2026年中考数学一轮专项复习 （位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质）综合专项训练

位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合 专项训练 考点目录 位似问题 相似三角形与圆的性质综合 相似三角形与平行四边形的性质综合 考点一 位似问题 例1.(25-26九年级上山东济南期末)如图，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的面积比是 () 4 A.1:3 B.1:6 C.1:8 D.1:9 【答案】D 【详解】解：：△AOB放大后得到△COD, .△AOBD△COD, OB 2 1 OD63, S.COD 9 ∴.△AOB与△COD的面积比是1：9， 故选：D 例2.(25-26九年级上辽宁本溪·期末)如图，△ABC与ADEF位似，其位似中心为点O,且OA=AD,则△ABC 与△DEF的面积比是() D 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 【答案】B 【详解】解：：OA=AD, .0A:OD=1:2 △ABC与△DEF是位似图形， △ABC与△DEF的位似比是I:2. :△ABC与△DEF的相似比为l:2, ∴△ABC与△DEF的面积比为I:4, 故选：B 例3.(25-26九年级上湖北月考)如图，在平面直角坐标系中，以原点0为位似中心，将△AB0扩大到原来的2 倍，得到△4B0.若点《的坐标是2,4) 则点A的坐标是一 4 3 A 2 B 4-3-2-10水234 2 B 3 A 【答案】（-12 【详解】解：因为以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△AB'O, △ABO、△A'B'O分别在二、四象限， 所以点A'的横、纵坐标等于点A的横、纵坐标分别乘以-2， 因为点1坐标是24 所以点A的横为2-2)=-1，纵坐标为 4÷(-2)=2 -1,2) 所以A的坐标是 （-1,2 故答案为： 例4.(25-26九年级上江苏徐州·月考)如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，若 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 OA=AA',S.ABC=8 ,则， SAABC= B 【答案】32 【详解】解：~OA+AA'=OA',OA=AA, OA 1 .OA'2 0A 1 :aABC与。ABC是位似图形，OI=2, =1 :S.48c 4 S△AHBc=8 .S4r8c=32 故答案为：32. 例5。（25-26九年级上：陕西西安月考)如图，在下方网格图中，△1BC三个顶点坐标分别为(-40)，B(-山， C(-2,3) B A: O x (I)请画出△4BC 沿x轴正方向平移4个单位长度所得到的 △AB,C 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 2)以原点0为位似中心，将(1)中的△ABG放大为原来的3倍得到△4A,C,请在第一象限内画出△4，C 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)解：如图， △A,B,C即为所求. 以 A (AD △A2B2C2 (2)解：如图， 即为所求. V B2 B A O4)4A2) 变式1.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布·期末)如图，小聪在纸上利用透视关系画出物体正面的透视图，以消 失点为位似中心，图中两个三角形位似，且相似比为2：1，则下列说法错误的是() …消失点 A,两个三角形的面积比为4：1 B.两个三角形的周长比为2：1 C.若小三角形的最短边长为3，则大三角形的最短边长为6 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 D.若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为18 【答案】D 【详解】解：相似比为2：1， 2:12=4:1 两个三角形的面积比为 ,A选项正确，不符合题意； 两个三角形的周长比为2：1，B选项正确，不符合题意： 若小三角形的最短边长为3，则大三角形的最短边长为3×2=6，C选项正确，不符合题意； 9 若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为4一×4=12，D选项错误，符合题意： 故选：D 变式2.（25-26九年级上广东惠州期末)如图，一张三角形纸片在灯光照射下形成投影（图中阴影三角形），己知 OA:OB=3:5,如果三角形纸片的周长为27m,那么投影图形的周长为(） A.45cm B.46cm C.47cm D.48cm 【答案】A 【详解】解：灯光下实物和投影成位似关系，由位似的性质可知，两个图形的周长比等于位似比， 5 “投影图形的周长为27×。=45cm 故选：A. 变式3.(25-26九年级上广东佛山期末)如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:OD=1:3, 则△ABC与△DEF的面积之比为一. D E - 0 【答案】1：9 【详解】解：△ABC与△DEF位似， 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 :.△ABC∽ADEF OA:OD=1:3, .△ABC与△DEF的相似比为I:3, △ABC与△DEF的面积比为1：9， 故答案为：1：9 变式4.(25-26九年级上江苏连云港期末)如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似 比为2：5.若三角尺的一边长为6cm,则其投影三角形的对应边的长为一· 灯● 【答案】15cm 【详解】解：设其投影三角形的对应边的长为cm, 62 由题意得：x5’ 解得：x=15, 即其投影三角形的对应边的长为l5cm, 故答案为：15cm。 3,1)(2,-1) 变式5.（25-26九年级上广西梧州期末)已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 (1)酒出△01B绕点0顺时针旋转90°后得到 的△OAB,并写出A的坐标为 ②)在y轴的左侧以0为位似中心作△01B的位似图 △OA,B2 使新图与原图相似比为2：1； (3)若点 D(a,b) D 在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点之的坐标为 【答案】(1)图见详解，4的坐标为，-3) (2)见解析 6 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 (-2a,-2b) (3) 【详解】(1) B 解： △OAB, 如图所示： 即为所求： 的坐标为1-) A 故答案为：（1，-3)： (2)如图所示： △0A,B即为所求： (3)“作△OAB的位似图形 △OA,B2 新图与原图相似比为2：1，且 D(a,b) 点D的对应点D的坐标为-24，-2) D 故答案为：（-2a,-2b) > 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 考点二 相似三角形与圆的性质综合 例1.(2026·广东梅州模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的点，过点D作DE∥AB,交 AC于点E,过点E作EF∥BC,交AB于点F,经过点D、E、F的⊙O与AB、BC的另一个公共点分别为G、 H,连接EG、EH、GH, 0 G (I)求证：△EGH∽aABC: (2)若AB=15,BC=10, ①当BG=2时，求DH的长： ②若ED恰为⊙O的直径，则BD的长为_· 【答案】(I)见解析 0 (2)①DH的长为4，②3 【详解】(1)证明：：四边形EFGH是⊙O的内接四边形， ·∠EFA=∠EHG, :∠EGH和∠EDH是同弧所对圆周角， ·∠EGH=∠EDH, DE∥AB,EF∥BC, ·∠EFA=∠B,∠EDH=∠B, ·∠EGH=∠EHG=∠B, AB=AC, ∠B=∠C, ·∠C=∠EHG,∠B=∠EGH, ·△EGH∽aABC: (2)解：①如图，连接DG, 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 ●O D B G ∠CHE+∠BHG+∠EHG=180°， ∠CHE+∠CEH+∠C=180°，∠C=∠EHG, ÷∠CEH=∠BHG, AB=AC, ∠C=∠B, ·△CEH∽△BHG, EH CH 六HGBG' :AB=AC=15,BC=10, 由(1)知：△EGHAABC; EH AC 15 3 .HG BC 10 2' CH 3 ·BG2' BG=2, CH=3, :四边形EGDH是⊙O的内接四边形， .∠GDB=∠GEH, ∠EHG=∠B, ·△EHG△DBG, EH HG BD BG' EH BD 3 HG BG 2' BG=2, BD=3, ÷DH=BC-BD-CH=10-3-3=4. 9 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 答：DH的长为4： ②如图，设ED与GH交于点M, ●OM 0 B G '△EGH∽AABC EH AC EG AB' AB=AC, :EG=EH,又ED恰为⊙O的直径， ·DE⊥GH :.MH=MG,DH=DG, EG 3 六HG2' EG3 ÷2MG2' EG ·MG =3, :DE∥AB,DE⊥HG, .HG⊥AB, ÷sin∠GHD=sin∠GED=MG=1 EG 3' BG 1 BH3' CH 3 “BG2, ∴设BG=2a,则CH=3a,BH=6a, ÷BC=CH+BH=9a, BC=10」 10 a=9 o位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合专项训练 位似问题、相似三角形与圆的性质综合、相似三角形与平行四边形的性质综合 专项训练 考点目录 位似问题 相似三角形与圆的性质综合 相似三角形与平行四边形的性质综合 考点一 位似问题 例1．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，把放大后得到，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·辽宁本溪·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 例4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，与是位似图形，点是位似中心，若，则， ． 例5．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 变式1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，小聪在纸上利用透视关系画出物体正面的透视图，以消失点为位似中心，图中两个三角形位似，且相似比为，则下列说法错误的是（   ） A．两个三角形的面积比为4∶1 B．两个三角形的周长比为2∶1 C．若小三角形的最短边长为3，则大三角形的最短边长为6 D．若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为18 变式2．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，一张三角形纸片在灯光照射下形成投影(图中阴影三角形)，已知，如果三角形纸片的周长为，那么投影图形的周长为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积之比为 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为 ． 变式5．（25-26九年级上·广西梧州·期末）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为______； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)若点在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点的坐标为______． 考点二 相似三角形与圆的性质综合 例1．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． 例2．（2026·广东·模拟预测）如图，已知四边形内接于，直径交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，当时，求证：； (3)如图，在（）的条件下，交于点，，，，求的面积． 例3．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，求证：是的切线； (3)如图②，过点作于，若，，直接写出阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是的中点，若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，是的外接圆，是的直径，过圆心的直线于，交于E，F，是的切线，为切点，连接． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； 变式3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，在中，，点在边上，且，以为直径作，延长交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． (3)如图2，记交于点，在上取点，连接并延长交于点．求证：． 考点三 相似三角形与平行四边形的性质综合 例1．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点F在对角线上，过F点分别作和的垂线，垂足为E，G，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为__________，线段与的数量关系为__________． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边向外作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，求出的长． 例2．（25-26九年级上·四川成都·期末）对于某类矩形，能过点将矩形折叠，使点落在边上的点处．作如下问题探究． (1)如图1，折痕与边交于点．求证：； (2)如图2，在图1的基础上延长与的角平分线交于点交边于点，当时，求的值； (3)如图3，当某个矩形如图1所示折叠时，若，动点在线段的延长线上，动点在射线上，且，连接交射线于点，作，交其延长线于点．试问：在点运动的过程中，线段的长度是否会发生改变？若不变，直接写出线段的长度；若改变，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接． 【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，的值为______； 【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点． ①如图2，当点位于边上时，求证：； ②若，当时，求的长； 【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，直接写出的最大值． 变式1．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）某数学兴趣小组在课余时间开展综合与实践探究活动：如图1，已知四边形为正方形，点E为边的中点，以为边构造正方形，连接． 特例感知： （1）直接写出与之间的数量关系． 操作发现： （2）将正方形绕着点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接． ①与之间的数量关系是否发生变化．若变化，请说明理由；若不变化，请就图2的情况给出证明． ②当，时，求四边形的面积． 类比探究： （3）将正方形绕点A逆时针旋转一定角度，以为斜边在的上方作等腰，连接．如图3，若，直接写出的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，中，，，将绕点逆时针旋转（）得，连接． (1)求证：； (2)若，点是的中点，点落在延长线上，求的长； (3)连接，若，求的值． 变式3．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，正方形的边长为6，点O是对角线，的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，取线段的中点G，连接，当点E在边上运动时，存在最小值，请求出最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $