精品解析：宁夏永宁县永宁中学2025-2026学年九年级上学期第三次质量检测数学试卷

2025-2026学年九年级上学期第三次质量检测数学试卷 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．根据左视图是从左面看到的视图，即可求解． 【详解】解：从左边看到的是． 故选：D． 2. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3. 如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 4. 下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A、， 成比例线段，故符合题意； B、， 不成比例线段，故不符合题意； C、， 不成比例线段，故不符合题意； D、， 不成比例线段，故不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题正确的是（　　） A. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 D. 一条线段上只有一个黄金分割点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解的关键是掌握教材上相关的概念与定理． 【详解】解：A．两边成比例及夹角相等的两个三角形相似，故A错误，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故B错误，不符合题意； C．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故C正确，符合题意； D．一条线段上只有两个黄金分割点，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（ ） A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=﹣9，c=﹣5 D. b=﹣9，c=21 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图象的平移法则为：上加下减，左加右减． 本题需要将后面的解析式化成顶点式，然后向左平移3个单位，再向上平移2个单位． 【详解】 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后为 ∴b=3，c=7 故选A． 考点：函数图形的平移 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（结果取整数，参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和等腰直角三角形的性质，根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数的图象，反比例函数的图象， 根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，推出，可得由抛物线与y轴的交点位置确定，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第一、三象限，由此可对各选项进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 对于一次函数，图象经过第二、三、四象限； 对于反比例函数，图象分布在第二、四象限； 综上，只有选项C的图象符合题意， 故选：C． 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．“手影戏”中的手影属于________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 【点睛】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 10. 如果反比例函数的图象经过点，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数的比例系数，将点P的坐标代入反比例函数解析式，利用待定系数法求 k即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 12. 已知，那么代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知得出，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确用b表示a是解题关键． 13. 由若干个边长为的小正方体搭成一个组合体，它的主视图、左视图都是如图所示的形状，设垒成这种几何体所需小正方体的个数最少为，最多为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是利用“三视图”特点找到所需正方体的个数，从左视图中可以看出下面一层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而确定和的值． 【详解】下面正方体最少的个数应是个，上面正方体最少的个数是个， ∴这个几何体最少有个小正方体组成，即； 下面正方体最多的个数应是个，上面正方体最多的个数是个， ∴这个几何体最多有个小正方体组成，即； ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 15. 如图，四边形是平行四边形，点D关于的对称点为点F，点E、F都在函数，轴，延长与x轴交于点B，当平行四边形的面积是时，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，设与交于点，连接，，由平行四边形性质可得，由对称性可得，推出，可得，，进而得出，再证得，可得，利用平行线的判定得出，进而得出，再根据反比例函数的的几何意义可得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点，设与交于点，连接，， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ，，， ， ，即， ， ， ∴， ， ， ， ∵点E、F都在函数，轴，轴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，反比例函数的的几何意义，相似三角形的判定和性质等，解题关键是熟练掌握反比例函数的的几何意义． 16. 如图，已知是4个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，连接，交于点，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质及等腰三角形的性质，过点A作于点M，根据题意得到，，，从而利用勾股定理求得，，再根据同位角相等推出，从而得到，进而利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 过点A作于点M， ∵是四个全等的等腰三角形 ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：4． 三．解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分） 17. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先进行特殊角三角函数值化简，然后再进行计算即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 或 ， 18. 某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是 ； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比． （1）由题意可得共有4种等可能的结果，其中该顾客所获购物券金额为10元的有1种情况，然后利用概率公式求解即可求； （2）列表或画树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于50元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中他所获购物券为10元的结果有1种， ∴他所获购物券为10元的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 10元 20元 30元 40元 10元 （10元，10元） （10元，20元） （10元，30元） （10元，40元） 20元 （20元，10元） （20元，20元） （20元，30元） （20元，40元） 30元 （30元，10元） （30元，20元） （30元，30元） （30元，40元） 40元 （40元，10元） （40元，20元） （40元，30元） （40元，40元） 共有16种等可能的结果，其中该顾客所获购物券金额不低于50元的结果有：（10元，40元），（20元，30元），（20元，40元），（30元，20元），（30元，30元），（30元，40元），（40元，10元），（40元，20元），（40元，30元），（40元，40元），共10种， ∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作图形； （2） 如图点即为所求． 点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质． （1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解，连接，，，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和是位似图形，点为所求位似中心， 可以看作的正方形的对角线，可以看作的矩形的对角线，两直线交于一点，该点即为，并在网格点上， ∴点坐标为． 20. 如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． （1）在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； （2）若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 【答案】（1）小东的位置（用线段表示），画出光线，标明阳光、灯光如图所示： （2）路灯的高为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，中心投影，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； （2）根据同一时刻物高与影长成正比得出比例式求出的长，再根据得出比例式得出的长即可； 【小问1详解】 解：作阳光线，过点作的平行线交于点，过点作于点，则线段即为所求； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ， ， ∴， ， ， ， 答：路灯的高为． 21. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低27元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【小问1详解】 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； 【小问2详解】 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 22. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售价定为70元时会获最大利润 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式； （2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 月销售量为， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，结合（1） ， 又∵， ∴当时，y最大，最大值为9000． 答：当销售价定为70元时会获最大利润． 23. 图1是一款折叠式桌子，图2是其侧面示意图，桌腿交于点O．当桌子平稳放置水平地面时，测得． （1）求证：． （2）求此时桌子的高度． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴均为等腰三角形， ∵， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意可推出均为等腰三角形，得出，即可求证； （2）作，可推出；证，得出，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴ 即：桌子的高度为 24. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，． （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】（1）24m；（2）53.3m 【解析】 【分析】（1）先利用等角对等边和坡度值分别求出CE和AC，最后相减即可得到AE的长； （2）利用三角函数值求出CF的长后，利用线段之间的和差关系即可求出EF的长． 【详解】解：（1）∵，坡面的坡度， ∴m， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴山脚到河岸的距离为24m； （2）∵，， ∴， ∴, ∴， ∴河宽的长度约为53.3m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，要求学生能正确理解题意，能建立文字与图形之间的关联，能用数学符号表示实际问题中的数量关系等，解决本题的关键是能正确利用坡比值和利用三角函数值求线段的长等． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）填空：_____________，_______________． （2）求一次函数的表达式． （3）连接，，直接写出的面积． 【答案】（1）1，1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把，代入反比例函数计算即可得解； （2）由（1）可得，，再利用待定系数法求解即可； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，再由三角形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，在反比例函数图象上， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 将，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：如图： ， 在中，当时，，解得，即， ∴． 26. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 【答案】（1）有三个角为直角的四边形为矩形 （2） 解：作线段的垂直平分线交于点， ，连接并延长，在延长线上截取， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质等： （1）根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 有三个角是直角的四边形是矩形； 故答案为：有三个角是直角的四边形是矩形 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当或时，和相似，理由如下： 设运动时间为， ∵两动点同时出发， ∴， 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴，即， 如图，当时，， ∴， ∴， 综上所述，当或时，和相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次质量检测数学试卷 一．选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 按如图所示的方式摆放的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 丙和丁 D. 甲和丁 4. 下列各组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题正确的是（　　） A. 两边成比例及一角相等的两个三角形相似 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 顺次连接矩形四边的中点得到菱形 D. 一条线段上只有一个黄金分割点 6. 把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3x+5，则（ ） A. b=3，c=7 B. b=6，c=3 C. b=﹣9，c=﹣5 D. b=﹣9，c=21 7. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（结果取整数，参考数据：，，） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 宋代诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”手影戏是一种独特的艺术形式，它的表演全部靠手部动作投影的改变，幻化形成各种不同的形象．“手影戏”中的手影属于________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 10. 如果反比例函数的图象经过点，那么__________． 11. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 12. 已知，那么代数式的值是______． 13. 由若干个边长为的小正方体搭成一个组合体，它的主视图、左视图都是如图所示的形状，设垒成这种几何体所需小正方体的个数最少为，最多为，则的值为_____． 14. 如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 15. 如图，四边形是平行四边形，点D关于的对称点为点F，点E、F都在函数，轴，延长与x轴交于点B，当平行四边形的面积是时，则__________． 16. 如图，已知是4个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，连接，交于点，则_______． 三．解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题6分，25、26题每小题6分，共72分） 17. 计算： （1） （2）解方程： 18. 某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”，“20元”，“30元”，“40元”的字样（如图）．规定：同一天内，顾客在本商场消费每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额给顾客相应数额的购物券． （1）若顾客有一次转动转盘的机会，他所获购物券为10元的概率是 ； （2）某顾客当天消费260元，转了两次转盘，请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，并使它与的位似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到：请在图中标出和的位似中心点，并写出点的坐标． 20. 如图，公路旁有两个高度相等的路灯，．小东上午去学校时发现路灯在阳光下的影子恰好落到里程碑处，他的影子恰好落在路灯的底部处．晚上回家时，站在上午同一个地方，他在路灯下的影子恰好落在里程碑处．． （1）在图中画出小东的位置（用线段表示），并画出光线，标明阳光、灯光； （2）若小东上午去学校时高的木棒在阳光下的影长为，他的身高为，他距里程碑点E为，求路灯的高． 21. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 22. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式． （2）当销售价定为多少元时会获得最大利润？ 23. 图1是一款折叠式桌子，图2是其侧面示意图，桌腿交于点O．当桌子平稳放置水平地面时，测得． （1）求证：． （2）求此时桌子的高度． 24. 某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，． （1）求山脚到河岸的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） （参考数据：，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）填空：_____________，_______________． （2）求一次函数的表达式． （3）连接，，直接写出的面积． 26. 下面是两位同学设计的“尺规作矩形”的作图过程： 题目：如图①，已知线段，.求作：矩形.（要求：尺规作图） 甲同学作法如图②：①过点A作的垂线；②过点C作的垂线，交于点D； 乙同学作法如图③：①作线段的垂直平分线交于点O；②连接并延长，在延长线上截取；③连接，. （1）依据甲同学的作法，得到矩形的依据是：______； （2）请依据乙同学的作法，说明四边形是矩形； （3）若，，点P是上一动点，从C向D运动，速度为；点Q是上一动点，从C向B运动，速度为；两动点同时出发，直接写出当，满足什么关系时，与相似. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $