性质即得证； （2）由条件建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）    如图，连接，设，则，因， 在中，由余弦定理，可得， 又，则．                         由平面，且平面，可得．                     又，且，平面， 故平面，平面， 所以． （2）因平面，由（1）得，即两两互相垂直．                  故可以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则，,,， 则，，    设平面的法向量为， 则故可取； 又因        设平面的法向量为， 则故可取.   于是，， 因 ,则， 故平面与平面夹角的正弦值为． 17．已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求参数，进而得到圆心和半径，即可得； （2）由题设，讨论直线的斜率，并设，应用弦长公式列方程求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）设圆心为，依题意， 所以，解得或（舍去）， ，则， 故圆C的标准方程为； （2） 由的长度为，则， ①若斜率不存在，则，代入圆得，解得或，显然，符合；         ②若斜率存在，设斜率为，则直线，即， 由圆心到直线的距离为，即，所以， 所以，即， 综上，所求直线的方程为或. 18．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 19．已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若为（1）中的曲线上的两个动点，且（为坐标原点）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点. 【分析】（1）由抛物线定义即可得到轨迹方程. （2）先直线与抛物线联立，由韦达定理得，又由得，即可求得坐标.或者用齐次化方法求解. 【详解】（1）由题设知，，且. 所以点到定点的距离等于到定直线的距离，又因为直线不经过点， 所以由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线. 故点的轨迹的方程为：. （2） 证法一： 由题设可知，直线的斜率不为0，且不过原点，故设， 由得：. 设， 则. 因为，所以. 解得或（舍）. 且满足，所以直线的方程为. 故直线过定点. 证法二（齐次化方法）：由题设可知，直线不过原点，设， 由得：.显然，从而有. 设，则为方程（※）的两根，所以. 又，所以.解得，且满足 所以直线的方程为即. 故直线过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高二上学期数学验收卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知正项等比数列的前项和为，则（    ） A．9 B． C．3 D．2 3．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．为弘扬中华优秀传统文化，进一步推进成语文化更好地传承，郑州市各中小学和幼儿园持续推进“成语文化进校园”活动，甲、乙两人组成“星队”参加此项活动．活动规则如下：每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（    ）． A． B． C． D． 5．已知圆直线；，直线与圆相交于、两点.则弦长度的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 7.如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面AEF C．异面直线与EF所成角的余弦值为 D．点到平面AEF的距离为2 8．已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 10．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．当时，点到平面的距离为 C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D．若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为 11．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 三、填空题 12．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则________ A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9 13．若数列满足，，则 . 14．已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短，则的值为 . 四、解答题 15．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中a，b的值并估计B餐厅满意指数的第40百分位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 17．已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)已知过点的直线交圆于A，B两点，且的长度为，求直线的方程． 18．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．已知点及直线，点为直线上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若为（1）中的曲线上的两个动点，且（为坐标原点）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $