精品解析：北京市顺义区2025-2026学年高一上学期期末练习数学试题

高一练习 数学试卷 本试卷共6页，150分．练习时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在大致区间是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 9. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数在区间上单调递增； ③函数没有最小值； ④不等式的解集为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 13. 函数的定义域为______． 14. 计算：______；______．（用数字作答） 15. 已知函数的部分图象如图所示，则______，______． 16. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则______；______． 17. 已知命题：若在区间上的最大值为，则在区间上单调递增．能说明为假命题的一个函数为______． 18. 若函数图象上任意一点满足，则称函数具有“线控性”． 给出下列四个函数： ① ② ③ ④ 其中具有“线控性”的所有函数的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知集合，， （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 20. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B． （1）求m和的值； （2）求点B的纵坐标． 21. 如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明三点共线． 22. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及对应的值； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 23. 某社区共有2000户居民，为积极践行绿色低碳生活方式，做好节约用电宣传工作，该社区居委会对辖区内居民的月均用电情况进行了抽样调查，得到100个居民用户的月均用电量数据（单位：千瓦时），按照，，，，，的分组画出如下图所示的频率分布直方图． （1）估计该社区月均用电量不低于220千瓦时的用户数； （2）估计样本中这100个居民用户月均用电量的平均值（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （3）假设该社区的5个用户，其中3个用户的月均用电量在组内，2个用户的月均用电量在组内，从这5个用户中随机抽取2个，求这2个用户来自不同组的概率． 24. 某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 25. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）若对任意实数x，都有，求实数a的取值范围； （3）设函数，直接写出函数的所有零点之和．（结论不要求证明） 26. 给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． （1）当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） （2）当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） （3）当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一练习 数学试卷 本试卷共6页，150分．练习时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集的概念计算即可. 【详解】集合，又， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，即将改为，然后否定结论即可， 即命题，的否定是，. 故选：D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用举反例可排除选项，利用不等式性质可判断选项. 【详解】当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故D错误； 利用不等式性质可知：若，则，故C正确； 故选：C 4. 下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合； 对于B，因为函数在上均为偶函数，所以为偶函数， 且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合； 对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合； 对于D，因为函数在上均为奇函数， 所以为奇函数，故D不符合. 故选：B. 5. 函数的零点所在大致区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性结合零点存在性定理判断即可. 【详解】由函数解析式可知，函数是定义在上且单调递增的函数， 因为，， ，，， 由零点的存在性定理可知，函数的零点所在大致区间是. 故选：C 6. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造指数函数，对数函数，幂函数，并利用函数单调性可得到答案. 【详解】对于选项A： 由于 ，所以对数函数 在上单调递增， 由于，所以， 又因为， 所以 ，不等式不成立，故A错误； 对于选项B：底数 ，对数函数在上单调递减， 由于 ，所以 ，不等式不成立，故B错误； 对于选项C：由于，所以幂函数在上单调递增， 又由于 ，故 ，不等式不成立，故C错误； 对于选项D：由于，指数函数  在上单调递增， 又由于 ，所以 ， 即不等式成立，故D正确. 故选：D. 7. 将函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于直线对称，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象的平移和正弦曲线的对称性即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象， 由得到的函数图象关于直线对称，则， 所以的可能取值为， 故选：A. 8. 一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（ ） A. 0.985 B. 0.765 C. 0.220 D. 0.015 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式进行计算即可. 【详解】设模块一正确识别命令为事件，模块二正确识别命令为事件， 则，. 因为两个模块是独立的，所以至少有一个正确识别的概率为. 故选：A. 9. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分性：分与进行分析，必要性：根据得出或分析即可得出结论. 【详解】充分性：由 ， 当时， ， ， 所以若，当时，， 当时， ， 此时 ， 所以若，当时，， 故充分性成立； 必要性：由， 则， 或，方程无解， 故若，则， 所以必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 10. 设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义以及向量共线定理即可判断. 【详解】若与共线，且，则存在实数使得： 移项可得：即 故与共线，充分性成立； 若与共线，且，则存在实数使得： 代入得 故与共线，必要性成立. 综上，“与共线”是“与共线”的充分必要条件. 故选：C 11. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数在区间上单调递增； ③函数没有最小值； ④不等式的解集为． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、单调性、最值可判断①②③，根据函数的性质解不等式可判断④． 【详解】函数的定义域为， 且，故函数是偶函数，①正确； 当时，则， 又函数在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增，②正确； 因为函数在区间上单调递增， 当时，，当时，， 又函数是偶函数，所以函数的值域为，故函数没有最小值，③正确； 当时，由可得，解得或（舍）； 当时，由可得，解得，所以； 则不等式的解集为或，④错误； 故其中正确结论的个数是3个. 故选：C. 12. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析当时函数有一个零点，要使得函数有两个零点，则当时要有一个零点，根据函数零点问题转化为方程根的个数问题，再转化为两个函数图象交点问题，画函数图象分析得出满足题意的不等式，解出即可. 【详解】当时，， 令，所以或， 解得：，所以当时，函数有一个零点， 所以要使恰有两个零点，则当函数还有另一个零点， 当时，，令， 则，所以当函数要有一个零点， 则方程有一个根，也即函数与函数要有一个交点， 又，单调递增，且， 所以函数与函数在上要有一个交点， 如图所示： 则， 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义与二次根式的性质列不等式组，解不等式即可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 计算：______；______．（用数字作答） 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据根式的性质与指数幂的运算性质计算； （2）根据对数函数运算法则计算即可. 【详解】； . 故答案为：；. 15. 已知函数的部分图象如图所示，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质求解即可. 【详解】由图象可知，，所以. 则，解得. 根据正弦函数的对称性可知，所以. 故答案为：2；. 16. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量线性运算坐标表示结合模长坐标运算计算即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以，， ，. 故答案为：；. 17. 已知命题：若在区间上的最大值为，则在区间上单调递增．能说明为假命题的一个函数为______． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】构造一个在区间上最大值为，但在区间内并非单调递增的函数，以此作为反例来证明原命题为假. 【详解】构造函数，该函数的最大值在，，在区间上这就是最大值； 这个函数在上，，单调递减，但在上，，单调递增，因此在上不是单调递增函数，不满足原命题的结论. 故答案为： (答案不唯一) 18. 若函数图象上任意一点满足，则称函数具有“线控性”． 给出下列四个函数： ① ② ③ ④ 其中具有“线控性”的所有函数的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据“线控性”的定义对每个函数列出不等式，然后讨论是否成立即可. 【详解】对于①，，若， 因为，所以不等式化简为，即，对于恒成立， 所以①函数具有“线控性”． 对于②，，若， 因为，所以不等式化简为，不等式两边平方得 ，对于恒成立，所以②函数具有“线控性”． 对于③，，将该函数化简得. 若，则当时，不等式化简为， 取，此时不等式不成立. 所以③函数不具有“线控性”． 对于④，，即. 若，当时，不等式化简得，由于，所以此时不等式成立； 当时，不等式化简得，由于，所以此时不等式成立； 所以④函数具有“线控性”. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 已知集合，， （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合中不等式的解集，然后根据补集和并集的定义计算即可. （2）根据集合的包含关系列出不等式，进而计算即可. 【小问1详解】 当时，，所以. 因为集合. 所以. 【小问2详解】 因为，所以，因为. 所以. 要满足题意，则，解得. 所以的取值范围是. 20. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B． （1）求m和的值； （2）求点B的纵坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义与平方公式求解m，利用二倍角公式求解的值即可； （2）根据三角函数的定义结合两角和的正弦公式即可得点B的纵坐标． 【小问1详解】 由题可得点在第四象限， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点B， 所以点B的纵坐标为. 21. 如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． （1）用基底分别表示向量； （2）若，用平面向量证明三点共线． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可求解； （2）利用两向量的数乘关系来证明向量共线，即可证明三点共线. 【小问1详解】 由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； 【小问2详解】 由， 则，所以，即三点共线. 22. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及对应的值； （3）若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 【答案】（1） （2）当时，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数的周期公式算出答案； （2）根据正弦函数的单调性与最值进行求解，可得答案； （3）求出时，的取值范围，结合正弦函数的单调性建立关于的不等式，解之即可求得实数的最大值． 【小问1详解】 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 当时，， 结合正弦函数的性质，可知当即时，最小值为； 【小问3详解】 当时， 由正弦函数的性质可得，函数在为递增函数， 故函数在上单调递增， 所以，解得．又， 所以，故实数m的最大值为. 23. 某社区共有2000户居民，为积极践行绿色低碳生活方式，做好节约用电宣传工作，该社区居委会对辖区内居民的月均用电情况进行了抽样调查，得到100个居民用户的月均用电量数据（单位：千瓦时），按照，，，，，的分组画出如下图所示的频率分布直方图． （1）估计该社区月均用电量不低于220千瓦时的用户数； （2）估计样本中这100个居民用户月均用电量的平均值（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （3）假设该社区的5个用户，其中3个用户的月均用电量在组内，2个用户的月均用电量在组内，从这5个用户中随机抽取2个，求这2个用户来自不同组的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，分别求出月均用电量在，组内的频率即可得电量不低于220千瓦时的用户数； （2）根据频率分布直方图，能求出月均用电量的平均值． （3）根据古典概型确定基本事件种数与来自不同组事件种数即可得求得概率值． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，月均用电量在组内的用户数为， 月均用电量在组内的频率为， 故该社区月均用电量不低于220千瓦时的用户数为； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，估计月均用电量的平均值（每组数据以区间的中点值为代表）为： （千瓦时）； 【小问3详解】 3个用户的月均用电量在组内，记为，，， 2个用户的月均用电量在组内，记为，， 从中随机选取2户的基本事件有：共10种， 其中这2户来自不同组的有：共6种， 所以这2户来自不同组的概率为． 24. 某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】（1）万元； （2）台； （3）台. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【小问1详解】 当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； 【小问2详解】 当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； 【小问3详解】 当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 25. 已知函数． （1）判断函数的单调性，并根据定义证明； （2）若对任意实数x，都有，求实数a的取值范围； （3）设函数，直接写出函数的所有零点之和．（结论不要求证明） 【答案】（1）单调递减，证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，运用作差法，即可得证； （2）结合函数的单调性，注意到当且仅当时，的函数值为，则为可转化为，再结合函数的单调性，得到在上恒成立，再进行参变分离得到，求出，即可得解； （3）先求出函数的定义域，再得到，得证为奇函数，由函数的对称性，即可得解. 【小问1详解】 单调递减.证明： 任取，不妨设， 则， 易知在上单调递增，故当时，，故， 又因为，故， 因此，即， 即，又因为， 故在上单调递减. 【小问2详解】 注意到，，又因为在上单调递减， 故当且仅当时，取到， 因此，对任意实数，可转化为对任意实数x，， 又因为在上单调递减， 故有在上恒成立，得. 对于二次函数，易知其在时取到最小值， 故，即. 【小问3详解】 由题可知，， 由解得， 即函数的定义域为，且关于原点对称. 又因为， ， 即为奇函数，故函数的函数图像关于原点对称， 因此函数的所有零点也关于原点对称， 故函数的所有零点之和为. 26. 给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． （1）当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） （2）当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） （3）当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【答案】（1）集合具有性质，理由见详解 （2）集合，理由见详解； （3）集合不具有性质，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义分析即可得出结论； （2）找一个集合，然后根据定义说明即可； （3）按照题意所给条件设出集合，然后利用已知定义分类讨论得出结论即可. 【小问1详解】 集合具有性质，理由如下： 因为，则任取两个元素有： ①，此时，且只有一个2， ②，此时，且只有一个2， ③，此时，且只有一个2， 综上所述集合具有性质. 【小问2详解】 集合，理由如下： 任取两个元素有： ①，此时， 且只有一个2， ②，此时， 且只有一个2， ③，此时， 且只有一个2， 综上所述集合具有性质，故集合可以是. 【小问3详解】 集合不具有性质，理由如下： 设， ， 因为任取集合中的两个元素， 有， 设和为，则， ①当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和大于，不合题意； ②当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和小于5，不合题意； ③当时， 集合， 任取其中两个元素，这5个和均不大于1，故不满足题意， ④当时，集合， 任取其中两个元素,这5个和中至少有3个2， 故不满足题意， ⑤当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现1次， 故余下3个元素中必定存在两个元素，使得均为1，, 不满足题意，故时不存在具有性质. ⑥当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现2次， 故余下3个元素中,均会出现两个2， 不满足题意，故时不存在具有性质. 综上，集合不具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $