2026年寒假高一物理讲义：第1讲 生活中的圆周运动

第1讲　生活中的圆周运动 【知识提要】 1.水平面的圆周运动 2.竖直面的圆周运动 【必备知识】 知识点一　水平面圆周运动 一、火车转弯 (一)车轮构造 (二)临界速度 质量为m的火车转弯时，做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨道的倾角为θ，求火车速度多大时对轨道无侧向压力。 深度拓展： 质量为m的火车转弯时，做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨道宽L，高度差为h，求火车速度多大时对轨道侧向无压力。(图中θ很小） (1)火车转弯规定临界速度:； (2)火车转弯速度大于规定临界速度时：外侧轨道与轮之间有弹力； (3)火车转弯速度小于规定临界速度时：内侧轨道与轮之间有弹力。 思考与讨论： 高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度，说说这样设计是什么原因？ 二、水平面圆周运动的临界问题 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态． 1．常见的临界情况 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 2.常见圆盘模型 a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度： ； 临界条件： ①，； ②， 轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； 同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg-T=mAω22rA；隔离B：T+μmBg=mBω22rB 整体：μmAg+μmBg=mAω22rA+mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件 例1. 如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（　　） A．火车运动的圆周平面为图乙中的a B．当火车转弯时，火车实际转弯速度越小越好 C．当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力 D．当火车行驶的速率等于时，内、外侧铁轨对车轮的轮缘均无压力 【答案】C 【详解】A．火车运动的圆周平面为水平面，为图中的b，故A错误； D．由重力与支持力的合力提供向心力可得所以在该转弯处规定行驶的速度为 故D错误； C．由C项分析可知，当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，故C正确； B．若火车行驶的速度小于设计速度时，内侧铁轨对车轮的轮缘施加压力，速度越小，压力越大，内轨道和轮缘之间的磨损越严重，故B错误。故选C。 例2. (2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则(　　) A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C.陶屑只能分布在圆台边缘 D.陶屑只能分布在某一半径的圆内 【答案】D 【详解】　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，μ与ω均一定，故r与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆内，故A、B、C错误，D正确。 例3. 细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过(　　) A. B．2π C. D. 答案　D 解析　对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为θ，由几何关系可知R＝htan θ，受力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htan θ；当球即将离开水平桌面时，FN＝0，转速n有最大值，此时nm＝，故选D. 例4. 如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是。转台可绕过圆心的竖直轴以角速度逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为和。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则（　　）    A．当时，连接细线不会产生张力 B．当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小 C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B一定会和转台保持相对静止 D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动 【答案】BD 【详解】A．在B的静摩擦力达到最大时，连接细线刚要产生张力，对B有解得 可知当时，细线产生张力，故A错误； B．当从继续增大时，B所需向心力是A的两倍，由受力分析可知，A所受指向圆心的静摩擦力将减小，当A所受静摩擦力为0时，对B有对A有联立可得可知当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小，故B正确； CD．当两物块即将相对滑动时，对系统用牛顿第二定律，有解得若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，除摩擦力外，A、B所受的洛伦兹力的合力是从A指向B的，即有可知在的情况下，所解得的比小，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动，故C错误，D正确。故选BD。 知识点二　竖直面内圆周运动的临界问题 汽车过拱形桥 (一)凹形桥 思考与计算： 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，当汽车通过桥的最低点时，试画出汽车受力分析图，哪些力提供了向心力？桥对汽车的支持力多大？ (二)拱形桥 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，当汽车通过桥的最高点时，试画出汽车受力分析图，哪些力提供了向心力？桥对汽车的支持力多大？ 地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是0？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？ 竖直面两类模型对比 轻绳模型 (最高点无支撑) 轻杆模型 (最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力 示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学 方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界 特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论 分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 例5. 胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶，其中一段路面的水平观察视图如图所示，图中虚线是水平线，在保证安全行驶的情况下，若要尽量使胎压报警器不会超压报警，下列说法正确的是（    ） A．汽车在A处应增大行驶速度 B．汽车在B处应增大行驶速度 C．汽车在A、B处均应增大行驶速度 D．汽车在A、B处均应减小行驶速度 【答案】B 【详解】在A处，根据牛顿第二定律可得解得在A处，速度越大，轮胎受到的作用力越大，越容易超压报警。在B处，根据牛顿第二定律可得解得在B处，速度越大，轮胎受到的作用力越小，越不容易超压报警。因此若要尽量使胎压报警器不会超压报警，则汽车在A处应减小行驶速度，在B处应增大行驶速度。故选B。 例6. 飞飞老师心灵手巧，用生活中常见的细绳和塑料容器制作“水流星”模型。如图所示，球形容器中盛有质量为m的清水，然后使其在竖直平面内做半径为L的圆周运动（不考虑细绳和容器质量，重力加速度为g）。则下列说法正确的是（    ） A．“水流星”通过最高点时，绳子张力不可以为零 B．“水流星”通过最高点时，清水恰好不流出来的速度是0 C．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为 D．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为 【答案】D 【详解】AB．“水流星”通过最高点，当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律 解得所以“水流星”通过最高点时，绳子张可以为零；清水恰好不流出来的速度是，故AB错误； CD．假如“水流星”可在竖直面内以速度做匀速圆周运动，在最低点，根据牛顿第二定律得 解得在最高点，根据牛顿第二定律得解得则 故C错误，D正确。故选D。 如图所示，质量为、半径为的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为、。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小为（取）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A分析，根据牛顿第二定律有 可得，圆管对小球A的弹力为 ，方向向上 则小球A对圆管的弹力为 ，方向向下 对圆管分析，则有 解得，则小球B对圆管的弹力为 ，方向向上 则圆管对小球B的弹力为 ，方向向下 对小球B分析，有 解得，小球B的速度为 故选B。 知识点三　斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化． 物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R. 例7. (多选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体(可视为质点)与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是(　　) A．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 B．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 C．若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是1.0 rad/s D．若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是 rad/s 答案　BC 解析　当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 FN＝mgcos 30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误． （2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 课时精练 【基础强化】 1. 如图所示汽车以某一速度通过拱形桥最高点，已知拱形桥的半径为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．当一定时，汽车速度越大，对拱形桥的压力越大 B．当汽车速率恒定时，越大，汽车对拱形桥的压力越小 C．汽车能以顺利通过最高点 D．汽车能以顺利通过最高点 【答案】D 【详解】AB．汽车以某一速度通过拱形桥最高点，根据牛顿第二定律可得根据牛顿第三定律可得可知当一定时，汽车速度越大，对拱形桥的压力越小；当汽车速率恒定时，越大，汽车对拱形桥的压力越大；故AB错误； CD．根据当时，可得可知汽车能以顺利通过最高点，不能以顺利通过最高点，故C错误，D正确。故选D。 2. 如图所示，水平面内的圆盘以角速度绕中心轴匀速转动，在圆盘上放置材料相同、质量均为m的小物块P、Q，两物块随圆盘一起转动，到中心轴的距离分别为r和2r。下列说法正确的是（　　） A．物块P在运动的过程中，所受到的合力不变 B．物块Q的线速度大小是物块P的线速度大小的2倍 C．物块P和Q受到的摩擦力大小相同 D．物块Q在运动的过程中，摩擦力沿水平面与其运动方向相反 【答案】B 【详解】A．物块P在运动的过程中，所受到的合力大小不变，方向时刻发生变化，故A错误； B．小物块P、Q的角速度相等，根据可知物块Q的线速度大小是物块P的线速度大小的2倍，故B正确； C．根据，可知物块Q受到的摩擦力大小是物块P受到的摩擦力大小的2倍，故C错误； D．物块Q在运动的过程中，摩擦力提供向心力，则摩擦力方向总是指向圆心，故D错误。故选B。 3. 如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°.一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案　BC 解析　转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D错误． 4. 如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 答案　C 解析　球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg，可知水平转轴对杆的作用力为1.5mg，C正确，D错误． 【能力培优】 5. 如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上， ，，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（　　） A．当时，绳子张力等于0.9N B．当时，A、B开始在转台上滑动 C．当时，A受到摩擦力为0 D．当时，绳子张力为1N 【答案】C 【详解】A．当绳子刚好出现张力时，则对B分析可知 解得 当时，绳子张力等于0，选项A错误； C．当时，绳子张力等于0，此时A受到摩擦力为0，选项C正确； BD．当A、B刚要在转台上滑动时，则对B 对A 解得 当时，A、B开始在转台上滑动，当时，绳子张力为 选项BD错误。 故选C。 【知识回顾】 1、 水平面的圆周运动 1.请描述火车弯道轨道外轨高于内轨的作用 2.请分析以下匀速圆周运动的临界状态 2、 竖直面圆周运动 请阐述绳模型和杆模型在最高点最低点是的受力情况和需要注意的临界条件。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲 生活中的圆周运动 【知识提要】 1．水平面的圆周运动。 2．竖直面的圆周运动。 【必备知识】 知识点一 水平面圆周运动 一、火车转弯 1．车轮构造 2．临界速度 质量为m的火车转弯时，做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨道的倾角为θ，求火车速度多大时对轨道无侧向压力。 深度拓展： 质量为m的火车转弯时，做匀速圆周运动的轨道半径为r，轨道宽L，高度差为h，求火车速度多大时对轨道侧向无压力。（图中θ很小） （1）火车转弯规定临界速度：________________； （2）火车转弯速度大于规定临界速度时：_______轨道与轮之间有弹力； （3）火车转弯速度小于规定临界速度时：_______轨道与轮之间有弹力。 二、水平面圆周运动的临界问题 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1．常见的临界情况 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。 （2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等。 2．常见圆盘模型 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 a或b发生相对圆盘滑动的各自临界角速度：；。 临界条件： ①，；②，。 轻绳出现拉力，先达到B的临界角速度：； 同侧背离圆心，fAmax和fBmax指向圆心，一起相对圆盘滑动时， 临界条件： 隔离A：μmAg - T = mAω22rA；隔离B：T + μmBg = mBω22rB 整体：μmAg + μmBg = mAω22rA + mBω22rB AB相对圆盘滑动的临界条件。 例1．如图甲所示，在修筑铁路时，为了消除轮缘与铁轨间的挤压，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，设计适当的倾斜轨道，即两个轨道存在一定的高度差。如图乙所示，火车轨道在某转弯处其轨道平面倾角为θ，转弯半径为r，在该转弯处规定行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（ ） A．火车运动的圆周平面为图乙中的a B．当火车转弯时，火车实际转弯速度越小越好 C．当火车行驶的速率大于时，外侧铁轨对车轮的轮缘施加压力 D．当火车行驶的速率等于时，内、外侧铁轨对车轮的轮缘均无压力 例2．（2024·江苏卷·8）生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同（台面足够大），则（ ） A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小 C．陶屑只能分布在圆台边缘 D．陶屑只能分布在某一半径的圆内 例3．细绳一端系住一个质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重力加速度为g。若要小球不离开桌面，其转速不得超过（ ） A． B．2π C． D． 例4．如图所示，两个质量相同的小物块A、B（可视为质点），用一根长为的细线（不计质量）相连，放在绝缘的水平圆形转台的一条直径上，A、B与转台间的动摩擦因数都是。转台可绕过圆心的竖直轴以角速度逆时针转动（俯视），且A、B到转轴的距离分别为和。初始时，A、B间的连接细线恰好拉直但没有张力，转台的角速度极为缓慢地增大，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则（ ） A．当时，连接细线不会产生张力 B．当时，随着的缓慢增大，物块A所受的静摩擦力逐渐减小 C．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B一定会和转台保持相对静止 D．若A、B带有等量的正电荷，在空间中加上竖直向上的匀强磁场，当时，物块A、B已经与转台发生相对滑动 知识点二 竖直面内圆周运动的临界问题 汽车过拱形桥 1．凹形桥 思考与计算： 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，当汽车通过桥的最低点时，试画出汽车受力分析图，哪些力提供了向心力？桥对汽车的支持力多大？ 2．拱形桥 质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，当汽车通过桥的最高点时，试画出汽车受力分析图，哪些力提供了向心力？桥对汽车的支持力多大？ 地球可以看做一个巨大的拱形桥，桥面的半径就是地球的半径。会不会出现这样的情况：速度大到一定程度时，地面对车的支持力是0？这时驾驶员与座椅之间的压力是多少？驾驶员躯体各部分之间的压力是多少？他这时可能有什么感觉？ 竖直面两类模型对比 轻绳模型 （最高点无支撑） 轻杆模型 （最高点有支撑） 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 临界特征 讨论分析 例5．胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车轮胎胎压异常而引发的事故。一辆装有胎压报警器的载重汽车在高低不平的路面上行驶，其中一段路面的水平观察视图如图所示，图中虚线是水平线，在保证安全行驶的情况下，若要尽量使胎压报警器不会超压报警，下列说法正确的是（ ） A．汽车在A处应增大行驶速度 B．汽车在B处应增大行驶速度 C．汽车在A、B处均应增大行驶速度 D．汽车在A、B处均应减小行驶速度 例6．飞飞老师心灵手巧，用生活中常见的细绳和塑料容器制作“水流星”模型。如图所示，球形容器中盛有质量为m的清水，然后使其在竖直平面内做半径为L的圆周运动（不考虑细绳和容器质量，重力加速度为g）。则下列说法正确的是（ ） A．“水流星”通过最高点时，绳子张力不可以为零 B．“水流星”通过最高点时，清水恰好不流出来的速度是0 C．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为 D．假如“水流星”可在竖直面内做匀速圆周运动，则“水流星”通过最低点和最高点，细绳的张力差为 例7．如图所示，质量为、半径为的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为、。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小为（取）（ ） A． B． C． D． 知识点三 斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。 物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ - mgsin θ = mω2R。 例8．（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体（可视为质点）与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是（ ） A．小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大 B．小物体受到的摩擦力可能背离圆心 C．若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是1.0 rad/s D．若小物体与盘面间的动摩擦因数为，则ω的最大值是rad/s 例9．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 课时精练 【基础强化】 1．如图所示汽车以某一速度通过拱形桥最高点，已知拱形桥的半径为，重力加速度为，下列说法正确的是（ ） A．当一定时，汽车速度越大，对拱形桥的压力越大 B．当汽车速率恒定时，越大，汽车对拱形桥的压力越小 C．汽车能以顺利通过最高点 D．汽车能以顺利通过最高点 2．如图所示，水平面内的圆盘以角速度绕中心轴匀速转动，在圆盘上放置材料相同、质量均为m的小物块P、Q，两物块随圆盘一起转动，到中心轴的距离分别为r和2r。下列说法正确的是（ ） A．物块P在运动的过程中，所受到的合力不变 B．物块Q的线速度大小是物块P的线速度大小的2倍 C．物块P和Q受到的摩擦力大小相同 D．物块Q在运动的过程中，摩擦力沿水平面与其运动方向相反 3．如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ = 37°。一根长为l = 1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g = 10 m/s2，sin 37° = 0.6，不计空气阻力，则（ ） A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．小球可能只受拉力和重力 C．当ω =rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω = 2rad/s时，小球受重力、支持力和拉力 作用 4．如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B（均可视为质点），光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时（ ） A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg 【能力培优】 5．如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台上，，，绳长l = 1.5 m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取。以下分析正确的是（ ） A．当时，绳子张力等于0.9 N B．当时，A、B开始在转台上滑动 C．当时，A受到摩擦力为0 D．当时，绳子张力为1 N 【知识回顾】 1、 水平面的圆周运动 1．请描述火车弯道轨道外轨高于内轨的作用； 2．请分析以下匀速圆周运动的临界状态。 2、 竖直面圆周运动 请阐述绳模型和杆模型在最高点最低点是的受力情况和需要注意的临界条件。 $