精品解析：湖南省株洲市天元区建宁实验中学2025-2026学年八年级上学期期末水平测试八年级数学试题卷

建宁实验中学2025年下学期期末水平测试 八年级数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2， C. ，4，7 D. 9，12，20 3. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 的平方根是2 B. 六边形的内角和等于 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 全等三角形对应边上的高相等 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____________． 12. 若，则的值为______． 13. 已知，则_____． 14. 若关于的分式方程产生增根，则的值为________． 15. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度． 16. 如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，取不等式的正整数解其中的一个代入求值． 19. 已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点．在网格中． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）求图形的面积． 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 23. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则___________； （2）化简：___________；___________； （3）计算： 24. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建宁实验中学2025年下学期期末水平测试 八年级数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，2， C. ，4，7 D. 9，12，20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，熟知如果三角形的三边长，，满足，其中c为最长边，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键，根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. 石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 科学记数法，将原数表示为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 的平方根是2 B. 六边形的内角和等于 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 全等三角形对应边上的高相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，求一个数的平方根，实数与数轴，多边形内角和问题，全等三角形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据求一个数的平方根，实数与数轴，多边形内角和问题，全等三角形的性质，对四个命题逐一分析，再作出判断． 【详解】解：，4的平方根是， 但命题A说“平方根是2”，仅指出正根，忽略负根， 故A为假命题，符合； 六边形的内角和为， 故B为真命题，不符合； 实数与数轴上的点一一对应是实数基本性质， 故C为真命题，不符合； 全等三角形对应部分相等，包括对应边上的高， 故D为真命题，不符合． 故选：A． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 6. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定逐项排查即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线互相平分，故A不一定是菱形； 四边形是平行四边形，对边相等，故B不一定是菱形； 图C中，根据三角形的内角和定理可得：，邻边相等，四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形； 四边形是平行四边形，对边平行，故D不一定是菱形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键． 7. 如图，，，是过A的一条直线，且B、C在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 8. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据工作效率和合作时间列方程． 【详解】解：设单独处理需x小时，则单独处理需小时， ∵总工作量为1， ∴的工作效率为，的工作效率为， 合作工作效率为， 合作时间小时完成， ∴， 即， 故选：D． 9. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 10. 在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 12. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值． 将转化为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负得到不等式组，求出值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若关于的分式方程产生增根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_____度． 【答案】114 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°， ∴∠D＝∠B＝114°. 故答案为：114. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，题中由折叠得到∠BAC＝∠B′AC，从而得到∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC是解题的关键. 16. 如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E，利用旋转的性质得到，证明得到，再由三线合一定理得到，证明四边形是矩形，得到，利用三角形面积公式得到，则，由勾股定理可得，，据此利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F，过点B作，且，连接，过点A作直线于E， ∵将边绕点B逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三线合一定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，立方根，零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算幂的乘方，再运算同底数幂相乘，即可作答． （2）先化简立方根，零次幂，负整数指数幂以及绝对值，再运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，取不等式的正整数解其中的一个代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分式加减乘除混合运算，求一元一次不等式的整数解，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将中括号里的通分，再将除法转化为乘法计算，然后求得不等式的正整数解，根据分式有意义，得到字母a的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式 解不等式，得， 不等式的正整数解为1，2，3， ∵要使分式有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取1或3， 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 19. 已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，进而得到，由此证明，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 20. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点．在网格中． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）画出关于点O的中心对称图形； （3）求图形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了网格作图，轴对称和中心对称的性质，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称和中心对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）借助网格，利用作差法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，． 21. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． （1）该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ （2）该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】（1）该商店“湘湘”的购进单价为30元 （2）“超超”的售价最低应该定为每件42元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 23. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则___________； （2）化简：___________；___________； （3）计算： 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； ； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：原式 ． 24. 已知正方形和正方形． （1）如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； （2）如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形和正方形中，，，， ，即， ； （2）4； 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；掌握这些性质进行角和边关系的推理是解题的关键． （1）由正方形可得，，即可利用证明； （2）①作于点，由正方形性质可得，再由勾股定理求出，得到，最后由得到； ②连接，由正方形性质和得到，，再由点是、的中点，最后根据斜边中线性质得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图2，作于点， 在正方形和正方形中，，， ， ，， ，， ， ， 由（1）可得， ； ②，理由如下 在正方形和正方形中，，， ， 由（1）可得， ， ， ， 是、的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $