6.5.1直线与平面的垂直第1课时课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

5.1 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面垂直的性质 §5 垂直关系 1 【学习目标】 1.借助于长方体模型,通过直观感知,了解直线与平面垂直的关系. 2.理解直线与平面垂直的定义以及直线与平面夹角的概念. 3.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理. 4.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 2 知识点一 直线与平面垂直 定义 一般地，如果直线与平面 内的__________直线都垂 直,那么称直线与平面 垂直 记法 ______ 有关概念 直线称为平面 的______,平面 称为直线 的______， 它们唯一的公共点 称为______ 任何一条 垂线 垂面 垂足 图示 _____________________________________________ 性质 过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且 只有一个平面与一条直线垂直 3 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）如果一条直线与一个平面不垂直，那么它与平面内任何一条直 线都不垂直.( ) × （2）如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都 垂直.( ) √ 4 1.直线与平面垂直概念的理解 （1）定义中强调的是垂直于平面内的任意一条直线（即所有直线）, 而不能用垂直于平面内的无数条直线来代替. （2）若一条直线与一个平面内的一条直线不垂直, 则这条直线就一定不 与这个平面垂直. （3）直线与平面垂直的定义既可用作直线与平面垂直的判定,又可作为 直线与平面垂直的性质. 5 探究点一 直线与平面垂直的定义 例1 下列说法正确的是______（填序号）. ①若直线与平面 内的一条直线垂直，则 ； ②若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线； ③若直线不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直； ④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条. 对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”与 “直线垂直于平面内的无数条直线”不是一回事. 6 知识点二 直线和平面垂直的性质定理 性质1 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 ______于同一个 平面的两条直线 ______ _________________________________________________ 垂直 平行 性质2 文字语言 图形语言 符号语言 如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也______于这个平面． _________________________________________________ 垂直 l m 7 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直.( ) √ （2）过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.( ) √ （3）垂直于同一条直线的两个平面平行.( ) √ 8 直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系 例 如图,在多面体中,四边形为正方形, 平面, 平面 . 求证:平面平面 . 若线面垂直,则线线平行 9 知识点三 直线与平面的夹角 1.有关概念 斜线 一条直线与平面 ______,但不与这个平 面______，这条直线称为这个平面的斜线 __________________________________________________ 斜足 斜线和平面的_______称为斜足 投影 过斜线上斜足以外的一点 向平面作 ______，过垂足和斜足的直线 称为 斜线在这个平面上的投影 相交 垂直 垂线 10 2.直线与平面的夹角 定义：平面的一条斜线与它在平面上的______所成的锐角，叫作这 条直线与这个平面的夹角. 规定：一条直线垂直于平面，就说它们的夹角是______；一条直线 与平面平行，或在平面内，就说它们的夹角是____. 范围：直线与平面的夹角 的取值范围是________. 投影 直角 11 1.斜线与平面所成的角是指: 斜线和它在平面上的射影所成的锐角 2. 一条直线与平面所成的角的取值范围是 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）平面的一条斜线与平面的夹角的取值范围是 .( ) × （2）平面的一条斜线与平面内一条直线的夹角叫作这条直线与这个 平面的夹角.( ) × （1）求与平面 的夹角； 例3 如图，在正方体中， 平面 . 探究点三 直线与平面的夹角 （2）求与平面 的夹角. 14 (2) 设交于点，连接 ，如图. 平面 ， 就是与平面 的夹角， 设正方体的棱长为1， 则，. 又 ，， 又 ， ， 与平面的夹角是 . （2）求与平面 的夹角. 15 变式 如图，在正方体中，为的中点， 为正 方形的中心，则直线与侧面 夹角的正切值是_ __. 16 ［素养小结］ 求斜线与平面的夹角的一般步骤: （1）过斜线上一点作与平面垂直的直线; （2）垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的投影,斜线与 其投影所成的锐角即为所求的角; （3）把该角放在某个三角形中求解. 17 B 2 ［素养小结］ 证明两直线平行的方法: （1）平面几何知识:没有公共点、中位线、平行四边形、线段对应成比例 （2）基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. （3）线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线 的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. （4）面面平行的性质2定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个 平面相交,那么两条交线平行. （5）线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. 19 （3）在三棱锥 中,有下列结论: ①若,则点在平面 内的投影为 的外心; ②若点到,,的距离相等,则点在平面内的投影为 的内心; ③若,,则点在平面内的投影为 的垂心. 20 3.确定点（或线）在平面内投影位置的常用方法 （1）如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在平 面内的投影在这个角的平分线所在直线上. （2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线, 如果斜线与这个角的 两边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的投影在这个角的平分线所在 直线上. 21 $