2026年高二数学人教A版寒假作业4 直线与圆的方程综合训练

检测4直线与圆的方程能力卷_ 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 3．若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．相交 D．外切 5．已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 8．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 10．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线的倾斜角为 C．若，则 D．若，则 11．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为 ． 13．平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为 ． 14．已知两点（其中），若圆上总存在点使得，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知圆经过点. (1)求圆的半径和圆心的坐标； (2)若圆与圆相切，求. 16．已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 17．已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 18．已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 19．已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测4直线与圆的方程能力卷_ 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 3．若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．内含 C．相交 D．外切 5．已知直线的方程是，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．若关于，的方程组无解，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 7．已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 8．已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 10．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线的倾斜角为 C．若，则 D．若，则 11．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为 ． 13．平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为 ． 14．已知两点（其中），若圆上总存在点使得，则实数的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题,13+15+15+17+17,共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．已知圆经过点. (1)求圆的半径和圆心的坐标； (2)若圆与圆相切，求. 16．已知直线：，：，其中m为实数. (1)当，求实数m的值. (2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 17．已知圆经过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆交于、两点，求的面积． 18．已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 19．已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A B B B C ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 2．B 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】因为，圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 因为直线和圆相切，所以，解得或. 故选：B 3．A 【分析】先求圆心，根据直线经过圆心可得答案. 【详解】圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆心，可得，即. 故选：A 4．A 【分析】根据圆心距与半径和的关系判断两圆的位置关系. 【详解】因为，；，. 则，， 所以， 所以圆与圆外离. 故选：A 5．B 【分析】由方程可得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】由，可得直线的斜率，设该直线的倾斜角为，， 所以，所以. 故选：B. 6．B 【分析】由题知直线与直线平行，进而得，再根据配方求最值即可. 【详解】因为关于，的方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，即， 所以,即的最小值为. 故选：B 7．B 【分析】由知点P的轨迹方程是以 AB 为直径的圆，将问题等价于圆与圆：有公共点即可求解. 【详解】因为，所以， 因此点 P 必在以 AB 为直径的圆上，圆心为，半径为 ， 因为圆：圆心为 ，半径为， 所以两圆的圆心距为 问题等价于圆与圆：有公共点， 所以，即，解得. 则的最小值为2. 故选：B. 8．C 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得. 故选：C. 9．ACD 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率和倾斜角，再分别计算它在轴上的截距、原点到直线的距离，以及与坐标轴围成的三角形面积，最后逐一判断选项的正确性. 【详解】选项A：直线可化为，斜率，因为且，所以倾斜角，A正确； 选项B：令，得，所以截距是，B错误； 选项C：原点到直线的距离公式：，C正确； 选项D：直线与轴交点，与轴交点，则，D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】直线化简得到，则直线过定点，故A正确；直线的斜率为 ，所以倾斜角为，故B 错误； 若，则两直线斜率乘积为，列方程求解得到，所以故C正确；若，则两直线斜率相等为，列方程求解得到，故D正确. 【详解】直线，化简得到， 令，所以，所以直线过定点，故A正确； 直线的斜率为 ，对应倾斜角为，故B 错误； 若，则两直线斜率乘积为，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以，所以，故C正确. 若，则两直线斜率相等，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． 12． 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 13．4 【分析】由题意建立平面直角坐标系，根据角平分线性质可求出点C，D在以为圆心，半径为2的圆上，由此可求得答案. 【详解】由可知E点在线段上，且 结合，知； 以点E为坐标原点，以直线为x轴，过点E作垂线为y轴，如图建立平面直角坐标系， 则， 由于CE是的角平分线，故，即， 设，则， 化简得，即点C在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 同理可得点D也在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 则当位于圆的直径的两端时，线段取到最大值，最大值为4， 故答案为：4 14． 【分析】设，利用向量垂直可得，由圆上一点到圆外定点距离的范围可得的范围. 【详解】设，由， ， 从而，所以， 又因为，所以． 即的取值可看作到原点的距离， 由于，圆的半径， 则圆上一点到圆外一点距离的范围是， 即，解得或． 故答案为：． 15．(1)圆的半径为2，圆心的坐标为. (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求圆的一般方程，再利用圆的标准方程求圆心和半径即可； （2）利用两圆内切与外切得到圆心距与两圆半径的关系，从而可得圆的半径. 【详解】（1）设圆. 由题意得，解得， 所以圆，配方得圆. 故圆的半径为2，圆心的坐标为. （2）由题意得圆的半径为，圆心的坐标为， 由两点间距离公式可得， 当圆与圆内切时，，解得， 当圆与圆外切时，，解得， 所以或. 16．(1) (2). 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）∵， ， 解得 ; （2）当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 17．(1) (2) 【分析】（1）解法一：将线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； 解法二：设圆心为，根据，结合平面内两点间的距离公式可得出关于的方程，解出的值，可得出圆心的坐标，可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解法一：因为、，所以线段的中点坐标为，且轴， 所以的垂直平分线为． 由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上也在直线上， 联立，解得，所以圆心的坐标为． 圆的半径为， 所以，圆的标准方程为． 解法二：设圆心的坐标为， 因为圆经过、两点，所以， 可得，解得，故圆心为， 所以， 则圆的方程为． （2）圆心到直线的距离为， 故，所以． 故的面积为. 18．(1)或 (2) 【分析】（1）结合题意对直线斜率是否存在进行讨论，再结合直线与圆相切的性质建立方程，求解参数，进而得到直线方程即可. （2）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合勾股定理求出半径，即可得出答案. 【详解】（1）若，，则圆的方程为， 而直线过点，且与圆C相切，则讨论直线的斜率， 当的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为， 则直线方程为，化简得， 由题意得圆心，，而直线与圆相切，则， 由点到直线的距离公式得， 则，解得，得到直线方程为， 整理可得直线方程为. （2）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得，可得圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 由点到直线的距离公式得到直线的距离如下， 为，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 故圆的方程为. 19．(1)或. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $