第2章 相交线与平行线练习卷（基础篇）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师版七年级下册第2章 相交线与平行线练习卷（基础篇） 一．选择题（共19小题） 1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　） A．3 B．4.8 C．5 D．6 2．如图，直线a∥b，直角△ABC的直角顶点B在直线b上，若∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　） A．132° B．134° C．136° D．138° 4．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．下列说法不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 6．给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作这点到直线的距离． 其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 9．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 10．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（　　） A．10° B．15° C．18° D．30° 11．平面内三条直线的交点个数可能有（　　） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 12．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 13．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　） A．122° B．151° C．116° D．97° 14．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1+∠2＝（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 15．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（　　） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 16．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3+∠4＝180° 17．下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若AB＝BC，则点B为线段AC的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 18．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 19．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．48° B．58° C．60° D．69° 二．填空题（共2小题） 20．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝　 　 度． 21．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝　 　 ． 三．解答题（共14小题） 22．阅读理解，补全证明过程及推理依据． 如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：∠A＝∠F． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠2＝∠DGF（　 　 ）， ∴∠1＝∠DGE（等量代换）． ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）． ∴∠3+∠　 　 ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠4+∠C＝180°（等量代换）． ∴　 　 ∥　 　 （同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠A＝∠F（　 　 ）． 23．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由． 解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　 　 ）， ∠AGC+∠AGD＝180°（ 　 　 ）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 　 　 ）． 因为EA平分∠BAG， 所以∠1 　 　 （ 　 　 ）． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2 　 　 ， 得∠1＝∠2（ 　 　 ）， 所以AE∥GF（ 　 　 ）． 24．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．求证：DG∥BA． 25．按要求完成下列证明： 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 求证：DE∥BC． 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+　 　 ＝90°（　 　 ）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴　 　 ＝∠2（　 　 ）． ∴DE∥BC（　 　 ）． 26．如图，已知点E、F在直线AB上，点N在线段CD上，ED与FN交于点M，∠C＝∠1，∠2＝∠3． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠D＝47°，∠EMF＝80°，求∠AEP的度数． 27．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明： ∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（　 　 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（　 　 ）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （等量代换）． ∵∠1＝∠3（　 　 ）， ∴∠2＝∠　 　 （　 　 ）． ∴AB∥DC（　 　 ）． 28．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 29．填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC． 理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 　 　 ）． ∴AD∥EG（ 　 　 ）． ∴∠1＝∠2（ 　 　 ）， ∠E＝∠3（ 　 　 ）． 又∵∠E＝∠1（ 　 　 ）， ∴∠2＝∠3（ 　 　 ）． ∴AD平分∠BAC（ 　 　 ）． 30．已知如图1，线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC， （1）请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （2）若点P在图2的位置时，请探索∠APC与∠A、∠C之间的关系，并说明理由． （3）若点P的位置如图3和图4，请分别写出图3和图4中∠APC与∠A、∠C之间的关系． 31．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由． 32．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 33．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 　 　 ）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　 ）， ∴∠　 　 ＝∠　 　 （等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　 ）， ∴∠2＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）． 34．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 35．如图所示，点B，E分别在AC，DF上，BD，CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F． 参考答案与试题解析 一．选择题（共19小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B C A B D B B B D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B B A B C D C D 一．选择题（共19小题） 1．【分析】根据垂线段最短可得当PC⊥AB时，线段PC的值最小，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【解答】解：由条件可得， 由垂线段最短可知，当PC⊥AB时，线段PC的值最小， ∴此时有， ∴此时PC＝4.8， 即线段PC的最小值为4.8． 故选：B． 2．【分析】根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：如图， ∵a∥b， ∴∠1＝∠ACD＝90°+∠2＝110°， ∴∠2＝110°﹣90°＝20°， 故选：A． 3．【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案． 【解答】解： 过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA， ∵∠C＝44°，∠AEC为直角， ∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°， ∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°， 故选：B． 4．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可． 【解答】解：∵直尺的两边平行，∠1＝20°， ∴∠3＝∠1＝20°， ∴∠2＝45°﹣20°＝25°． 故选：C． 5．【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误． B、C、D正确． 故选：A． 6．【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断． 【解答】解：（1）同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误； （2）强调了在平面内，正确； （3）不符合对顶角的定义，错误； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度． 故选：B． 7．【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确； 故选：D． 8．【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断． 【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b； 当∠4＝∠5时，a∥b； 当∠2+∠4＝180°时，a∥b． 故选：B． 9．【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∠2＝∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意； C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：B． 10．【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD＝∠EDF＝45°， ∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°． 故选：B． 11．【分析】根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【解答】解：如图所示， 分别有0个交点，1个交点，2个交点，3个交点， ∴交点个数可能有0个或1个或2个或3个． 故选：D． 12．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°， ∵a∥b，∠DCB＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 故选：B． 13．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝58°， ∴∠EFD＝∠1＝58°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠GFD∠EFD58°＝29°， ∵AB∥CD， ∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°． 故选：B． 14．【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算即可得解． 【解答】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线， ∴∠3＝∠1，∠4＝∠2， ∵l1∥l2， ∴AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD＝180°， ∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°， ∴∠1+∠2＝30°． 故选：A． 15．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行分析即可． 【解答】解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6， 故选：B． 16．【分析】直接用平行线的判定直接判断． 【解答】解：A、∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角，∴∠1＝∠2，可以得到a∥b，∴不符合题意， B、∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角，∴∠2＝∠3，可以得到a∥b，∴不符合题意， C、∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角，∴∠3＝∠5，不能得到a∥b，∴符合题意， D、∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角，∴∠3+∠4＝180°，可以得到a∥b，∴不符合题意， 故选：C． 17．【分析】逐一判断各选项的正确性，注意细节条件是解题的关键． 【解答】解：根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质逐项分析判断如下： A选项：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面， ∴A错误，不符合题意； B选项：∵点B可能不在线段AC上，如等腰三角形中AB＝BC，但B不是AC中点， ∴B错误，不符合题意； C选项：∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身， ∴C错误，不符合题意； D选项：∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 18．【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 19．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【解答】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2+∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 二．填空题（共2小题） 20．【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF， 又由CF∥DE，所以∠CDE＝∠DCF． 【解答】解：过点C作CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC＝180°， ∴∠BCF＝60°， ∴∠DCF＝20°， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°． 故答案为：20． 21．【分析】先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3＝∠1＝40°，再根据平行线的判定，由∠α＝∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再把∠1＝40°代入计算即可． 【解答】解：如图， ∵l1∥l2， ∴∠3＝∠1＝40°， ∵∠α＝∠β， ∴AB∥CD， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°． 故答案为140°． 三．解答题（共14小题） 22．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠2＝∠DGF（对顶角相等）， ∴∠1＝∠DGE（等量代换）． ∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）． ∴∠3+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠4+∠C＝180°（等量代换）． ∴DF∥AC（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；BD；CE；同位角相等，两直线平行；C；DF；AC；两直线平行，内错角相等． 23．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF． 【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义）， 所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（角平分线的定义）， 因为FG平分∠AGC， 所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行． 24．【分析】首先证明AD∥EF，再根据平行线的性质可得∠1＝∠BAD，再由∠1＝∠2，可得∠2＝∠BAD，根据内错角相等，两直线平行可得DG∥BA． 【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFB＝∠ADB＝90°， ∴AD∥EF， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAD， ∴AB∥DG． 25．【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案． 【解答】证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）． ∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 26．【分析】（1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出∠BEC的度数，根据对顶角相等得到∠AEP的度数即可． 【解答】（1）证明：∵∠2＝∠3， ∴CE∥NF， ∴∠C＝∠FND， 又∵∠C＝∠1， ∴∠FND＝∠1， ∴AB∥CD． （2）解：∵∠D＝47°，AB∥CD，∠EMF＝80°， ∴∠BED＝∠D＝47°，∠2＝EMF＝∠3＝80°， ∴∠BEC＝80°+47°＝127°， ∴∠AEP＝∠BEC＝127°． 27．【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决． 【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（角平分线的定义）， ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行． 28．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 29．【分析】由垂直可证明AD∥EG，由平行线的性质可得到∠1＝∠2＝∠3＝∠E，可证得结论，据此填空即可． 【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知）， ∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）， ∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行 ）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， ∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠E＝∠1（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义． 30．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，即可求解； （3）图3中，过点P作PE∥CD，图4中，过点P作作PE∥AB，分别利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【解答】解：（1）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠APC＝∠APE+∠EPC， ∴∠APC＝∠A+∠C， （2）如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°， ∵AB∥CD ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°， ∴∠APC+∠A+∠C＝360°， ∴∠APC+（∠A+∠C）＝360°； （3）图3中：∠APC+∠A﹣∠C＝180°，图4中：∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°， 理由如下：过点P作PE∥CD， ∴∠C＝∠EPC， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB， ∴∠A+∠APE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°， ∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°， ∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°； 如图：过点P作PE∥AB， ∴∠A＝∠APE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠C+∠EPC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°， ∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°， ∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°． 31．【分析】首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC，得出两角相等． 【解答】解：∠AED＝∠ACB． 理由：∵∠1+∠4＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知）． ∴∠2＝∠4． ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）． ∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3＝∠B（已知）， ∴∠B＝∠ADE（等量代换）． ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）． 32．【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD＝∠1，从而可求得∠BAD+∠2＝180°，即可判断； （2）由题意可求得∠1＝38°，再由角平分线的定义可得∠CDG＝∠1＝38°，再利用平行线的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 33．【分析】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 34．【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA． （2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数． 【解答】解：（1）GD∥CA． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴GD∥CA； （2）∵GD∥CA， ∴∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠BDG＝∠2＝40°， ∵GD∥CA， ∴∠A＝∠BDG＝40°． 35．【分析】根据对顶角的性质得到BD∥CE的条件，然后根据平行线的性质得到∠B＝∠C，已知∠C＝∠D，则得到满足AB∥EF的条件，再根据两直线平行，内错角相等得到∠A＝∠F． 【解答】证明：∵∠2＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴BD∥CE， ∴∠C＝∠ABD； 又∵∠C＝∠D， ∴∠D＝∠ABD， ∴AB∥EF， ∴∠A＝∠F. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $