1.2 等腰三角形 第二课时 教学课件 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

1.2.2 等腰三角形 第二课时 北师大版八年级下册数学 学习目标 1.经历 “猜想→验证→证明”的探究过程，理解等腰三角形 “等角对等边” 的判定定理，能独立完成定理的逻辑证明，并熟练运用定理判定等腰三角形。 2.理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，能将反证法简单应用于几何证明。 3.能根据题目条件选择合适的等腰三角形判定方法，提升几何分析和推理解决问题的能力。 问题1：上节课我们学习了等腰三角形的性质，谁能说说等腰三角形有哪些重要特征？ （引导学生回答：两腰相等、两底角相等（等边对等角）、三线合一、是轴对称图形，对称轴是底边上的高 / 中线 / 顶角平分线所在直线） 提问 2：若一个三角形是等腰三角形，已知顶角为 70°，它的底角是多少度？若已知一个底角为 65°，顶角又为多少度？ （学生口答：55°，50°） 复习引入 新课探究 我们已经知道 “有两边相等的三角形，两角必然相等”，那反过来思考，如果一个三角形有两个角相等，它的两边是否也相等呢？ 这节课我们就带着这个问题，继续探究等腰三角形的相关知识。 学生猜测：相等 老师追问：如何证明这个猜测是正确的？ A B C 新课探究 已知：在△ABC 中，∠B =∠C。求证：AB = AC。 A B C 分析：证明两条线段相等的方法有哪些？ 这道题的大背景是三角形，想到构造全等三角形，利用全等三角形的性质来证明两条线段相等 法一：证明：如图，过点A作 AD⊥BC 于点 D 则∠ADB =∠ADC = 90° 又∵∠B =∠C，AD = AD ∴△ADB ≌ △ADC（AAS） ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等） D 还有没有其他的证明方法？ 归纳总结 法二：证明：如图，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD ∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（AAS） ∴AB=AC（全等三角形的对应边相等） A B C D 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 归纳总结 这一定理可以简述为：等角对等边。 几何语言： 在△ABC中 ∵∠B=∠C ∴AB=AC A B C 归纳总结 等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在同一个三角形中 区别：判定是由角的关系得到边的关系， 性质是由边的关系得到角的关系。 即：等边 等角 性质 判定 例题展示 例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E。 求证：△AED是等腰三角形。 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌ △DCA（SSS） ∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形的对应角相等） ∴AE = DE（等角对等边） ∴△AED 是等腰三角形 分析：利用等腰三角形的判定定理：等角对等边来证明 等角 等边 等腰三角形 练一练 如图，AE平分∠BAC，DE // AB，若AD=3，则DE的长是______。 3 尝试思考 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明的思考过程如下。你能理解他的推理过程吗？ 如图，在△ABC 中，已知∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。 假设 AB = AC，那么根据定理“等边对等角” 可得∠C =∠B，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾，因此 AB ≠ AC。 A B C 理解，这是反证法 总结 反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、 基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结 论一定成立，这种证明方法称为反证法。 1. 先假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，应用正确的推理证明，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； 3.由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 用反证法证明的一般步骤 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知条：△ABC 求证：∠A,∠B，∠C不能有两个直角. 证明：假设∠A,∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A,∠B是直角， 即∠A=90°，∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C=180°+∠C＞180° 这与三角形内角和等于180°相矛盾 所以“假设∠A,∠B是直角”不成立. 所以一个三角形中不能有两个直角三角形. 练一练 随堂练习 1.若一个三角形的两个内角分别为 70°和 40°，则这个三角形的形状是？ 等腰三角形 解析：第三个内角 = 180°-70°-40°=70°，有两个角相等，根据 “等角对等边” 判定为等腰三角形。 2.已知△ABC 中，∠B=∠C，AB=5cm，则 AC 的长度为？ 5cm 解析：∠B=∠C，由 “等角对等边” 得 AC=AB=5cm。 3.等边三角形的一个内角的度数为？若其边长为 3cm，则周长为？ 60°；9cm 解析：等边三角形三角相等且和为 180°，每个角为 60°；三边相等，周长 = 3×3=9cm。 随堂练习 4.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BC，求证：△ABC 是等腰三角形。 证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90° 在△ADB 和△ADC 中 ∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC ∴△ADB≌△ADC（ASA） ∴AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形 5.已知△ABC 是等边三角形，点 D 在 BC 边上，且 AD⊥BC，BD=2cm，求△ABC 的边长。 解：∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC ∴AD 是 BC 边上的中线（等边三角形三线合一） ∴BC=2BD=2×2=4cm 即△ABC 的边长为 4cm 随堂练习 随堂练习 6.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，求证：△ABD 和△BCD 均为等腰三角形。 证明：∵AB=AC，∠A=36° ∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72° ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36° ∴∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD（△ABD 为等腰三角形） ∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72° ∴∠BDC=∠C=72° ∴BD=BC（△BCD 为等腰三角形） 随堂练习 7.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，且 BE=CF，EF 交 BC 于点 D，求证：DE=DF。 证明：过点 E 作 EG∥AC 交 BC 于点 G ∵EG∥AC，∴∠EGD=∠FCD，∠GEB=∠A ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB 又∵∠GEB=∠A，∴∠B=∠EGB，∴BE=EG（等角对等边） ∵BE=CF，∴EG=CF 在△EGD 和△FCD 中 ∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC,EG=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴DE=DF 课堂小结 等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 反证法： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。 A B C 作业布置 1.基础题：课本习题1，4题 2.自助餐作业 $