精品解析：福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期校本作业数学周测18

厦门市同安实验中学2025-2026学年校本作业 高二数学周测18 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方程确定即可求解. 【详解】根据题意，，可知， 所以渐近线方程为：． 故选：A 2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量、不共面 【答案】B 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用空间向量的夹角公式，求出两向量的夹角，即可求解；对B，利用两个向量的数量积为零，则两个向量垂直，即可判断正误；对C，利用投影向量的计算公式，即可求解；对D，利用空间向量共面的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以，又，则，故 A 错误； 对于B，因为，又，则， 所以，故 B 正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，故 C 错误； 对于D，因为，，则与不共线，又，且， 所以向量与向量，共面，故D不正确， 故选：B. 3. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，由于，所以， 故选：B. 4. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义可知，再利用导数的定义计算即可. 【详解】由题意可知，，则. 故选：A 5. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得是直角三角形，进而可得，再根据椭圆定义建立等式计算即可. 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 二、多选题 7. 下列命题中正确的有（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间位置关系的向量证明判断A、B；利用线面角的向量求法可判断C；利用平面的法向量的性质可判断D. 【详解】对于A：， ，或，故A错误； 对于B：两个不同的平面，的法向量分别是，， 且，所以，故B正确； 对于C：是平面的法向量，是直线的方向向量，若， 设直线与平面所成角为，则， 得，即直线与平面所成角为，故C正确； 对于D：由题可得，，若向量是平面的法向量， 则有，得，则，故D正确． 故选：BCD. 8. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A.根据抛物线方程，直接求准线方程；B.根据抛物线定义的应用，结合图形，转化为三点共线问题求解；C.利用点差法求直线方程；D.根据直线与圆相切的定义，结合抛物线的定义，即可判断. 【详解】A.抛物线，其准线方程为，故A错误； B. 如图所示，过点作准线于点，则，所以，当且仅当共线时，（即图中）最小，最小值为到准线的距离4，故B正确； C.设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即，故C错误； D.设，，则，且的中点坐标为，中点到轴的距离为，所以以线段为直径的圆与轴相切，故D正确. 故选：BD 三、填空题 9. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为：. 10. 已知等差数列的前n项和为，，则______． 【答案】#### 【解析】 【分析】由找出公差与首项间的关系，利用求和公式代入中化简即可 【详解】设等差数列的首项为，公差为 由，则 所以，且及 所以 故答案为：. 四、解答题 11. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； （3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. （3）设，根据“点差法”求出直线的斜率，由点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 【小问3详解】 设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 整理得 12. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 【答案】（1） 由，则， 即有，又， 故数列为以为首项，为公差的等差数列， 则，故； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对左右同除后，结合等差数列定义即可得证，再利用等差数列性质计算即可得的通项公式； （2）（i）借助错位相减法计算即可得；（ii）由题意可得，构造数列，借助作商法可得数列单调性，即可求出数列的最大值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）， 则， ， 则 ， 则； （ii），即， 整理得，令， 令，解得，又，故， 则数列在时，单调递增，在时，单调递减， 又， 故的最大值为，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026学年校本作业 高二数学周测18 一、单选题 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量、不共面 3. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 4. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 下列命题中正确的有（ ） A. 直线的方向向量，平面的法向量，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则与平面所成角为 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则． 8. 设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线的方程是 B. 的最小值为4 C. A，B为抛物线上的两点，点E为线段的中点，则所在的直线方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切 三、填空题 9. 直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为______. 10. 已知等差数列的前n项和为，，则______． 四、解答题 11. 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； （3）若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 整理得 12. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为. （i）求； （ii）若，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $