第05讲 排列（知识清单+5题型讲解举一反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第05讲 排列 知识清单 知识点01：排列与排列数公式 知识点02：相邻的排列问题 知识点03：不相邻的排列问题 知识点04：元素（位置）有限制的排列问题 知识点05：定序的排列问题 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列的意义理解 题型2：排列数的计算 题型3：排列数方程和不等式 题型4：全排列问题 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 题型6：相邻问题的排列问题 题型7：不相邻排列问题 题型8：其他排列模型 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01排列与排列数公式 1．排列与排列数 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 性质 A＝n！；0！＝1 知识点02相邻的排列问题 捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 知识点03不相邻的排列问题 插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 知识点04元素（位置）有限制的排列问题 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置. 知识点05定序的排列问题 定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 题型1：排列的意义理解 【例1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 【变式1-2】（2024高二·江苏·专题练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 【变式1-3】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 题型2：排列数的计算 【例2-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若，则正整数m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-2】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知，则 . 【变式2-3】计算：(1) (2) 题型3：排列数方程和不等式 【例3-1】，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，则 . 【变式3-2】不等式，其中的解集为 ； 【变式3-3】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 题型4：全排列问题 【例4-1】（24-25高二下·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式4-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【变式4-2】一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有 种排法（用数字作答）. 【变式4-3】8人围绕圆桌而坐，共有多少种坐法？ 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 【例5-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式5-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 【变式5-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排方式.（答案用数字表示） 【变式5-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 题型6：相邻问题的排列问题 【例6-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 【变式6-1】把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【变式6-3】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 题型7：不相邻排列问题 【例7-1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 【变式7-1】（24-25高二下·江苏盐城·月考）现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D，E不相邻，则不同的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．32种 【变式7-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有 种． 【变式7-3】（24-25高二下·江苏徐州·月考）现有3名男生､4名女生排成一行，在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)男生必须排在一起； (2)男生和女生相间排列 . 题型8：其他排列模型 【例8-1】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有 种． 【变式8-1】一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站 个． 【变式8-2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，男生互不相邻． 【变式8-3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种? (3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种? 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏苏州·月考）两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（    ）种． A．6 B．12 C．60 D．120 2．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（    ）种不同的车票． A．22 B．55 C．121 D．110 3．（24-25高二下·江苏南通·期中）2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（    ） A．18 B．24 C．60 D．120 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 6．（24-25高二下·江苏连云港·月考）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 7．（24-25高二下·江苏·期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（   ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 二、多选题 9．（2024高二·江苏·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江苏连云港·月考）定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（   ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若男生甲位置固定，则有种排法 D．若两名女生不相邻，共有种排法 11．（24-25高二下·江苏连云港·月考）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 14．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 四、解答题 15．求证： 16．（24-25高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 17．（24-25高二下·江苏盐城·月考）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列. (1)求43251是这个数列的第几项； (2)求这个数列的第26项； (3)求这个数列的所有项的和. 18．（24-25高二下·江苏淮安·月考）（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 19．（24-25高二下·江苏·月考）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中A、B两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中A、B、C三道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中A、B两道工序都不能放在第三和第六位置，C道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序? 注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 排列 知识清单 知识点01：排列与排列数公式 知识点02：相邻的排列问题 知识点03：不相邻的排列问题 知识点04：元素（位置）有限制的排列问题 知识点05：定序的排列问题 题型讲解 （举一反三） 题型1：排列的意义理解 题型2：排列数的计算 题型3：排列数方程和不等式 题型4：全排列问题 题型5：元素（位置）有限制的排列问题 题型6：相邻问题的排列问题 题型7：不相邻排列问题 题型8：其他排列模型 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01排列与排列数公式 1．排列与排列数 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ 性质 A＝n！；0！＝1 知识点02相邻的排列问题 捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 知识点03不相邻的排列问题 插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 知识点04元素（位置）有限制的排列问题 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置. 知识点05定序的排列问题 定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 题型1：排列的意义理解 【例1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义即可得到答案. 【详解】根据排列数的定义得可以表示为. 故选：B. 【变式1-1】用0．1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24个 B．26个 C．30个 D．42个 【答案】C 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理，结合排列的定义即可求. 【详解】若0在个位，则可组成个偶数； 若2在个位，则可组成个偶数； 若4在个位，则可组成个偶数； 所以偶数共有个. 故选：C 【变式1-2】（2024高二·江苏·专题练习）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 【答案】18个，答案见解析. 【分析】根据给定条件，利用树形图列出符合要求的所有三位数，再写出所有三位数作答. 【详解】画出树形图，如图：    由树形图知，符合条件的三位数共有18个， 它们是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 【变式1-3】写出下列问题的所有排列： (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出. 【答案】(1)12； (2)24个，答案见解析. 【分析】（1）利用列举法列出所有两位数即可作答. （2）利用树状图列出符合要求的四位数，再写出所有四位数作答. 【详解】（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数. （2）画出树状图，如图： 由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431， 3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数. 题型2：排列数的计算 【例2-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由排列数的定义可得结果. 【详解】. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若，则正整数m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意结合排列数公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 【变式2-3】计算：(1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用排列数计算公式，即可求出结果； （2）利用排列数计算公式及阶乘公式，即可求出结果. 【详解】（1）. （2）. 题型3：排列数方程和不等式 【例3-1】，则m等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用排列数公式列方程求解即可. 【详解】，而， 所以，即. 故选：B 【变式3-1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，则 . 【答案】5 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得， 所以，解得或， 由于，所以， 故答案为：5 【变式3-2】不等式，其中的解集为 ； 【答案】 【分析】根据排列数公式化简，即可求解. 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式3-3】（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 题型4：全排列问题 【例4-1】（24-25高二下·江苏泰州·期中）由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】将四个数字全排列即可. 【详解】由1，2，3，4组成没有重复数字的四位数有个. 故选：D 【变式4-1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知3张卡片的正、反两面分别写有数字1，2；3，4；5，6.将这3张卡片排成一排，则可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．60 C．48 D．36 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可解题. 【详解】将3张卡片排成一排，每一张卡片数字有两种情况，则不同的数字组合有种， 再将3个数字进行排列，则有种，所以构成的不同三位数有种. 故选：C 【变式4-2】一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有 种排法（用数字作答）. 【答案】720 【分析】6门学科全排列即可求解 【详解】6门学科全排列，故一天的课程表有种排法. 故答案为：720. 【变式4-3】8人围绕圆桌而坐，共有多少种坐法？ 【答案】5040种 【分析】将圆桌而坐的问题转化为坐成一排的问题，再利用全排列即可. 【详解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，如图4所示，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有种排法，即5040种．    题型5：元素（位置）有限制的排列问题 【例5-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加数学考试，已知成绩各不相同．甲和乙去询问老师成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，从第一名到第六名的排列有多少种不同情况?（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】依次排乙、甲，再将其余四位同学的名次进行排序即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，乙既不是第一名，也不是第六名，则乙的名次有种情况， 由于甲不是第一名，则甲的名次只能是乙的名次外不是第一名的四个位次之一，有种， 再将其余四位同学的名次进行排序即可， 所以，第一名到第六名的排列种数为种. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 【答案】A 【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分步计数原理可得答案. 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况， 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二下·江苏盐城·期中）某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排方式.（答案用数字表示） 【答案】 【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解. 【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式， 不满足题意的安排方式： 第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式， 综上，满足条件的安排方式共有：种， 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 【答案】(1)180 (2)105 【分析】（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可. （2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可. 【详解】（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个， 所以没有重复数字的三位数个数是. （2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个， 所以没有重复数字的三位偶数个数是. 题型6：相邻问题的排列问题 【例6-1】（24-25高二下·江苏南京·月考）甲、乙、丙、丁、戊、己站成一排，其中甲、乙必须相邻，丁不能站在两端，则不同站法的种数为（   ） A．128 B．144 C．160 D．210 【答案】B 【分析】根据捆绑法、间接法求解即可. 【详解】先甲、乙相邻，有种不同排法， 其中丁站两端的站法有种， 故甲、乙必须相邻，丁不能站在两端的站法有种， 故选：B 【变式6-1】把5名同学的数学作业摆放成一排展示，要求甲、乙两同学的作业相邻展示，甲、丙两同学的作业不相邻展示，则不同的摆放种数是（    ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】利用乘法原理求出使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数和使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数，再作差即可. 【详解】将甲、乙两同学的作业视为一个元素，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻展示的摆放种数为. 将甲、乙、丙三同学的作业绑定，利用乘法原理可得，使得甲、乙两同学的作业相邻且甲、丙两同学的作业相邻的摆放种数为. 所以满足条件的摆放种数是. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【答案】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 【变式6-3】3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的排法有 种． 【答案】84 【分析】根据排列数公式计算名同学全排列的排法总数，减去名男同学全部相邻的排法总数即可. 【详解】由已知名同学的全排列数为：种,其中不满足题意的排法，即名男同学全部相邻. 此处应用捆绑法，先将名男生作为一个整体，与女生进行全排列，再对名男生进行全排列， 得到名男生全部相邻的排法总数为：种，在总数当中减去不满足题意的排法， 得到满足题意的排法有：种. 故答案为：84 题型7：不相邻排列问题 【例7-1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）五种不同商品在货架上排成一排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有（   ）种． A．24 B．72 C．36 D．42 【答案】B 【分析】利用插空法进行求解，得到答案. 【详解】先安排除了C，D两种外的三种商品，共有种方法，并形成4个空， 再把C，D安排到形成的4个空中，有种方法， 所以共有种排法. 故选：B 【变式7-1】（24-25高二下·江苏盐城·月考）现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.若将这些小球排成一排，要求A球排在正中间，且D，E不相邻，则不同的排法有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．32种 【答案】C 【分析】确定球位置，再排其它球，根据分步乘法计数原理求出不同排法的总数. 【详解】因为球要排在正中间，所以球的位置是固定的，只有种排法. 剩下、两个红球，、两个白球，在A两侧四个位置全排列， 不同排法共有种，其中包含了、相邻的情况. 当、相邻时，、看成一个整体排在A的同侧，、在另一侧， 有种排法， 那么、不相邻的排法有种. 则满足题意的不同的排法有16种. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）在学校的大课间风采展示中，某班级准备了3个舞蹈，3个独唱共6个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有 种． 【答案】72 【分析】利用分类计数原理，插空法解决相间问题即可. 【详解】第一个节目是舞蹈类节目，则有种不同演出顺序； 第一个节目是独唱类节目，则有种不同演出顺序； 故一共有：种不同演出顺序， 故答案为：72. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏徐州·月考）现有3名男生､4名女生排成一行，在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)男生必须排在一起； (2)男生和女生相间排列 . 【答案】(1)720 (2)144 【分析】（1）利用捆绑法求解即可； （2）利用插空法求解即可. 【详解】（1）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，再与其他元素进行全排列， 有种排法，故共有种； （2）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种. 题型8：其他排列模型 【例8-1】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有 种． 【答案】 【分析】由于两人选修的课程不同，属于排列问题，计算结果即可. 【详解】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同， 则有种. 故答案为：. 【变式8-1】一条铁路线原有个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站 个． 【答案】14 【分析】根据题意结合排列数的定义建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，，即，解得． 故原有车站14个． 故答案为：14. 【变式8-2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排； (2)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，男生互不相邻． 【答案】(1)2520 (2)576 (3)1440 【分析】（1）从7人中选5人排成一排，利用排列数公式可求得结果； （2）利用捆绑法可得答案； （3）利用插空法可得答案． 【详解】（1）从3名男生、4名女生中选5人排成一排， 有不同的排列方法； （2）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法， 再将女生全排列，有种方法，所以共有种方法； （3）先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法， 所以共有种方法. 【变式8-3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）2025年3月12日是我国第47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种? (2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种? (3)甲、乙两人至少间隔2人的站法有多少种? 【答案】(1)2880 (2)1440 (3)2400 【分析】（1）根据排列中的特殊元素优先安排的思想先安排甲的位置，余六人全排即可得结论； （2）根据排列中不相邻元素采用“插空法”完成计数即可得结论； （3）根据要求分别计算甲、乙两人中间有2、3、4、5个人排法数，再根据分类加法计数原理得所求. 【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可全排种， 故共有种； （2）先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法； （3）共七人排队，甲、乙两人中间有2个人的排法有种， 甲、乙两人中间有3个人的排法有种， 甲、乙两人中间有4个人的排法有种， 甲、乙两人中间有5个人的排法有种， 则共有种排法. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏苏州·月考）两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（    ）种． A．6 B．12 C．60 D．120 【答案】B 【分析】优先考虑特殊位置，先排辅导老师，再排学生即可. 【详解】由题意，2名教师分别站在两侧，则， 再排学生，，则不同的站法共有种. 故选：B 2．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（    ）种不同的车票． A．22 B．55 C．121 D．110 【答案】D 【分析】整个线路共个站点，每两个站点需要一个车票，再根据排列即可得解. 【详解】连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站， 则铁路部门需要准备种不同的车票． 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏南通·期中）2023年4月26日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5人到球场的四个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为（    ） A．18 B．24 C．60 D．120 【答案】B 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】将甲乙捆绑在一起与其他人一起进行全排列，共有种排法， 所以将甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为24种. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏扬州·期中）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数的定义可得结果. 【详解】. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏连云港·月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（   ） A．56 B．72 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情况讨论：相邻且与相邻、相邻且不与相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①指导老师和站在两端，有种情况， ②中间5人分2种情况讨论： 若相邻且与相邻，有种安排方法， 若相邻且不与相邻，有种安排方法， 则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏连云港·月考）某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动，高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖，若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（    ） A．432种 B．420种 C．176种 D．7种 【答案】A 【分析】先对各年级同学作全排，再把三个年级作为三组作全排，应用分步乘法求不同排法数. 【详解】先将各年级同学作全排有种，再把三个年级同学作全排有种，故共有种. 故选：A 7．（24-25高二下·江苏·期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 【答案】C 【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决. 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）有甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻，则不同排列方式共有（   ） A．12种 B．8种 C．6种 D．4种 【答案】B 【分析】利用捆绑法求出丙和乙相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况，得出甲站在两端且乙和丙相邻的情况，最后间接法即可求出结果． 【详解】把丙和乙捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况， 甲站在两端的情况有种情况，甲站在两端且乙和丙相邻的情况有， 甲不站在两端，丙和丁不相邻的不同排列方式有种.故选：B． 二、多选题 9．（2024高二·江苏·专题练习）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可． 【详解】对于A， ，显然，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．（24-25高二下·江苏连云港·月考）定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（   ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若男生甲位置固定，则有种排法 D．若两名女生不相邻，共有种排法 【答案】ABD 【分析】根据圆排列定义，结合捆绑法、插空法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据圆排列公式可知名学生围坐成一圈，共有种排法，A正确； 对于B，将两名女生看作一个整体，有种排列方式；与名男生一起围成圆圈，则共有种排法，B正确； 对于C，若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，C错误； 对于D，先将名男生围坐成一圈，再在个空位中任选个，安排两名女生，则共有种排法，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·江苏连云港·月考）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 【答案】AC 【分析】对于A，利用捆绑法计数即可；对于B，运用插空法计数即可；对于C，考虑左右边站位的等可能性全排后取半法即得；对于D，将问题分成①站在最右边，②不站在最左边，也不站在最右边两类情况分别计数，再合并统计即可. 【详解】对于A，利用“捆绑法”，把两人看成整体与其他3人进行全排， 再考虑两人的顺序，故不同的方法有种，故A正确； 对于B，考虑另外3人的不同站法，再将两人在另外3人留下的4个空位上选两个位置进行插空， 故不同的方法有种，故B错误； 对于C，因排队后与只有两个相同可能性的顺序，故先考虑5人全排， 再取其一半，则不同的方法有种，故C正确； 对于D，依题意，分成两类情况： ①站在最右边，则与3人随便站，有种不同的站法； ②不站在最左边，也不站在最右边，有3种站法，因不站最右边，故有3种站法， 余下3人全排即可，故不同的站法有种； 综上，不同的站法共有种，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏无锡·月考）某班星期一上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数 . 【答案】 【分析】先安排数学与语文，再插空安排物理化学，最后根据乘法原理求结果. 【详解】先安排数学与语文有两种排法，产生三个空位， 从中选两个安排物理化学，有种排法， 所以星期一上午不同课程安排种数为. 故答案为： 13．（24-25高二下·江苏盐城·月考）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏淮安·期中）甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学坐一排照相，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为 【答案】144 【分析】先对乙丙进行捆绑，再考虑甲的位置，最后对剩余元素进行全排列． 【详解】乙和丙相邻，那么乙和丙两人之间的排列方式有种． 甲不坐在个人的两端，那么甲可选择的位置有中间的个位置，所以甲的排法有种． 此时相当于将乙丙整体、甲以及丁、戊、戌进行排列，已经排好了甲，还剩下个位置，乙丙整体和丁、戊、戌全排列的方式有种． 所以不同的排列方式种数为种． 故答案为：144． 四、解答题 15．求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数公式将展开，即可证结论. 【详解】， ， ， 综上，. 16．（24-25高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； （2）第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 17．（24-25高二下·江苏盐城·月考）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列. (1)求43251是这个数列的第几项； (2)求这个数列的第26项； (3)求这个数列的所有项的和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定首位为时数列个数，再确定首位为，千位为时数列个数，依次往下分析，直至43251，即可得结果；（2）由于首位为时数列个数已经有项，只需往下数两项即可；（3）先分析数字出现在各位数的个数，再相加即得结果. 【详解】（1）首位为时,共有项， 首位为，千位为时，共有项， 首位为，千位为，百位为时，共有项，再往下就是 所以是数列第项， （2）首位为时,共有项，再往下就是 因此这个数列的第26项是， （3）首位为时,各出现次，其和为， 千位为时,各出现次，其和为， 百位为时,各出现次，其和为， 十位为时,各出现次，其和为， 个位为时,各出现次，其和为， 因此所有项的和为 18．（24-25高二下·江苏淮安·月考）（1）从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ （2）4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ （3）2名男生和4名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？ 【答案】（1）6；（2）576；（3）144 【分析】（1）依题作出树状图，计数即得.也可以利用看成排列问题直接解决； （2）对男生采用“捆绑法”与女生全排，再考虑内部的顺序，即得坐法种数； （3）对男生不相邻且不排两端的情况，考虑在4名女生留下的中间3个空位进行插空，再对女生进行全排即得. 【详解】（1）方法一：依题意，分成三类情况，作图如下： 由图可知，有6种不同的选法. 方法二：看成三个不同元素任取两个不同元素的排列问题，有种不同的方法. （2）把4名男生看作一个元素，与3名女生一起全排，再考虑男生之间的顺序， 故共有坐法种，即男生必须排在一起的坐法有种.              （3）利用插空法，先将4名女生排成一列，然后在中间产生的3个空位中任选2个空位安排男生，共有种安排方法. 19．（24-25高二下·江苏·月考）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中A、B两道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序? (2)若其中A、B、C三道工序必须相邻．问有多少种加工顺序? (3)若其中A、B两道工序都不能放在第三和第六位置，C道工序不能放在第五位置，问有多少种加工顺序? 注：以上问题作答要写出必要的数学式，结果用数字表示 【答案】(1)288 (2)144 (3)252 【分析】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，再将其余的4道工序全排列，由分步乘法计数原理即可求解； （2）相邻问题捆绑法即可求解； （3）特殊元素特殊位置优先处理即可. 【详解】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面，有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. （3）①若A安排在第五位置，则 B有3种安排方法，余下的有种安排方法， 合计有种加工顺序； ②同理，若 B被安排在第五位置，也有72种加工顺序； ③若A、B两道工序都不被安排在第五位置，则 A、B可选第一、二、四位置中的两个即有种方法， C有余下四个位置中除第五位置的三个位置可选，有3种方法， 余下的有种方法，合计有种加工顺序， 综上所述共有加工顺序. 1 学科网（北京）股份有限公司 $