8.5三角形的中位线、梯形寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.（知识点归纳+题型精讲+提升练习）

8.5三角形的中位线、梯形寒假预习必备讲义 ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习★目标 ●理解三角形中位线的定义，能准确区分三角形的“中位线”与“中线”； ●初步运用中位线定理解决基础计算问题（如已知第三边长求中位线长，或已知中位线长求第三边长），掌握简单的应用思路。 ●掌握梯形的定义，明确梯形的核心特征，能区分梯形与平行四边形的异同。 ●理解梯形中位线的定义，初步了解梯形中位线定理，能进行简单的长度计算。 ●结合生活中的梯形实例（如梯子、堤坝截面），感受几何图形在生活中的应用，提升学习积极性。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【重点提醒】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系； （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形．因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的； （3）三角形的中位线不同于三角形的中线． 【知识点3梯形的定义】 （1）定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 【重点提醒】：平行的一组对边是核心特征，另一组对边不平行是与平行四边形的本质区别（平行四边形两组对边均平行），二者缺一不可。 （2） 梯形的相关概念： 上底与下底：平行的两条边称为底，较短的边叫上底，较长的边叫下底（按长度区分，而非位置，避免误以为“上面的是上底”）； 腰：不平行的两条边叫做梯形的腰。 高：从上底任意一点向对边（下底） 作垂线，垂线段的长度叫做梯形的高。梯形有无数条高，且所有高都相等。 【知识点3梯形的分类】 根据腰的特征和角的特点，梯形可分为三类： 分类 定义 核心特征 图示描述 直角梯形 有一个角是直角的梯形 1. 有两个相邻的直角 2. 一腰垂直于两底 另一腰为斜边 等腰梯形 两腰相等的梯形 1. 两腰相等 2. 同一底上的两个内角相等 3. 对角线相等 4. 是轴对称图形 普通梯形 只有一组对边平行的四边形 两腰不相等，无直角，上下底平行 一般梯形：两腰不相等，且没有直角的梯形（基础的梯形类型）。 直角梯形：有一个角是直角的梯形（一腰与底垂直，这条腰即为梯形的高）。 等腰梯形：两腰相等的梯形（高频考点）。 【知识点4特殊梯形（等腰梯形）的性质】 等腰梯形作为特殊梯形，除具备梯形的基本特征外，还有以下特有性质，可从边、角、对角线、对称性四个方面总结： 边：两腰相等，上底、下底平行且不相等。 角：同一底上的两个角相等，邻角互补（因两底平行，同旁内角互补）。 对角线：两条对角线长度相等（等腰梯形的重要判定依据）。 对称性：是轴对称图形，对称轴为经过两底中点的直线（只有一条对称轴，非中心对称图形）。 【知识点5梯形的判定方法】 （1） 一般梯形的判定 定义：证明一组对边平行，且另一组对边不平行（证明“不平行”可通过证明两直线的斜率不相等，或反证法排除平行四边形）。 （3） 直角梯形的判定 方法1：证明一个梯形有一个角是直角； 方法2：证明一个梯形的一条腰与底垂直。 （4） 等腰梯形的判定： 需先证明是梯形（一组对边平行），再满足下面任一条件即可： 两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等。 【知识点6梯形中位线】（拓展重点） (1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线（与三角形中位线类比，均为“连接中点的线段”，但所在图形不同）。 (2) 梯形中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半。 (3)应用：可快速计算梯形中位线长度，或通过中位线求两底之和、单一底的长度，也可结合梯形面积公式推导新的面积计算方式（面积=中位线×高）。 【知识点7梯形的面积公式】 通用公式：面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为S=½(a+b)h（a为上底，b为下底，h为高）； 拓展公式：若已知梯形中位线l，面积=中位线×高，即S=l·h（由中位线定理l=½(a+b)推导而来，计算更简便）。 【知识点8生活中的梯形实例及应用】 梯形在生活中应用广泛，其结构特点（稳定、受力均匀、节省材料）使其适配多种场景： ◆梯子：常见的家用梯子、工程梯子，侧面多为直角梯形，符合梯形“一组对边平行、一腰垂直”的特征。 ◆堤坝截面：水利工程中的堤坝，横截面通常设计为等腰梯形，上底窄、下底宽的结构可增强堤坝底部的稳定性，抵御水流冲击。 ◆台球桌边框：部分台球桌的边框截面为梯形，上底窄、下底宽，既保证边框的牢固性，又能让球撞击边框后按规律反弹，利用了梯形的平行底和对称特征（等腰梯形）。 ✔聚焦题型★提升能力 【题型1与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】．如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式1】．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【变式2】．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【题型2与三角形中位线有关的证明】 【例2】．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为(   ) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【变式1】．如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【变式2】．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【题型3三角形中位线的实际应用】 【例3】．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为 ． 【变式2】．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【题型4中点四边形】 【例4】．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【变式1】．已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ． 【变式2】．四边形，点E、F、G、H分别为边、、、的中点，于O，，． (1)求证：判定四边形为矩形． (2)求的长． 题型5（等腰）梯形的定义 【例5】．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【变式1】．如图，在梯形中，，，，直线为梯形的对称轴，为上一点，为上一点，那么的最小值为 ．    【变式2】．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【题型6直角梯形的定义】 【例6】．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 【变式1】．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【变式2】．如图，在梯形中，，，，．建立适当的直角坐标系并写出各个顶点的坐标． 【题型7等腰梯形的性质定理】 【例7】．对角线互相垂直平分的四边形是（    ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 【变式1】．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【变式2】．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【题型8等腰梯形的判定定理】 【例8】．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【变式2】．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积. ✍强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 2．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 5．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 7．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 8．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 10．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 11．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 12．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为 ． 13．如图，梯形中，，，，，则 ． 14．如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 15．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 16．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 三、解答题 17．在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 18．如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 19．尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． 20．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 21．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 22．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 23．已知：如图，在梯形中，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当平分时，求证：是等腰直角三角形． 24．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.5三角形的中位线、梯形寒假预习必备讲义 ☛预习内容速览 1. 课前预习★目标 2.基础知识★梳理归纳 3. 聚焦题型★提升能力 4.强化巩固★过关演练 ⛳课前预习★目标 ●理解三角形中位线的定义，能准确区分三角形的“中位线”与“中线”； ●初步运用中位线定理解决基础计算问题（如已知第三边长求中位线长，或已知中位线长求第三边长），掌握简单的应用思路。 ●掌握梯形的定义，明确梯形的核心特征，能区分梯形与平行四边形的异同。 ●理解梯形中位线的定义，初步了解梯形中位线定理，能进行简单的长度计算。 ●结合生活中的梯形实例（如梯子、堤坝截面），感受几何图形在生活中的应用，提升学习积极性。 ☘基础知识★梳理归纳 【知识点1】三角形中位线的定义 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【知识点2】三角形中位线的定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 【重点提醒】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系； （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形．因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的； （3）三角形的中位线不同于三角形的中线． 【知识点3梯形的定义】 （1）定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 【重点提醒】：平行的一组对边是核心特征，另一组对边不平行是与平行四边形的本质区别（平行四边形两组对边均平行），二者缺一不可。 （2） 梯形的相关概念： 上底与下底：平行的两条边称为底，较短的边叫上底，较长的边叫下底（按长度区分，而非位置，避免误以为“上面的是上底”）； 腰：不平行的两条边叫做梯形的腰。 高：从上底任意一点向对边（下底） 作垂线，垂线段的长度叫做梯形的高。梯形有无数条高，且所有高都相等。 【知识点3梯形的分类】 根据腰的特征和角的特点，梯形可分为三类： 分类 定义 核心特征 图示描述 直角梯形 有一个角是直角的梯形 1. 有两个相邻的直角 2. 一腰垂直于两底 另一腰为斜边 等腰梯形 两腰相等的梯形 1. 两腰相等 2. 同一底上的两个内角相等 3. 对角线相等 4. 是轴对称图形 普通梯形 只有一组对边平行的四边形 两腰不相等，无直角，上下底平行 一般梯形：两腰不相等，且没有直角的梯形（基础的梯形类型）。 直角梯形：有一个角是直角的梯形（一腰与底垂直，这条腰即为梯形的高）。 等腰梯形：两腰相等的梯形（高频考点）。 【知识点4特殊梯形（等腰梯形）的性质】 等腰梯形作为特殊梯形，除具备梯形的基本特征外，还有以下特有性质，可从边、角、对角线、对称性四个方面总结： 边：两腰相等，上底、下底平行且不相等。 角：同一底上的两个角相等，邻角互补（因两底平行，同旁内角互补）。 对角线：两条对角线长度相等（等腰梯形的重要判定依据）。 对称性：是轴对称图形，对称轴为经过两底中点的直线（只有一条对称轴，非中心对称图形）。 【知识点5梯形的判定方法】 （1） 一般梯形的判定 定义：证明一组对边平行，且另一组对边不平行（证明“不平行”可通过证明两直线的斜率不相等，或反证法排除平行四边形）。 （3） 直角梯形的判定 方法1：证明一个梯形有一个角是直角； 方法2：证明一个梯形的一条腰与底垂直。 （4） 等腰梯形的判定： 需先证明是梯形（一组对边平行），再满足下面任一条件即可： 两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等。 【知识点6梯形中位线】（拓展重点） (1)定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线（与三角形中位线类比，均为“连接中点的线段”，但所在图形不同）。 (2) 梯形中位线平行于两底，且长度等于两底和的一半。 (3)应用：可快速计算梯形中位线长度，或通过中位线求两底之和、单一底的长度，也可结合梯形面积公式推导新的面积计算方式（面积=中位线×高）。 【知识点7梯形的面积公式】 通用公式：面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为S=½(a+b)h（a为上底，b为下底，h为高）； 拓展公式：若已知梯形中位线l，面积=中位线×高，即S=l·h（由中位线定理l=½(a+b)推导而来，计算更简便）。 【知识点8生活中的梯形实例及应用】 梯形在生活中应用广泛，其结构特点（稳定、受力均匀、节省材料）使其适配多种场景： ◆梯子：常见的家用梯子、工程梯子，侧面多为直角梯形，符合梯形“一组对边平行、一腰垂直”的特征。 ◆堤坝截面：水利工程中的堤坝，横截面通常设计为等腰梯形，上底窄、下底宽的结构可增强堤坝底部的稳定性，抵御水流冲击。 ◆台球桌边框：部分台球桌的边框截面为梯形，上底窄、下底宽，既保证边框的牢固性，又能让球撞击边框后按规律反弹，利用了梯形的平行底和对称特征（等腰梯形）。 ✔聚焦题型★提升能力 【题型1与三角形中位线有关的求解问题】 【例1】．如图，在中，，．对角线、交于点O，E是内一点，且，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴在上， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【变式1】．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，又根据点是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 点是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 【变式2】．如图，的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E，P． (1)证明：是等腰三角形； (2)连接，若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由平分，可得，再由四边形是平行四边形，可得，故，从而，则，故可判断得解； （2）依据题意，由（1），结合，则，从而，又四边形是平行四边形，可得，进而是的中位线，故可得的长度，求出，进而计算可以得解． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：由（1）知是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， 点E为的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中位线，， ，， ， ， 【题型2与三角形中位线有关的证明】 【例2】．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为(   ) A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，涉及的知识点是三角形中位线平行且等于第三边的一半、矩形的判定与性质，解题方法是利用中位线定理证明四边形为矩形，再逐一判断即可． 【详解】解：如图所示： 连接四边形的对角线， 根据三角形中位线定理，且，且， 且， 四边形是平行四边形， 同理，且， ， ， 平行四边形是矩形， ， 即线段与互相平分且相等， 故选：B． 【变式1】．如图，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若四边形是矩形，则与满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，为边上中线，点E为的中点，点F在的延长线上，且，连接、． (1)依题意补全图形； (2)求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． （1）根据题意作； （2）根据直角三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，再根据邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵为边上中线， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为菱形． 【题型3三角形中位线的实际应用】 【例3】．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，利用中位线与第三边的长度关系求解． 【变式1】．如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连结和，并分别找出它们的中点M、N．若测得，则A、B两点的距离为 ． 【答案】/32米 【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半． 根据三角形的中位线等于第三边的一半，由此即可计算． 【详解】解：、分别是和的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【变式2】．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4中点四边形】 【例4】．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 【变式1】．已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．连接、交O，根据三角形的中位线定理推出，，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，证明平行四边形是矩形，根据等边三角形的判定和性质得到，根据勾股定理得到，即可得到，，进而根据矩形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、交于点O． ∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 【变式2】．四边形，点E、F、G、H分别为边、、、的中点，于O，，． (1)求证：判定四边形为矩形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查中点四边形，三角形的中位线定理，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定及矩形的判定进行证明． （1）首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可； （2）利用三角形的中位线性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E、F、G、H分别为边、、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴，，又， ∴． 题型5（等腰）梯形的定义 【例5】．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【变式1】．如图，在梯形中，，，，直线为梯形的对称轴，为上一点，为上一点，那么的最小值为 ．    【答案】3 【分析】此题考查了轴对称的性质和最短路径问题，等腰梯形的定义等知识．根据已知得到四边形为等腰梯形，得到，则当点P在和的交点，在C上时，最小，求出答案即可． 【详解】解：∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形， ∵直线为梯形的对称轴， ∴， 当点P在和的交点，在C上时，最小，最小值为， 故答案为：3． 【变式2】．如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 【题型6直角梯形的定义】 【例6】．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，平行四边形，直角梯形以及长方形的面积求解，熟练掌握面积公式是解决本题的关键． 根据图示可知甲乙丙三个部分的各个边长，再由对应面积公式分别求解面积判断选项即可． 【详解】解：由图示可知， 长方形的长为，宽为， ∴长方形菜地的面积是，D正确； 甲的部分为直角三角形，两条直角边分别为2和4， ∴甲的面积是，A正确； 乙的部分为平行四边形，底边和高都为4， ∴乙的面积是，B正确； 丙的部分为直角梯形，上底为，高为， ∵长方形的长为，乙是平行四边形， ∴直角梯形的下底为， ∴丙的面积是，C错误 ． 故选：C ． 【变式1】．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】．如图，在梯形中，，，，．建立适当的直角坐标系并写出各个顶点的坐标． 【答案】见解析；（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，过D作轴于E，根据矩形的性质和判定求出，再根据等腰三角形的性质可得，以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立坐标系求解即可． 【详解】解：过D作轴于E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴， ． 【题型7等腰梯形的性质定理】 【例7】．对角线互相垂直平分的四边形是（    ） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【分析】本题考查了四边形及特殊的四边形的性质，根据各个四边形的对角线的性质分别作出判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，不符合题意； B、等腰梯形的对角线相等但不一定垂直平分，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，符合题意； D、矩形的对角线相等且平分但不垂直，不符合题意． 故选：C． 【变式1】．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 【变式2】．如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 【题型8等腰梯形的判定定理】 【例8】．下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 【变式1】．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 【变式2】．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． ✍强化巩固★过关演练 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的两条对角线互相垂直平分 D．顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的判定和性质，三角形中位线定理，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质及判定条件逐一判断，即可作答． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项是正确的，不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故该选项是错误的，符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，故该选项是正确的，不符合题意； D、顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：B 2．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，若对角线，则四边形的对角线满足（　　）关系 A．互相平分 B．相等且互相平分 C．互相垂直平分 D．互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查中点四边形，根据三角形的中位线定理结合，推出四边形为菱形，根据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得出结果． 【详解】解：由题意和三角形的中位线定理可知：， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴四边形的对角线互相垂直平分； 故选C． 3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 4．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 5．如图，梯形中，，，，则为（　　） A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6 【答案】B 【分析】本题考查梯形的知识，平行线之间的距离，三角形的面积，关键是这些知识的熟练掌握及灵活运用．根据梯形的性质可得的面积的面积，进而同理即可解决问题． 【详解】解：梯形中， ， ∴的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积， 同理的面积， ∴的面积的面积， 故选：B． 6．如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（   ） A．75 B．100 C．105 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 8．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了轴对称的定义，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据四边形满足，结合每一个选项确定四边形的形状，判定是否满足有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，即可判断； 【详解】由题意知，四边形满足， 当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意； 当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意； 当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意； 当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题 9．如图，菱形的边长为，对角线，相交于点，，点在延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】（1）由菱形的性质，可得，，根据勾股定理，即可得线段的长； （2）取的中点，连接，可得，，可得，根据勾股定理，即可得线段的长． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为，对角线，相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：取的中点，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线，平行线的性质． 10．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由条件可证得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 11．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，则 ． 【答案】52 【分析】本题考查了三角形的中位线，熟记三角形的中位线平行且等于底边的一半是解题的关键． 根据是的中位线，即可作答． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：52． 12．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】5 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 13．如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 14．如图：中，，，将沿方向平移个单位得到，如图所示，，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】根据平移的性质可得，再根据梯形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 【详解】解：由平移的性质得，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题需要先画图，考查了等腰梯形的轴对称性，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先画图，过点作梯形对称轴，交于，交于，，，然后求得，，，然后即可求解； 【详解】解：过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，， 又∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 故答案为：． 16．已知在梯形中，，，，那么等于 度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 三、解答题 17．在中，E是的中点，相交于点F，，．连接交于点O，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． 由题意得是的中位线，推出，结合即可求证四边形为平行四边形；由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】解：∵E是的中点，， ∴是的中位线， ∴，， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 19．尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）； 方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）． 解：如图如图1，2所示． 20．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 21．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 22．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 23．已知：如图，在梯形中，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当平分时，求证：是等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由梯形，，可得，．证明．则．由，可得．进而可得． （2）由平分，可得．即，由梯形，，，可得．则．证明，则，由，可求，进而可得，进而结论得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵梯形，， ∴，． 又∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵梯形，，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等腰梯形的性质，平行线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定是解题的关键． 24．如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $