切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 考点目录 切线的证明问题 圆与四边形综合问题 考点一 切线的证明问题 例1.(25-26九年级上陕西西安期末)如图，AB是O0的直径，C,D是⊙0上两点，连接AC,BC,CO平分 ∠ACD,CE⊥DB交DB延长线于点E. (1)求证：CE是O0的切线： (②)若O0的半径为5，BC=6,求BD的长. 【答案】(1)证明见解析； 号 【详解】(1)解：~CO平分∠ACD, ∠0CA=∠0CD. 0A=0C, ∴.∠0AC=∠0CA, ∠0AC=∠0CD. ∠OAC=∠CDB, ∠OCD=∠CDB, .OC I DE. ×CE⊥DB,即∠E=90°， ∠0CE=180°-∠E=90°，即0C⊥CE. 又~0C是⊙0的半径， ∴CE是⊙O的切线； (2)解：AB是⊙0的直径，⊙0的半径为5， ∠ACB=90°，AB=2×5=10. 在RtAACB中，由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=8. 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 ~CE是⊙O的切线， ∠0CE=90°， ∴∠ACB-∠OCB=∠OCE-∠OCB,即∠AC0=∠ECB, ∠AC0O=∠CAB=∠ECB. △ACB∽△CEB, 油侣耳2-名架网0 5 在RtACEB中，由勾股定理得EB=√BC2-CE=18 ∠CAB=∠CD, ACEBADEC, CE EB “EDCE'即CE2=EB.ED. 设BD=x,则ED=EB+BD=18+x, 5 例2.(25-26九年级上·湖南株洲期末)如图，在△0AB中，点A在⊙0上，边OB交O0于点C,AD⊥OB于点 D.AC是∠BAD的平分线. O DC B (I)求证：AB为O0的切线； (2)若00的半径为2，∠A0B=45°，求CB的长. 【答案】(1)见解析 (2)2√2-2 【详解】(1)证明：：AD⊥OB于点D, LADB=90°， :AC是∠BAD的平分线， :∠DAC=∠BAC, :0A=0C, .∠0AC=∠0CA, 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 :∠OAC=LOAD+∠DAC=∠OAD+LBAC,∠OCA=∠B+∠BAC, ∠OAD+∠BAC=∠B+∠BAC, :∠0AD=∠B, LOAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°， :0A是⊙0的半径，且AB⊥0A, :AB为OO的切线： (2)解：：∠0AB=90°，LA0B=45°， ∠B=∠A0B=450, :AB=0A, :00的半径为2， AB=0A=0C=2, :0B=VAB2+0A2=√20A=2V2, .CB =OB-OC=22-2, CB的长是2√2-2. 例3.(2026四川泸州一模)如图，AB,CD,EF均为⊙O的直径，点C是弧AF的中点，点N在0D上，且四 边形ONBF是平行四边形，OM=ON=AM=2. (1)求证：△BON≌△D0M; (2)若点G在EF的延长线上，且∠B0F=2LG,证明：CG是⊙O的切线； (3)求⊙O的半径， 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1+V5. 【详解】(1)证明：点C是弧AF的中点， 六AC=CF, ∴.∠A0C=∠C0F. ~∠A0C=∠BON,∠C0F=∠DOM, 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 ∴∠B0N=∠DOM. 0B=0D,0M=0N, ∴aBON≌ADOM(SAS). (2)证明：连接AF交OC于点H.如图， 0A=0F, ·∠OAF=∠AF0, ∠B0F==2∠0AF=2∠AF0, ∠B0F=2∠G, ∠G=∠AF0, AF∥CG. ~点C是弧AF的中点， ∴OC⊥AF, .0C LCG, ∴CG是⊙O的切线： (3)解：设⊙O的半径为r. ~四边形OWBF是平行四边形， .BF =ON =2,BN=OF=r. △BON≌△DOM, :.DM BN =r. 点C是AF的中点， “点H是AF的中点. 点O是AB的中点， 0H-8F=1, :DH =r+1. AM=2, AD=r+2. 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 AH2=AD2-DH2=OA2-OH2, (r+22-(r+1)2=r2-12, 整理得r2-2r-4=0, 解得r=1+5或r=1-√5（舍去）. “⊙0的半径为1+√5. 例4.(25-26九年级上·湖北武汉·期末)如图，⊙0为ABC的外接圆，BC为⊙0的直径，且BC=8,四边形 ABCD为平行四边形，∠D=45°. ○ (I)求证：AD是⊙0的切线； (2)求阴影部分的面积. 【答案】()见解析 (2)24-4π 【详解】(1)证明：如图，连接OA, ~BC为OO的直径， ∠BAC=90°， ~四边形ABCD是平行四边形，∠D=45°， ∠B=∠D=45°，BC∥AD, LC=∠B=45°， ∴AB=AC, 0B=0C, ∴0A⊥BC, ~BC∥AD, .OA⊥AD, OA是00半径， AD是⊙O的切线： 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 A D B 0 (2)解：BC=8,OA⊥BC, 204=0C=5BC=4,LA0C=90 ~四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=8, ∴S阴影=S5形0ADc-S第形0AG =7×(4+8)×4-90元x42 1 360 =24-4π； 答：阴影部分的面积为24-4π 变式1.(25-26九年级上河北保定期末)如图，ABC中，∠C=90°，以AC上一点O为圆心过点A作00， OO交AB于点D. B (I)尺规作图：作DB的垂直平分线EF,分别交BC、AB于点E、F;(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接DE,求证：DE是OO的切线； (3)若∠B=40°，0A=6,求弧AD的长. 【答案】()见解析 (2)见解析 3 【详解】(1)解：如图，直线EF即为所求： 6 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 D F (2)证明：连接0D, 0A=0D, LOAD=∠ODA, :EF是BD的垂直平分线， :ED =EB, .∠B=∠EDB, △ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∠B+∠A=90°， .∠EDB+∠ODA=90°， .∠0DE=180°-90°=90°， OE⊥DE, :0D是00的半径， ∴DE是OO的切线； (3)解：：∠B=40°， ∠A=90°-40°=50°， :0A=0D, .∠0AD=∠0DA=50°， .∠A0D=180°-50°-50°=80°， :0A=6, :AD的长为80mx6_8x 1803 变式2.(25-26九年级上·河北唐山期末)如图，已知O0是ABC的外接圆，连接0C,AC,过点A作AD∥0C, 交BC的延长线于D,AB交OC于E,∠ABC=45°， 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 B A (1)求证：AD是⊙0的切线： (2)若AE=√29，CE=3,求图中阴影部分的面积（结果用π表示）. 【答案】（①）见解析 2②25元25 4π-2 【详解】(1)证明：已知⊙0是△ABC的外接圆，AD∥OC,∠ABC=45°，如图，连接OA, B ∠AOC=2∠ABC=90°， O A .∠DA0=180°-∠C0A=90°， OA⊥AD, :0A是⊙0的半径， AD是O0的切线； (2)解：设OE=x,则0C=CE+OE=3+x, 0A=0C=x+3, :AE=√29， 在Rt△A0E中，由勾股定理得：x2+(x+3)2=29, 解得：x=2,2=-5(不合题意，舍去， 0C=x+3=5, :00的半径为5， 90r×5225 :S扇形01c= π， 3604 25 2, :图中阴影部分的面积-草：-宁 2 变式3.(25-26九年级上·湖北月考)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，延长AB到点E,连接CE,过点A作 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 AD⊥CE,交EC的延长线于点D,交OO于点F,连接BC,CF,若∠DCF=】∠DAB, 2 E (1)求证：DE是⊙O的切线； (②)若AB=BE=2,求CF的长. 【答案】(1)见解析 (2)cF=25 3 【详解】(I)证明：连接OC、BF交于点G,连接AC, :AB是⊙O的直径，AD⊥CE, LAFB=LD=90°， ∴BFDE, :∠DCF=∠BFC=∠BAC, ∠DCF=∠DAB, 2 ∠BAC=∠DAB, ∠DAC=∠BAC, ·FC=BC, ∴.OC垂直平分BF, L0CE=L0GB=90°， :OC是⊙O的半径，DE⊥OC, DE是⊙O的切线： D (2)解：：AB=BE=2, ·OC=0B=AB=2×2=1, 0E=OB+BE=1+2=3, 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 :L0CE=∠0GB=90°，L0BG=L0EC, OG OB =sin∠OBG=sin∠OEC=OC_1, 0E3' 1 1 1 0G=30B=3x1= 3 3’ ∴.CF=CB=VCG2+BG CF的长是25 变式4.(25-26九年级上·重庆綦江期末)如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，点E为AB上一点，以AE为直 径的OO上一点D在BC上，且AD平分∠BAC. B (I)证明：BC是O0的切线： (2)若BD=7,BE=3,求AB的长. 【答案】()见解析 9 【详解】(1)证明：如图，连接0D, AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠OAD, 0A=0D, ∠0DA=∠0AD, ∴.∠ODA=∠CAD, ∴AC∥OD, 10切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 切线的证明问题、圆与四边形综合问题专项训练 考点目录 切线的证明问题 圆与四边形综合问题 考点一 切线的证明问题 例1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，交延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 例2．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，在△中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，，求的长． 例3．（2026·四川泸州·一模）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． (1)求证：； (2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线； (3)求的半径． 例4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，为的外接圆，为的直径，且，四边形为平行四边形，． (1)求证：是的切线； (2)求阴影部分的面积． 变式1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是的切线； (3)若，，求弧的长． 变式2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知是的外接圆，连接，过点A作，交的延长线于D，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）． 变式3．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，点在以为直径的上，延长到点，连接，过点作，交的延长线于点，交于点，连接，，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 变式4．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 考点二 圆与四边形综合问题 例1．（2024·广东阳江·二模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 例2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，点G在线段上，，点B是线段上一动点，以为边向下方作正方形，以为腰向下方作等腰直角三角形，，当时，． (1)如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求的长，请你将解答过程补充完整． 探究1 假设，求的长． 探究2 设，求的长． 解：… 解：… (2)过点A，F，G的交边于点H． ①连接，，若是等腰三角形，求的长． ②当与边有两个交点时，求的取值范围． 例3．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 例4．（2025·云南西双版纳·一模）如图，四边形是平行四边形，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，是的外接圆．已知，，点到的距离为． (1)若圆心在线段上，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作交于点，使，求证：是的切线； (3)若圆心不在线段上，当与平行四边形的某一边所在的直线相切时，试求线段的长． 变式1．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图①，在平行四边形中，对角线相交成的锐角为．若，求平行四边形的面积． （2）如图②，是某公园的圆形空地，为圆心，为直径，，规划部门计划在空地内建一个牡丹园，根据设计要求：点和点，点和点分别关于对称，与交于点，且，四边形为牡丹园，设的长为，牡丹园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②已知种植牡丹园每平方米的费用为20元，政府预算为45万元，请通过计算说明政府的预算是否一定够用？ 变式2．（2024·上海·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 变式3．（2024·广东·模拟预测）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 变式4．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $