2.1不等式及其性质同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2.1不等式及其性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．若，则下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，过点的直线l经过第一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．设，则不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式的解集是全体数的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程组，其中，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知实数，满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 12．如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做 ．像a≠2这样的式子也叫做不等式． 使不等式成立的未知数的值叫做 ． 14．饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是 ． 15．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为 16．命题“如果，那么”是 命题．（填“真”或“假”） 17．已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）． 三、解答题 18．已知，试比较与a的大小． 19．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式，并说出每次变形的依据． (1) (2) (3) (4) 20．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 21．阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 22．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 23．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 24．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题． 【问题提出】比较与（，）的大小， 【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值． (1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”） ______；______；______ (2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，． 猜想证明过程如下： =… 请补全上述证明过程； (3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？ 《2.1不等式及其性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C D C C C D A 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 由，得，故该选项正确，符合题意； B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； C. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；     D. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质：加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A．若，则，故选项A成立，符合题意； B．若，则，故选项B不成立，不符合题意； C．若，则，故选项C不成立，不符合题意； D．若，则，故选项D不成立，不符合题意； 故选：A． 3．D 【分析】设出一次函数解析式为，根据图象经过的象限确定，把代入解析式，得到用m表示的函数关系式，把三个点代入解析式，判断各个选项是否正确． 【详解】解：设直线l的解析式为y＝mx+n， 由于直线l经过第一、二、三象限， 所以． 由于点在直线l上， 所以，即， 所以一次函数解析式为：， 当时，， ∵， ∴， 故选项B不合题意； 当时，， ∵， ∴， 故选项C不合题意， ∴，即， 故选项A不合题意， 当时，， 即， 因为．所以， 即， 故选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质以及不等式的性质，利用不等式的性质是解决本题的关键． 4．C 【分析】根据不等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去一个相同的数，不等式仍然成立；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变符号；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式的符号改变． 5．D 【分析】根据不等式的性质，分别求各个不等式的解集即可． 【详解】A. ，解得，故该选项不符合题意； B. ，解得，故该选项不符合题意； C. ，解得，故该选项不符合题意； D. ，解得是全体实数，故该选项符合题意；． 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若，根据不等式的性质①，两边同时加3得，，原变形成立，故本选项不符合题意； B．若，根据不等式的性质①两边同时减4得，，原变形成立，故本选项不符合题意； C．若，根据不等式的性质③两边同时乘得，，不等号的方向改变，原变形不成立，故本选项符合题意； D．若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式， 所以满足条件的只有C符合题意． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了不等式的性质，解二元一次方程组．解方程组得，①把代入求得，，即可判断；②把代入求得，，即可判断；③当时，求得，则，即即可判断．④将代入，结合可判断得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ①把代入求得， 此时，， 即，是方程的解，故①正确； ②当时，，， ∴x，y的值互为相反数；故②正确； ③当时，，解得， ∴， ∴，即；故③正确； ④当时，且， 解得，与矛盾，则④错误． 综上可知，正确的是①②③，共3个， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 若，满足，则，故选项B错误，不符合题意， 故选：D． 10．A 【分析】根据数轴可以得到a、b的正负和范围，利用不等式的性质，即可得到哪个选项是正确的． 【详解】解；由数轴可得， ，，，， ∵，，∴，故选项A正确； ∵，∴，则，故选项B错误； ∵，∴，故选项C错误； ∵，，∴，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解答． 11．C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 12．B 【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：A、如果，那么，故此选项不正确，不符合题意； B、如果，那么，故此选项正确，符合题意； C、如果，那么，故此选项错误，不符合题意； D、如果，那么不能确定，故此选项错误，不符合题意， 故选：B． 13． 不等式 不等式的解 【解析】略 14．脂肪含量不超过 【分析】本题考查了不等式在生活中的应用；根据不等式的含义即可完成． 【详解】解：“脂肪含量”表示：脂肪含量不超过； 故答案为：脂肪含量不超过． 15． 【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出不等式，根据已知表示出两数a，b的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 16．真 【分析】根据不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：若，那么， ∴命题“如果，那么”是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质和判断命题真假，熟知不等式的性质是解题的关键． 17．④ 【解析】略 18． 【分析】比较与a的大小，可以利用不等式的基本性质，也可以利用数轴，直接得出与a的大小． 【详解】解法一  ∵ （已知）， ∴（不等式的基本性质3）． 解法二  在数轴上分别表示和a的点，如图 位于a的左边，所以． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）先移项，再合并； （2）不等式的两边都乘以； （3）先移项，再合并； （4）先移项，再不等式的两边都乘以． 【详解】（1）解：∵， ∴（不等式的基本性质1）， ∴（合并同类项）； （2）解：∵， ∴（不等式的基本性质2）； （3）解：∵， ∴（不等式的基本性质1）， ∴（合并同类项）； （4）解：∵， ∴（不等式的基本性质1）， ∴（不等式的基本性质3）． 20．(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 22．（1）；；；（2） 【分析】 本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提． （1）根据不等式的性质逐项进行判断即可； （2）将两个式子作差计算，即可得到结论． 【详解】 解：（1）如果，那么， 如果，那么， 如果，那么； （2）， ∴， 即． 23．(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 24．(1)>；；= (2)≥，=；证明见解析 (3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可； （2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明； （3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论． 【详解】（1）解：，， ∵，∴， ∴； =9，， ∵，∴， ∴； =14，， ∴=； 故答案为：；；=； （2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，． 证明： ∵ ， ∴≥； 故答案为：≥，=； （3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米， 依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24， ∵3x＞0，4y＞0， ∴3x+4y≥2， 即24≥2， 整理得：xy≤12， 即S≤12， ∴当3x=4y时Smax=12， 此时x=4，y=3， 即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $