精品解析：四川达州市通川区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季期末素养测评 七年级数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分） 1. 如果月球表面的白天平均温度零上记作，那么夜间平均温度零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 2025年10月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约万元，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（ ） A. 和 B. 谐 C. 社 D. 会 4. 在“遵守交通规则，安全文明出行”教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对交通安全知识的掌握情况，小明制定了如下方案，你认为最合理的是（ ） A. 抽取乙校七年级学生进行调查 B. 在丙校随机抽取500名学生进行调查 C. 随机抽取150名教师进行调查 D. 在四个学校各随机抽取130名学生进行调查 5. 已知，下列等式的变形不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据原理是“两点之间线段最短” A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第2026种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 4050 B. 2052 C. 4054 D. 4056 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分） 9. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 10. 若与的和仍是单项式，则的值等于_____ ． 11. 如图，点在点的正北方向，点在点南偏东的方向上，则的度数为______． 12. 将一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在上，与上的点重合，、为折痕，若，则______． 13. 在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则______，______． 10 2 7 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． （1）请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． （2）若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 16. 已知，． （1）求的值； （2）当，时，求的值． 17. 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． （1）这次抽样调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中喜爱篮球项目的学生人数所对应的圆心角为______． （3）该校共有2000名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少人？ 18. 如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． （1）______，______，______； （2）点、、开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． ①的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②在、、的运动过程中，是否存在，若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 当时，代数式值等于2026，那么当时，代数式的值为______． 20. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______． 21. 已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 22. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为______． 23. 定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共140只，购进140只节能灯的进货价恰好为3700元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润560元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 25. 【课本延续】在学习北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》后，我们想进一步探索边形内分割三角形的情况．采用归纳的策略，先从简单情形中寻找相应的规律．以五边形为例：连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．（不计被分割的三角形） 【问题探究】 探究一：如图1，当六边形内有1个点时，可分得6个三角形；如图2，当六边形内有2个点时，可分得8个三角形． 探究二：当六边形内有4个点时，可分得______个三角形． 探究三：连接六边形的六个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得______个三角形． 【问题解决】 （1）若连接六边形的六个顶点和它内部若干个点，可把六边形区域分割成4056个三角形．求该六边形内部有______个点； （2）运用归纳策略寻找规律时，我们先初步发现规律，再考虑一般情况：即连接边形个顶点和它内部的个点，可把边形区域分割成______个互不重叠的三角形； （3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的三分之二，分割成互不重叠的小三角形共有33个，求这个多边形的边数． 26. 某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板和直角三角板按如图1摆放，边，与直线重合，，，保持三角板不动，将直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转，当转到射线上时停止运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究． （1）在图1中，的度数为______； （2）在直角三角板从开始到与相交这一运动过程中，请判断的值是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； （3）①如图2，当秒时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？平分由，，其中任意两边组成的角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末素养测评 七年级数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分） 1. 如果月球表面的白天平均温度零上记作，那么夜间平均温度零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 此题主要用正负数来表示具有意义相反两种量：零上温度记为正，则零下温度就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：零上温度记为正，则零下温度就记为负， ∴夜间平均温度零下，应记作， 故选：C． 2. 2025年10月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约万元，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成，再写成的形式，其中，n为整数即可． 【详解】解：万． 故选：B． 3. 一个正方体的展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（ ） A. 和 B. 谐 C. 社 D. 会 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，掌握在正方体展开图中、相对的面之间一定相隔一个正方形是解题的关键． 正方体的平面展开图中，相对面的特点求解即可． 【详解】解：在此正方体上“设”字对面是“谐”． 故选：B． 4. 在“遵守交通规则，安全文明出行”教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对交通安全知识的掌握情况，小明制定了如下方案，你认为最合理的是（ ） A. 抽取乙校七年级学生进行调查 B. 在丙校随机抽取500名学生进行调查 C. 随机抽取150名教师进行调查 D. 在四个学校各随机抽取130名学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查，掌握抽样调查的样本必须具有代表性和广泛性是解题的关键． 选项A、B、C均存在局限性，无法全面反映四所学校学生情况，选项D覆盖所有学校且随机抽取学生，符合要求． 【详解】解：A．仅调查乙校的七年级学生，样本缺乏广泛性，不符合题意； B．仅调查丙校学生，样本缺乏代表性，不符合题意； C．调查教师，与考查对象无关，不符合题意； D．在四个学校各随机抽取130名学生，样本具有代表性和广泛性，符合题意． 故选：D． 5. 已知，下列等式的变形不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式性质，灵活运用等式的性质进行变形是解题的关键． A、B、D选项均基于等式性质进行恒等变形，一定成立；C选项需考虑时x与y可能不相等，不一定成立，据此即可解答． 【详解】解：A．由可得，等式两边同加2得，成立，不符合题意； B．由等式两边同乘，得，成立，不符合题意； C．当时，两边同除b得；但当时，恒成立，x与y不一定相等，故不一定成立，符合题意； D．由，等式两边同除，得，成立，不符合题意． 故选C． 6. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①射线和射线是同一条射线； ②若，则点B为线段的中点； ③线段的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段的三等分点，，则； ⑤用两颗钉子固定一根木条依据的原理是“两点之间线段最短” A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据射线的表示法可判断①；根据线段中点的定义可判断②；根据两点之间的距离定义可判断③．可能是的， 也可能是的，可判断④；根据直线的基本事实可判断⑤． 【详解】① ∵ 射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，方向不同，∴ 不是同一条射线． 故①错误． ② ∵时，点B不一定在线段上（如三角形中），∴ B不一定是的中点． 故②错误． ③ ∵ 点A与点B之间的距离定义为线段的长度． ∴ ③正确． ④ ∵ 点C是线段的三等分点，若是的，则； 但若是的，则． ∴不一定为9． 故④错误． ⑤ ∵ 两颗钉子固定木条依据“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”． 故⑤错误． 综上，只有③正确，共1个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何概念．熟练掌握射线的方向性、中点需共线、三等分点的两种情形以及几何公理的区别，几何概念的准确性是解题的关键． 7. 如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，三角板中角度的计算，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 先求出的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ， ， ， 故选：B． 8. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中●代表碳原子，代表氧原子，○代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第2026种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 4050 B. 2052 C. 4054 D. 4056 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形变化规律，根据题意，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； ……， ∴第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：个， 当时，分子结构模型中氢原子的个数为：（个）， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分） 9. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数大小比较等知识点，掌握负数比较大小的法则（绝对值大的反而小）是解题的关键． 先根据绝对值、相反数化简两个表达式得到两个负数，再根据负数比较大小的法则比较大小即可． 【详解】解：，， ∵，，， ∴． 故答案为：． 10. 若与的和仍是单项式，则的值等于_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义、代数式求值，熟练掌握同类项定义是解题的关键．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而列出方程求解m和n，再代入求值即可． 【详解】解：∵与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 11. 如图，点在点的正北方向，点在点南偏东的方向上，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角定义、角度制等知识点，熟练掌握方向角的定义以及角的和差是解题的关键． 根据方向角的定义以及角的和差列式计算即可． 【详解】解：由条件可知． 故答案为：． 12. 将一张长方形纸片按如图方式折叠，使点落在上，与上的点重合，、为折痕，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形的翻折变换、邻补角、几何图形中的角度计算等知识点，熟练掌握翻折前后的对应角相等是解题的关键.如图：由折叠可知：，则，根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：如图：根据折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 在如图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则______，______． 10 2 7 【答案】 ①. 5 ②. 33 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 根据题意可得，求得n的值，再由“每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等”可得，，，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5；33 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程等知识点，灵活运用相关运算法则和方法是解题的关键． （1）先按绝对值化简，然后再按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，再按照有理数的混合运算法则计算即可； （3）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （4）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解∶ ． 【小问4详解】 解：， ， ． 15. 把7个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． （1）请在网格中画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． （2）若向该立体图形表面（含底面）喷漆，需要漆，求共需要多少克漆？ 【答案】（1）见解析 （2）共需要60克漆． 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同方向看、立体图形的表面积等知识点，正确计算立体图形的外露面是解题的关键． （1）从正、左、上方向观察，确定每层每列正方形数量，画出平面形状． （2）统计露出的面数，求总面积后结合用漆量计算总用量． 【小问1详解】 解：这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到图形如下： 【小问2详解】 解：∵小正方体的棱长为， ∴正方体每个面的面积为， 由图可知，7个正方体共有个面， 其中被重叠遮挡的有个面， ∴外露面数为个，即该立体图形表面（含底面）的面积为， 需要漆的克数为克． 答：共需要60克漆． 16. 已知，． （1）求的值； （2）当，时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）将、代入，然后运用整式的加减运算法则化简即可； （2）将、代入（1）的运算结果中求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵、， ∴， ∴当、时，的值为． 17. 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． （1）这次抽样调查的样本容量是______，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中喜爱篮球项目的学生人数所对应的圆心角为______． （3）该校共有2000名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少人？ 【答案】（1）40，补全条形统计图见解析 （2） （3）150人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中得到必要的信息是解题的关键． （1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，即样本容量；用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图即可； （2）用乘以喜爱篮球项目的学生人数所占比例即可解答； （3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少． 【小问1详解】 解：根据题意得：这次抽样调查的总人数为：，即样本容量是40； 喜欢足球的有（人）， 喜欢跑步的有（人）， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：40． 【小问2详解】 解：． 故答案为：． 【小问3详解】 解： 人． 答：估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多150人． 18. 如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． （1）______，______，______； （2）点、、开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和2个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． ①的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②在、、的运动过程中，是否存在，若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，5 （2）①不变；30；②存在；或4秒 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题关键． （1）根据非负数和相反数的性质，即可得到答案； （2）①由题意可知，t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分别表示出和的长，再根据列式求解，即可得到答案； ①分两种情况讨论：B、C相遇前；B、C相遇后，分别表示出和的长，再根据列式求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：是最大的负整数， ，满足与互为相反数 又， 故答案为：，，5； 【小问2详解】 ①解：不变，理由如下： 由题意可知，t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 的值不变，等于30； ②存在，分两种情况， 第一种情况：当B、C相遇前， ， 解得：秒； 第二种情况：当B、C相遇后， 解得：秒； 综上可知，当秒或秒时，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 当时，代数式的值等于2026，那么当时，代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的乘方，利用整体代入的思想解决问题是关键． 当时，代数式值为 2026，可求出的值；当时，代数式可化为，代入求值即可． 【详解】解：∵当时，代数式的值等于2026， ∴，即； 当时，． 故答案为： 20. 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 用扇形的面积减去的面积即可解答． 【详解】解：∵，点，分别为，的中点， ∴，， ∴，， ∴花窗的面积为． 故答案为：． 21. 已知关于的方程与方程的解互为倒数，则的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先分别求出两个方程的解，再根据解互为倒数列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘2得：， 移项得：，即：， 解得：． 解方程， 两边同乘6得：，即， 移项得：，即， 解得：． 由于两个方程的解互为倒数， 因此，解得：． 故答案为：15． 22. 如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和差、折叠的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，分两种情况：①当对折点在A点时，从P处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在B点时，从P处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在A点时，从P处将绳子剪断，分成三段：、、， ∵， ∴， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得：， ∴这条绳子的原长为； ②当对折点在B点时，从P处将绳子剪断，分成三段：、、 ∵， ∴， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得：， ∴， ∴这条绳子的原长为. 故答案为：或． 23. 定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共140只，购进140只节能灯的进货价恰好为3700元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润售价进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润560元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？ 【答案】（1）购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只 （2）乙型号节能灯按预售价售出了25只 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只，根据“购进140只节能灯的进货款恰好为3700元”列方程，解方程即可求解； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只，由两种节能灯共获利560元列方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯只， 由题意可得：， 解得：， （只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯80只，购进乙种型号的节能灯60只； 【小问2详解】 解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只， 由题意得， 解得：， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是25只． 25. 【课本延续】在学习北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》后，我们想进一步探索边形内分割三角形的情况．采用归纳的策略，先从简单情形中寻找相应的规律．以五边形为例：连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．（不计被分割的三角形） 【问题探究】 探究一：如图1，当六边形内有1个点时，可分得6个三角形；如图2，当六边形内有2个点时，可分得8个三角形． 探究二：当六边形内有4个点时，可分得______个三角形． 探究三：连接六边形的六个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，可分得______个三角形． 【问题解决】 （1）若连接六边形六个顶点和它内部若干个点，可把六边形区域分割成4056个三角形．求该六边形内部有______个点； （2）运用归纳策略寻找规律时，我们先初步发现规律，再考虑一般情况：即连接边形的个顶点和它内部的个点，可把边形区域分割成______个互不重叠的三角形； （3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的三分之二，分割成互不重叠的小三角形共有33个，求这个多边形的边数． 【答案】[问题探究] 探究二：12；探究三：； [问题解决]（1）2026；（2）；（3）15． 【解析】 【分析】本题主要考查图形类的规律探索、一元一次方程的应用等知识点，能够根据图形发现数字规律是解题的关键． [问题探究]探究二：根据图形数出三角形个数即可； 探究三：由前面的探究可知连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到六边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是六边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； [问题解决] （1）根据问题解决得到的规律列方程求解即可； （2）根据题意，可得连接n边形的n个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是n边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可． （3）设这个多边形的边数为n，则顶点数为n，内部的点的个数为，由（2）中结果代入建立方程求解即可． 【详解】解：问题探究： 探究二：根据题意得：六边形内有1个点时，图中共分得个三角形； 六边形内有2个点时，图中共分得个三角形； 当六边形内有3个点时，可分得个三角形； ∴当六边形内有4个点时，可分得个三角形； 故答案为：12． 探究三：由探究二得， 当六边形的内部有m个点时，可分得三角形的个数为， 故答案为：． 问题解决： （1）设六边形内部有m个点， 由题意可得：，解得：． 答：该六边形内部有2026个点． 故答案为：2026； （2）当n边形的内部有1个点时，可以分得个三角形， 当n边形的内部有2个点时，可以分得个三角形， 当n边形的内部有3个点时，可以分得个三角形， ……， 当n边形的内部有m个点时，可以分得个三角形． 故答案为：． （3）设这个多边形的边数为n，则顶点数为n，内部的点的个数为， 由（2）得：，解得：． ∴这个多边形的边数为15． 26. 某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用直角三角板和直角三角板按如图1摆放，边，与直线重合，，，保持三角板不动，将直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转，当转到射线上时停止运动，设旋转时间为t秒，尝试完成探究． （1）在图1中，的度数为______； （2）在直角三角板从开始到与相交这一运动过程中，请判断的值是否为定值，如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； （3）①如图2，当秒时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，当t为何值时？平分由，，其中任意两边组成的角． 【答案】（1） （2）是定值，该值为 （3）①；②或18或21秒 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）根据题意利用平角的定义及角的和差分别表示出和的表达式，再计算即可判断是否为定值； （3）①根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况进行分析，进而得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵直角三角板绕着点O按每秒的速度顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴， 在直角三角板旋转的过程中，原来，旋转的角度为， ∴现在， ∴． 【小问3详解】 解：①当秒时，， ∴， ∵， ∴； ②（i）如图，当平分时， ∴， ∵， ∴， ∴； （ii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴； （iii）如图，当平分时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或18或21秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $