2025-2026学年高二上学期数学验收卷（一）人教A版

2025-2026年高二上学期数学验收卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．或4 3．已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．9 C． D．12 4．甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（    ） A． B． C． D． 5.已知点P是圆上一点，直线；与圆相交于、两点.则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 7．如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　）    A．平面 B．与所成角为 C． D．点到平面的距离为 8．已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题 9．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（    ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D．若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 11．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 三、填空题 12．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 ． 13.已知圆 ，直线，若直线被圆截得的弦长最短 . 14．等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则 . 四、解答题 15．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.    (1)求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 16．如图，在四棱锥中，底面，四边形是矩形，，是的中点，. (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知圆的圆心在直线上，并且经过原点，与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆心在第一象限，过点的直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程． 18．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 19．在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高二上学期数学综合卷（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线恒过定点，再结合图象求解即可. 【详解】直线，即， 由，解得，所以直线恒过定点， 又，，    由图可知，要使直线与线段有公共点， 则直线斜率的取值范围为. 故选：D. 2．已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．或4 【答案】C 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合是递增数列，可确定，即可判断选项正误. 【详解】设等比数列公比为，由题有：， 则 或. 因是递增数列，则这种情况不满足题意； 则. 故选：C 3．已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（    ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【分析】设直线与椭圆的交点并代入椭圆方程，通过点差法结合弦中点坐标、直线斜率求出，再利用椭圆中、、的关系计算出焦距. 【详解】设直线与椭圆的交点为，，①，②， ①－②可得，，则， 点为点，的中点，则，， 直线的斜率为，则，故，解得，经验证符合题意， 所以椭圆方程为：，即，解得，故该椭圆的焦距为． 故选：C 4．甲、乙两名同学为了参加“一二·九运动”相关体育比赛，赛前两人进行跳绳、踢毽球和长跑的专项对抗练习.在这三个项目中，甲获胜的概率分别为，且各项目的对抗练习结果相互独立.则甲恰好在两个项目中战胜乙的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记三个项目中，甲获胜分别是事件，综合对立事件、互斥事件、独立事件的概率公式求解即可. 【详解】记三个项目中，甲获胜分别是事件， 则， 所以. 由题意知事件“甲恰好在两个项目中战胜乙”， 因为两两互斥， 所以. 又各项目的对抗练习结果相互独立，即相互独立， 所以，， ， 所以. 故选：A. 5．5.已知点P是圆上一点，直线；与圆相交于、两点.则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考察直线与圆的位置关系和向量的运算 【详解】直线过定点M(1，1),圆心C（2,0），半径r=2,,的最大值为点P到以CM为直径的圆的圆心N的距离加上以CM为直径的圆的半径。 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义与已知联立，求出、，再由结合勾股定理得到与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，不妨设点在第一象限， 则，解得，又， 所以，即，所以的离心率. 故选：B 7.如图，在正方体中，，分别是棱的中点，下列说法错误的是（　　）    A．平面 B．与所成角为 C． D．点到平面的距离为 8．已知直线过点且与直线平行，为抛物线上的动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，利用抛物线的定义得到，可知当三点共线时有最小值，再利用点到直线的距离公式计算. 【详解】过点作，垂足为， 由题意可知，直线的方程为，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 点到直线的距离为， 故的最小值为. 故选：C 二、多选题 9．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 10．在棱长为1的正方体中，是棱上的动点（包括端点），则（    ） A． B．点到平面的距离的取值范围为 C．若为棱的中点，直线与直线所成角的余弦值为 D．若为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，由可判断A；由点到平面距离向量法计算可判断B；由异面直角所成角向量法计算可判断C；由线面角向量法计算可判断D. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，设点，其中，    对于A，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设平面的法向量为， 则，令， 得平面的法向量为，因为. 所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，当为的中点时，,故， ，故C错误； 对于D，，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：AD. 11．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【分析】根据题意得，可判断AB；可判断C；求出，令，数列为递减数列，求得，，可判断D. 【详解】因为等差数列中，， 所以， 又，所以，故A正确； 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，所以， 令，所以数列为递减数列， ，. 由得 ， 所以数列的前项和最大时，， 即数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 13.13．已知圆，直线与圆相交，则直线截圆的最短弦长为 ． 【答案】 【分析】由求出直线过的定点，进而可判断定点在圆内，所以直线被圆截得的弦长最短时，，由此即可求解． 【详解】将直线整理得，， 由得，， 则直线过定点， 由得，，圆心为，半径 因为，所以点在圆内部， 当直线截圆的弦长最短时，， 所以弦长为， 故答案为：． 14．等差数列的前项和为，，且数列是公差为2的等差数列，则 . 【答案】 【分析】根据题意数列为等差数列，可求得其通项，从而可得，根据与的关系利用相减法求解即可. 【详解】数列是公差为2的等差数列，且其首项为， 所以，则①， 当时，则②， ①②可得：，即，， 当时，符合上式， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.    (1)求图中a，b的值，并估计A餐厅满意指数的中位数； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)现采用分层抽样的方式从B餐厅打分结果在，，这三组的学生中抽取6人，再从这6人中，随机抽取2人进行访谈，请写出样本空间，并求这2人来自相同组的概率. 【答案】(1)，A餐厅满意指数的中位数为6.5 (2)A餐厅满意指数的平均数更高 (3)样本空间见解析，概率为 【分析】（1）根据频率的定义和频率分布直方图求解计算出的值，然后根据中位数的定义和公式计算即可. （2）根据两个餐厅的频率分布直方图和平均数的定义公式进行计算比较即可. （3）先求出分层抽样比，然后确定每组的抽样人数，进而可求得样本空间和概率. 【详解】（1）因为餐厅的满意指数在内的学生有15人，样本量为50人， 所以满意指数在内的频率为，所以. 根据频率分布直方图可以得到，，解得. 餐厅每组的频率为： ：；：， ：，：. 前两组累计频率为，前三组累计频率为. 所以中位数落在内，设中位数为， 则，解得. 所以餐厅满意指数的中位数为6.5. （2）餐厅满意指数的平均数为. 餐厅满意指数的平均数为. 因为，所以餐厅满意指数的平均数更高. （3）因为B餐厅打分结果在，，的频率为， 所以分层抽样比为，由于分层抽样共抽取6人， 所以B餐厅打分结果在，，的人数分别为人，分别记为： ，，， 从这6人中，随机抽取2人进行访谈，所以样本空间为这2人来自相同组的概率为. 16．如图，在四棱锥中，底面，四边形是矩形，，是的中点，. (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定性质把问题转化为证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）底面，平面，. 又底面为矩形，所以. 平面，， 平面. 平面，. 又，为的中点，. 又平面，， 平面. 又平面，. （2）由（1）知，又，平面，， 所以平面， 所以即为与平面所成的角. 由，，则. 又平面，平面，则， 在中，，，则， 所以. 由，则. 由，则. 以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以. . 设平面的法向量为， 则，，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又平面的法向量可取. 设平面与平面所成的角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17．已知圆的圆心在直线上，并且经过原点，与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若圆心在第一象限，过点的直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）设圆心，半径为，由题意建立等式计算即可求解； （2）由题意可得圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况列式计算即可求解. 【详解】（1）设圆心，半径为 则，    解得或，     所以圆的标准方程为或. （2）因为圆心在第一象限， 所以圆的标准方程为． 因为直线与圆相交所得弦长为， 所以圆心到直线的距离，     ①当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离，合题意；     ②当直线斜率存在时，设方程为， 即直线方程为时，     ．     解得，     所以直线方程为．     综上所述，直线方程为或． 18．已知数列的前项和为，且. (1)求证: ，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差中项定义证明可得结论，再利用等差数列通项公式即可求得数列的通项公式； （2）对数列中各项的正负，讨论并取绝对值求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以数列为等差数列，故，. （2）由（1）可得， 由，可得， 当时，， 当时，， 综上，. 19．在平面直角坐标系中，已知点，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，直线的方程为：，得；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，则， 因为点A在x轴上方，且，所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由，得，即， 所以①，②，， 又，所以③ 由①③得，代入②可得，即，解得（负值舍去）， 因此直线的方程为：，即； （3）同（2）设，直线的方程为：， 则； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由，得， 则，所以， 即， 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 【点睛】求解本题第三问的关键在于，利用（2）中直线与双曲线联立后所得根与系数关系，结合题中条件，表示出的方程，再由直线l与直线的方程联立，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $