精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合为奇数，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若，则为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个扇形的圆心角为，半径为7，则其弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 7. 美国生物学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的零点为 C. D. 10. 若函数的图象为曲线，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C. 将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D. 将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 11. 若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的单调递增区间为和 D. 当时，的单调递增区间为和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 13. 函数（，且）的图象必经过的定点是__________. 14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数x，y满足． （1）若，求实数的取值范围； （2）当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 16. （1）已知实数a，b满足：，求的值； （2）已知，求的值． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）把化为的形式； （2）求的单调递减区间和图象的对称轴方程； （3）令，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若其定义域内满足，则称为“弱奇函数”，为函数的“弱奇函数点”． （1）设，证明：为“弱奇函数”； （2）设，若为定义在区间上的“弱奇函数”，且在上存在两个“弱奇函数点”． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合为奇数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的定义运算即可得解. 【详解】由已知得， 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式与特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故选：D. 3. 若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即可得到答案. 【详解】由命题的否定法则得，若，则为． 故选：C. 4. 若一个扇形的圆心角为，半径为7，则其弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式求解即可. 【详解】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，所以． 故选：A 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角即可求解. 【详解】由已知得，，所以． 故选：D 6. 下列是的必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要条件定义即可得答案. 【详解】对于A，由不等式的性质知，是的充要条件，所以A错误； 对于B，因为，且，所以是的必要不充分条件，所以B正确； 对于C，显然，但当时，，所以是的充分不必要条件，所以C错误； 对于D，若，则，所以，所以，反之，所以是的充分不必要条件，所以D错误． 故选：B 7. 美国生物学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入数据得到方程组，解出即可. 【详解】依题意可得则解得． 故选：A. 8. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，构造函数，研究单调性可得，构造函数， 利用单调性的定义可得在上单调递增，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以. 又在上单调递增，所以，即，所以. 令，取，所以， 则，即，所以在上单调递增， 则，所以，即． 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的零点为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，结合具体函数的定义域求解即可；对于B，解一元二次方程即可求解；对于C，利用对数的计算即可求解；对于D，结合指数函数的单调性求解即可. 【详解】A.函数的定义域为，所以A错误； B.令，解得或，所以B正确； C.因为，所以，所以C错误； D.由底数大于1的指数函数单调递增得，成立，所以D正确． 故选：BD 10. 若函数的图象为曲线，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线 C. 将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线 D. 将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线 【答案】ABC 【解析】 【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D. 对于A：因为，所以曲线关于点对称，故A正确； 对于B：将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线，故B正确； 对于C：将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线，故C正确； 对于D：将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线，与选项D中曲线的方程不符，故D错误． 故选：ABC. 11. 若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，的单调递增区间为和 D. 当时，的单调递增区间为和 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶性，即可判断. 【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：当时，，，故B正确； 对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错误； 对于D：当时，对于，易知与在上单调递增， 故在上单调递增， 进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数的定义即可得解. 【详解】． 故答案为：. 13. 函数（，且）的图象必经过的定点是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数图像过定点直接得到结论. 【详解】当x=1时,y=1，所以函数必经过的定点是. 故答案为： 14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，判断出的值，再根据根的个数讨论的取值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以或． ， 当时，或； 当时，且， 关于的方程有3个不同的实数根， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有2个元素，与矛盾； 若是方程的解， 则有，即，无解， 若关于的方程只有一个解且不为和， 则，解得． 当时，的解为1，此时，符合题意； 当时，的解为，此时，不符合题意． 综上，实数的取值集合用列举法表示为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设实数x，y满足． （1）若，求实数的取值范围； （2）当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】（1） （2）最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）由，可得，代入，解不等式，即得答案； （2）将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 又，即，化简得， 所以， 故的取值范围为． 【小问2详解】 因为， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号， 故的最小值为，此时． 16. （1）已知实数a，b满足：，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）20 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和换底公式进行计算即可； （2）根据指对式互化和同底数幂的乘法法则进行计算即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 任取，且， 则， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可. （2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可. （3）根据函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，满足题意， 故实数的值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得，要使得在区间上有解， 只需， 而当时，，所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 18. 已知函数． （1）把化为的形式； （2）求的单调递减区间和图象的对称轴方程； （3）令，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）；； （3）. 【解析】 【分析】（1）运用辅助角公式化简函数即可得解； （2）利用正弦型函数的性质，利用整体代入法计算其单调区间与对称轴即可； （3）先计算出在上的值域，再利用二次函数的单调性计算出的值域，再将转化为，最后解不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得 . 【小问2详解】 令， 解得， 则的单调递减区间为. 令，所以， 故图象的对称轴方程为. 【小问3详解】 因为，所以， 则，可得， 故是关于的开口向上的二次函数， 其中，对称轴为， 故由二次函数的性质得. 若，， 因此有，化简得， 由指数函数性质得，故，解得， 即实数的取值范围为. 19. 对于函数，若其定义域内满足，则称为“弱奇函数”，为函数的“弱奇函数点”． （1）设，证明：为“弱奇函数”； （2）设，若为定义在区间上的“弱奇函数”，且在上存在两个“弱奇函数点”． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） 若，则， 所以，所以， 取，则，所以为“弱奇函数”． （2）（i）； （ii）由（i）得，， 由及得，， 因为， 所以， 令函数， 因为函数在上都单调递减， 所以函数在上单调递减，则，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）结合“弱奇函数”的定义求解即可； （2）（i）由化简可得为方程的根， 当时，方程化简为，当时，方程化简为， 结合韦达定理可得在和上各存在一个“弱奇函数点”，分和两情况讨论根的情况即可求解； （ii）由（i）得，，且，，化简，令函数，利用函数单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由为定义在区间上的“弱奇函数”得， 存在，使得， 则， 即 化简得，为方程的根， 当时，方程化简为， 当时，方程化简为， 根据韦达定理可判断在上不可能存在两个不等实根， 故在和上各存在一个“弱奇函数点”， ①当时，，即， 因此当且仅当时，方程在上存在唯一根； ②令， 当时，必存在唯一根， 所以，即， 所以， 所以当且仅当时，方程在上有唯一根， 综合①②得，实数的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $