15.2 分式的运算（题型专练）（基础达标11大题型+能力提升11大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

15.2 分式的运算 题型一 分式的乘法 1.（24-25八年级上·北京房山·期中）计算： ． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）化简的结果为 ． 3.计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 分式的除法 1．（2024春•宿豫区期中）计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 2．（2024•廊坊模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； 题型三 分式的乘方 1．（2024秋•北湖区校级期中）计算：　 　． 2．（2024秋•昌平区期中）化简：　 　． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 题型四 规律探究 1．观察下面一列分式：，，，，… （1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？ （2）根据你发现的规律写出第n个分式． 2．现给一定分式：，，，，…（其中x，y均不为0）． （1）写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． （2）求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 3. （2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 题型五 分式的乘除实际问题 1．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 2．（2024秋•新泰市期中）果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重（m﹣2）2kg，西瓜重（m2﹣4）kg，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元． （1）请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价； （2）凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？ 3．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 题型六 分式的加减 1. 若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 2.（2025·河南三门峡·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 4.下列计算正确的是（　　） A． B．=0 C．﹣=0 D．=0 题型七 分式的加减实际问题 1. （24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 3.（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 题型八 分式加减乘除混合运算 1. （23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 2．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 3．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 题型九 分式的运算化简求值 1.（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 题型十 分式的错解改正问题 1.（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 题型十一 分式的运算思维拓展 1. （22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型一 分式的乘法 1. （2024秋•汾阳市期末）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2.计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 分式的除法 1. （2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 2．（2024春•荣成市期中）若M，则M是（　　） A． B． C． D． 题型三 分式的乘方 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 题型四 规律探究 1. （2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 2.（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 题型五 分式的乘除实际问题 1. 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 2.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 题型六 分式的加减 1. 下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 2.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 题型七 分式的加减实际问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 题型八 分式的加减乘除混合运算 1.（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； ①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则． (2)计算：． 2.先化简，再求值：，其中． 题型九 分式的运算化简求值 1. （23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 2.先化简，再求值：，其中． 题型十 分式的错解改正问题 1.（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 题型十一 分式的运算思维拓展 1.阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 2.若，则K＝ ． 1． （2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 3. （2024·福建龙岩·模拟预测）已知，化简求值： ． 4.（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 5. （24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 6. （24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 7.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 分式的运算 题型一 分式的乘法 1.（24-25八年级上·北京房山·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，直接根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·四川乐山·期末）化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，先将第二个分式的分子、分母因式分解，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3.计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按分式的乘法计算即可； （2）先因式分解再约分即可； （3）先因式分解再约分即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） • ． （4）原式， ． 题型二 分式的除法 1．（2024春•宿豫区期中）计算的结果为（　　） A． B． C．x2y2 D．y2 【分析】把除法转为乘法，再约分即可． 【解答】解： ＝y2． 故选：D． 2．（2024•廊坊模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的除法法则计算即可． 【解答】解： • ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)； 【知识点】分式乘方、分式除法、分式乘法、负整数指数幂 【分析】（）先对括号内进行因式分解，再计算分式除法即可； （）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 题型三 分式的乘方 1．（2024秋•北湖区校级期中）计算：　 　． 【分析】根据分式的乘方及幂的乘方法则进行计算即可得． 【解答】解：， 故答案为：． 2．（2024秋•昌平区期中）化简：　 　． 【分析】根据分式的乘方运算，化简即可． 【解答】解：． 故答案为： 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 题型四 规律探究 1．观察下面一列分式：，，，，… （1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？ （2）根据你发现的规律写出第n个分式． 【分析】（1）按要求分别进行计算，得到商都是； （2）先看分式的符号，第一个+，第二个﹣，依次可以看作（﹣1）n+1，分母的系数是1、2、4、8、都是2的幂；分母中x项，依次为x、x2、x3、x4…，得出第n个分式． 【解答】解：（1），（），，…， 发现：一个分式与它前一个分式的商，都是； （2）第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， … 第n个分式：． 2．现给一定分式：，，，，…（其中x，y均不为0）． （1）写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式． （2）求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分式．你发现什么规律？用语言表示出来． 【分析】（1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，于是这列分式中的第n个分式为（﹣1）n+1． （2）根据分式除法法则进行计算． 【解答】解：（1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负， 于是第n个分式为：（﹣1）n+1． 这列分式中的第7个分式为：， 第10个分式为：， 第16个分式为：， 第27个分式为：． （2）第2017个分式除以第2016个分式所得的商为：． 规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于； 3. （2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 【分析】找规律后计算求解． 【解答】解：（1）（）． 发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为： （2）根据题意，第六个分式为：． （3）该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是y2n+1，分母是xn． ∴第n个分式为：（﹣1）n+1•． ∴（﹣1）n+1•（﹣1）n+2． 题型五 分式的乘除实际问题 1．有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：0， 则乙筐水果价格低； （2）根据题意得：•． 2．（2024秋•新泰市期中）果园飘香水果超市运来凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨重（m﹣2）2kg，西瓜重（m2﹣4）kg，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元． （1）请用含m的代数式分别表示这两种水果的单价； （2）凤梨的单价是西瓜单价的多少倍？ 【分析】（1）根据钱数除去千克数求出各自的单价即可； （2）由凤梨的单价除以西瓜的单价即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：凤梨的单价为元；西瓜的单价为元； （2）根据题意得：凤梨的单价是西瓜单价的倍数为•． 3．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1． 求的值． 【分析】根据题意得到（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，根据完全平方公式求出a+b、ab，根据分式的乘除法法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7， ∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48， ∴ab＝12， ∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b） ＝14． 题型六 分式的加减 1. 若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出关于的等式，求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 2.（2025·河南三门峡·二模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母分式的减法计算即可． 本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 3.（2025·陕西宝鸡·模拟预测）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母分式的减法，关键是掌握异分母分式的减法的计算法则． 首先通分变成同分母，再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算，即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 4.下列计算正确的是（　　） A． B．=0 C．﹣=0 D．=0 【答案】D 【分析】直接根据分母不变，分子相加运算出结果即可． 【详解】 解：A、，故错误； B、原式==，故错误； C、原式==﹣，故错误； D、原式==0，故正确． 故选D． 题型七 分式的加减实际问题 1. （24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 2.（24-25八年级上·重庆·期末）两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了 千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 3.（2024八年级·全国·竞赛）某车间接到生产任务，要求生产240个零件．原计划每小时生产个零件，实际每小时生产的零件个数比原计划每小时生产的零件个数多了10个，那么实际比原计划可以提前 小时完成生产任务． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算的应用，根据题意正确列出分式即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 题型八 分式加减乘除混合运算 1. （23-24八年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后根据同分母分式的减法法则进行计算； （2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，约分后计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案； （2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案； （4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 3．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则； （1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． （2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【详解】（1） （2） 题型九 分式的运算化简求值 1.（甘肃省武威市2023-2024学年九年级下学期数学第一次模拟测试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法． 先化简小括号内的分式，再将除法化为乘法，最后再代入求值． 【详解】解：原式， 当时，． 2．（2023·四川乐山·模拟预测）先化简，再求值：，再从，0， 中选取适合的数字求这个代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件得到，，据此得到，最后代值计算即可． 【详解】解： 由题得，，， 当时，原式． 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知且且，根据，，可知，则的整数值可取． 【详解】原式 根据题意可知且且． ∵，， ∴，． ∴． ∴的整数值可取． 将代入，得 原式 题型十 分式的错解改正问题 1.（2024·江西九江·一模）先化简，再求值，其中x是满足条件的合适的非负整数．以下是某同学化简分的部分运算过程： 解：原式① ② ③… (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见详解 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号． （2）解：原式 ＝． ∵x是满足条件的非负整数 ∴， ∵由于分母不为0， ∴， ∴ ∴原式或． 2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空： ①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____． ②任务二：请写出完整的解答过程． 【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②，过程见解析 【分析】 本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤重新计算即可． 【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； 故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号； ② ． 题型十一 分式的运算思维拓展 1. （22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选：B． 2．（22-23八年级上·山东聊城·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 故选C． 题型一 分式的乘法 1. （2024秋•汾阳市期末）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 故选：B． 2.计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）按分式的乘法计算即可； （2）先因式分解再约分即可； （3）先因式分解再约分即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约分后相乘即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） • ． （4）原式， ． 题型二 分式的除法 1. （2024秋•岳阳期中）如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【分析】设被遮挡的式子为t，则根据分式的除法法则可求出结果为，则t中一定含有xy的单项式，即可选择． 【解答】解：设被遮挡的式子为t， 则， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 2．（2024春•荣成市期中）若M，则M是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的乘除运算法则进而计算得出答案． 【解答】解：∵M， ∴M• • ． 故选：B． 题型三 分式的乘方 1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 【答案】// 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键． 先算乘方，然后再算乘法． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： ． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 题型四 规律探究 1. （2024秋•南皮县校级月考）下列分式，，，，，…其中x，y均不为0． （1）将任意一个分式除以后一个分式，请写出你发现的结论； （2）请写出该列分式的第六个分式； （3）若n为正整数，请写出第n个分式，并验证（1）中得到的结论． 【分析】找规律后计算求解． 【解答】解：（1）（）． 发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为： （2）根据题意，第六个分式为：． （3）该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是y2n+1，分母是xn． ∴第n个分式为：（﹣1）n+1•． ∴（﹣1）n+1•（﹣1）n+2． 2.（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【知识点】分式除法、最简分式、约分、因式分解的应用 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 题型五 分式的乘除实际问题 1. 有甲、乙两筐水果，甲筐水果重（x﹣1）2千克，乙筐水果重（x2﹣1）千克（其中x＞1），若两筐水果都卖了50元． （1）哪筐水果的单价卖的低？ （2）高的单价是低的单价的多少倍？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：0， 则乙筐水果价格低； （2）根据题意得：•． 2.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，“丰收1号”小麦试验田是一块边长为米（）的正方形上修建两条宽为2米的甬道后剩余的部分；如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为2米的正方形蓄水池后余下的部分，两块试验田的小麦都收获了千克．    (1)“丰收1号”试验田的面积为________，单位面积产量________；“丰收2号”试验田的面积为________，单位面积产量________； (2)哪块试验田的小麦单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)，，， (2)第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 【知识点】列代数式、分式除法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算等知识．熟练掌握列代数式，利用平方差进行因式分解，分式的除法运算是解题的关键． （1）由题意知，“丰收1号”试验田是边长为的正方形，然后求面积即可，“丰收2号”试验田的面积是边长为的大正方形与边长为2的小正方形面积的差，然后根据单位面积产量为，计算求解即可； （2）由，判断作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，“丰收1号”试验田的面积为，单位面积产量为； “丰收2号”试验田的面积为，单位面积产量； 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 题型六 分式的加减 1. 下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 按同分母分式加减法则计算即可. 【详解】 A.，正确； B.，正确； C.，错误； D.，正确. 故选：C 2.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可. 【详解】 原式 故选：B. 题型七 分式的加减实际问题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米/小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案， 【详解】解：千米/小时， ∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时， 故答案为：． 2．（20-21八年级上·山东威海·期末）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为 ．（用含a、b、m的最简分式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法的实际应用，根据题意可知，原计划每天读页，实际每天读页，用实际每天读的页数减去原计划每天读的页数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴平均每天比原计划要多读的页数为， 故答案为：． 题型八 分式的加减乘除混合运算 1.（2025·江西赣州·一模）计算：下面是某同学的解答过程： 解：原式…第一步 …第二步 (1)第一步的依据是_____，运用的方法是____________； ①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则． (2)计算：． 【答案】(1)①；③； (2)1． 【分析】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据分式的基本性质，通分即可得出结果； （2）先把分子分母因式分解，约分，再计算加减即可． 【详解】（1）解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：①；③； （2）解： ． 2.先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 题型九 分式的运算化简求值 1. （23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）先化简: ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的运算、二次根式，根据分式的运算法则即可进行化简，同时可知且且，根据，，可知，则的整数值可取． 【详解】原式 根据题意可知且且． ∵，， ∴，． ∴． ∴的整数值可取． 将代入，得：原式 2.先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】 括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入进行计算即可得. 【详解】 ， ， ， ， ， 当时，原式． 题型十 分式的错解改正问题 1.（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 (1)以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 第         步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 请写出正确的化简结果： ． (2)先化简再求值：，已知． 【答案】(1)①一，分式的基本性质；②三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号；③ (2)， 【分析】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：一，分式的基本性质； 第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“ ”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； ． ， 故答案为：； （2）解： ， ， ， 原式． 题型十一 分式的运算思维拓展 1.阅读：分式可进行如下变形：． 探索：如果，则 ； 总结：如果（其中a，b，c为常数），则 ； 应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】探索：；总结：；应用：2或0 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确分析计算是解题的关键． 探索：把已知式子展开成求解即可； 总结：根据条件化式子为计算即可； 应用：根据已知条件得到，再根据代数式的值为整数计算即可； 【详解】解：探索：， 所以； 总结：， ∴； 应用：∵， 又∵代数式的值为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或0． 2.若，则K＝ ． 【答案】1 【分析】根据分式的加减和恒等关系即可求解． 【详解】解：原式变形，得 ＝, ∴3k＝3，4k＝4， 解得k＝1． 故答案为1． 1． （2024八年级上·全国·专题练习）若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ． 故选：C． 2．（22-23八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 3. （2024·福建龙岩·模拟预测）已知，化简求值： ． 【答案】2024 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，先化简，把变成，整体代入即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算 （用含x的式子表示） 【答案】 【知识点】数字类规律探索、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 5. （24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是需正确进行通分和符号处理，并保持分母的存在． 先进行通分再进行同分母分式的加减运算即可． 【详解】解： ① ② ③ ④ 综上，第②步和第③步均存在错误， 故选：D． 6. （24-25八年级上·福建莆田·期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心执行配送任务．如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均为，其运行速度均为当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为，．规定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态；②机器狗只可选择一侧的扶梯，并在一楼和二楼间进行一次往返，视为完成一次配送任务． (1)假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含，的代数式表示） (2)请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由． 【答案】(1) (2)机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务配送效率更高；理由见解析 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，熟练掌握分式加减运算法则． （1）根据速度、路程、时间关系，分别求出机器狗上行所用时间和下行所用时间，然后相加即可； （2）先求出机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间，然后与解析（1）中求出的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从西侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ； （2）解：机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，配送效率更高；理由如下： 机器狗从东侧扶梯上行需要的时间为：， 机器狗从东侧扶梯下行需要的时间为：， 机器狗选择东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间为： ， ∵， ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 即， ∴机器狗选择从东侧扶梯运行时完成一次配送任务，所需时间较少，配送 7.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如： ． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解： ， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵为正整数， ∴的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 15.2分式的运算 题型一： 题型二： 分式的乘除 题型三： 题型四： 题型五： 分式的运算 题型六： 题型七： 题型八： 分式的加减 题型十： 题型四： 题型十 题型十 A 基础达标题 题型一分式的乘法 1, 2開 3.计算： 解(1).器=-箸 2》当·器=a 15电； a2b·36 (a+ba-b)3平5 产品·磊-型·岛 (3)2-1 (a1)aa+西 =品 (4)原式=+3y-32.+” x+3y (x+y) :2x-3列=2+7 题型二分式的除法 1.D. 2.C. 3.(1)解：原式=a(a-1)号=(a-1)2=a2-2a+1 1/13 上好每一堂课 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 规律探究 分式的乘除实际问题 同分母分式加减 异分母分式加减 分式的加减实际问题 分式加减乘除混合运算 分式的运算化简求值 :分式的错解改正问题 :分式的运算思维拓展 可学科网·上好课 www.zxxk com (2)解：原式=+1-.y =(x-1)y=xy-y 题型三分式的乘方 1. 2. 27b3 8a6 题型四规律探究 1,解：(1)-2÷京=-会，绿÷(-员)=-会， 发现：一个分式与它前一个分式的商，都是一去： 2第1个分式：麦： 第2个分式： 第3个分式：京' 第4个分式： 一 第n个分式：2 22-x 2.解：(1)分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中 分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负， 于是第n个分式为：(-1)n+1x+ 这列分式中的第7个分式为： 第10个分式为：-21 第16个分式为： x33 第27个分式为：5 p2 (2)第2017个分式除以第2016个分式所得的商为： 05 规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于一号： 3解：(1)是÷(-安)=-罗×器=-点 发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为：一高 2/13 上好每一堂课 -忌÷安=-去，…， 的次数与序次一致，分式的序次为奇数时， 可学科网·上好课 上好每一堂课 (2)根据题意，第六个分式为：一 x6 (3)该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是y2n+1,分母是m. .第n个分式为：(-1)n+1y+ （-1D+1÷（-1Dn+2 题型五分式的乘除实际问题 50 50 1.解：(1)根据题意得：(x- 508+1-50x-1=190 (x-1)x+1) x+>0, 则乙筐水果价格低： 2公根据驱成有：骨+兴高器-苦 50 Γ-1 2.解：(1)根据题意得：凤梨的单价为540，元；西瓜的单价为540元； (m-21 m24 银据题意得：风梨的单价是西瓜单价的倍数为÷=·2 (m-2 540 m-2 3.解：由题意得，(a+b)2=49,（a-b)2=1,a>0,b>0,a>b, （a+b)2-(a-b)2=48,a+b=7, :a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48, ab=12, a原式=(a2+b2)(a+b)(a-b)×路×而 =a+b)】 6 =鉴 =14. 题型六分式的加减 1.B. 2.A. 3.D 4.D. 题型七分式的加减实际问题 1.B. 2 2400 3.a+1可· 题型八分式加减乘除混合运算 1. 少解：原式=悠子号-=是-京=： (-22 (2)解：原式=日2兰.3%-2=-9.3年3=4.2g2=a(a+2) a-2 2-4 a2 2-4 a-2 -4 3/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =a2+2a 2. (1)解：原式=22=2==1 +1 a+1 2)解：原式=-（关鳄)=-第 (3)解：原式=-a5+2÷1a+1.a1=ay5+, a+5 (a+5 a+5 a-5 (a+52 （④解：原式-÷（特-马）=器+（特）-+()-器+塑 =器品= 1 3.解： 1》(守-右)÷=[点可+器×号 =x+成x可×学=动 2学÷（高-x-2)=器÷2=器×景=-品=-扁 -2 8-2 题型九分式的运算化简求值 1解：原式=+.+ (x-12(x+1)2 x+x-·司=+可'- =装 当x=5-1时，=B=5= V5-13-1 2 2解：(1-点)÷点=（器-点）-高女=x+1 由题得，x≠-1，x≠0， 当x=反时，原式=x+1=V反+1 3.【详解】原式=m24,*名=+1- +2 +2 m-1) +2 m号= 根据题意可知m≠0且m≠1且m≠-2： 12<(5)2<2222<(6)2<321 1<3<2'2<V6<3 ∴.-2≤m≤1 ∴m的整数值可取一1 将m=-1代入，得 4/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原式=0 题型十分式的错解改正问题 (1)解：第③步出现错误，原因是分子相减时未变号. (2)解：原式=[装一动]×号 8+1 =[南-器]×号 =袋号×号 =+2x-习× 3 =1 +2 ,x是满足条件x≤2的非负整数 …x=0,12, ,由于分母不为0， …x≠2 …x=0,1 原式=或号 2.解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不 为0的整式，分式的值不变)，第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“一”去掉括号后，括号 里面的第二项和第三项没有变号； 故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变)；四；括号前面是 “一”"去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号： ②（器-）÷高 =(器-特)÷高 ÷高 =2+2. (x+1x-1) 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +微与·学 -4x =- 题型十一分式的运算思维拓展 1.B. 2.C. B 能力提升题 题型一 分式的乘法 1.B. 2解：（1)驶.品=-簧 2当器 9ab5(a-b) (a+ba-b)3b 2=+·2 (a1) aa+1) = (4)原式=+y-3型.+y x+3y (+ 2-=2+7 题型二 分式的除法 1.B. 2.B. 题型三分式的乘方 1.言 2-8 题型四规律探究 1解：)鉴÷-)=-罗×器=-点 发现：将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为：一高 (2)根据题意，第六个分式为：_ y13 (3)该列分式，奇数项为正，偶数项为负，分子是y2n+1,分母是m. ∴.第n个分式为：(-1)n+1·y+1 7（-1)n+1·y3+1÷（-1)n+2y43 =-高 2.(1)解：：-X23X+2=2x-3”2x-3是整式， 8-1+2 :①是“巧分式”； 6/13 学科网·上好课 www.zxxk co m :鬻=2==2十六‘2+品不是整式 +3 +3 +3 ·②不是“巧分式”； :==82=x-yXy是整式， 斗y x+y ·③是“巧分式”； 故答案为：①③： (2)解：：分式x4+四(m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x +3 ·(x+3)(x-7)=x2-4x+m, :x2-4x-21=x2-4x+m, ÷m=-21; (3)解：①：分式-242s的“巧整式”为1一x· A ·A=-242g, 1-x ·A= 21-x3= 1-8 21-1+=2x(1+x),即A=2x2+2x: 1-8 ②：2442空=2x42型=+ 2x+2x 2+1) (x+1) =x+1' 又x+1是整式， :2444登是“巧分式”. A 题型五分式的乘除实际问题 50 1解：(1)根据题意得： (x-1)x+1) (x-1)（x+1) 则乙筐水果价格低； (2)根据题意得： 0÷9=+= 50 -1 2. (1)解：由题意知，“丰收1号”试验田的面积为(a一2)2m2,单位面积产量 “丰收2号”试验田的面积为(a2-4)m2,单位面积产量kg; m 故答案为：(a-2)2,(a2-4)' 2公解“高÷高=高×巴=当>1 7/13 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,第一块试验田的小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的斗2倍. -2 题型六分式的加减 1.C 2.B. 题型七分式的加减实际问题 1.品 2. 题型八分式的加减乘除混合运算 1.【详解】(1)解：解：第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分， 故答案为：①；③： (2)解：-马 x21 _(+1)2 =与-寻 =苦-品 =特 斜 =1: x-2 x+2 2.【详解】解：原式=+2+2x-可十-2+可 =2-x2+8 (+2-2 -4(x-2 =(8+2x-可 =一年 当x=-1时，原式=一=-4 题型九分式的运算化简求值 1【详解】原式=学·号=t,号=驶 +2 m-1) 1+2 m-1) 根据题意可知m≠0且m≠1且m≠-2： °12<（V5)2<222<(6)2<32 1<5<2'2<6<3 ∴.-2≤m≤1： 8/13 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.m的整数值可取-1 将m=一1代入，得：原式=0 2.【详解】 (x-特)÷， =型得 -1 =4 -1 =料 =X-2 当x=时，原式=方-2=-昌 题型十分式的错解改正问题 1.【详解】(1)解：①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质： 故答案为：一，分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号： 故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号： 国(-1)÷m =(器-器)÷ =1-m-2÷3m -2 m-2) =41+起÷3 -2 (m-2 =品* 3 =品· =器， 故答案为：品： (2)解：号÷(m-1-品) 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 叶2 =m+战m-可 [2-品] +1 m+0可÷二3 +2 = +1 +2 (叶2m-2) =+m-可÷ +1 +2 +1 =m+1m-五×m+2m-万 1 =m-1m-可 =m-叶2' :m2-3m-4=0, .m2-3m=4, “原式==言 题型十一分式的运算思维拓展 1【详解】解：探索：器--5+号 +2 所以m=-13: 总结：+地= x+c +0=a+0=a十朵' x+c …m=b-ac; 应用：“4三=4出=4十高’ -1 -1 又，代数式43的值为整数， -1 1为整数， -1 …x-1=1或x-1=-1, x=2或0. 2.1. 拓展培优题 1.C. 2.C. 3.2024 4.安 5.D. 6.【详解】(1)解：机器狗从西侧扶梯上行需要的时间为：t上=o是， 10/13