6.3 向心加速度 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

6.3向心加速度 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册 学号： 班级： 姓名： 【学习目标】 1. 理解向心加速度的概念． 2. 知道向心加速度和线速度、角速度的关系式． 3. 能够运用向心加速度公式求解有关问题． 【活动方案】 1. 考察下面两个圆周运动实例，回答有关问题． 甲　　　　　　　　　　　　　乙 如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动． (1)在做匀速圆周运动的过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？ (2)地球受到的力沿什么方向？小球受到的合力沿什么方向？ 2. 理解向心加速度及其方向的特点． (1)物体做匀速圆周运动时，速度方向不断改变，说明一定有加速度． (2)做匀速圆周运动的物体，所受合力的方向总是　　　　，根据牛顿第二定律，其加速度的方向一定　　　　．这个加速度称为　　　　　　　　． 阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的方向”部分，体会微元法的思维特点． (3)做匀速圆周运动的物体，其向心加速度恒定不变吗？ (4)我们知道，加速度是用来描述速度变化快慢的物理量，那么向心加速度又有怎样的物理意义呢？ 1. 根据牛顿第二定律和向心力的表达式，可得向心加速度的表达式：an＝　　　　＝　　　　＝　　　　＝　　　　． 阅读教材“拓展学习：推导向心加速度公式”中的“向心加速度的大小”部分，并合上教材，尝试自己再推导一遍． 2. 有人说：根据an＝ 可知，向心加速度与半径成反比；根据an＝ω2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的．你认为呢？ 3. 自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、B、C，如图所示．其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”；哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释． 1. 如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图线，下列说法中正确的是(　　) A. 甲球线速度大小保持不变 B. 乙球线速度大小保持不变 C. 甲球角速度大小保持不变 D. 乙球角速度大小与半径成正比 2. 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的 .当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？ 3. 如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆．当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度 an的大小为多少？通过计算证明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω. 拓展：(1)如图所示，两根长度不同的轻细线下分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，分析两球的相对位置关系． 总结：若两圆周摆摆高相同，这两摆的　　　　、　　　　相同． (2)据史料记载，拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代小型拨浪鼓已成为儿童玩具．现有一拨浪鼓上分别系有长度不等的两根轻绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上．现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，稳定两球在水平面内做周期相同的匀速圆周运动．下列各图中两球的位置关系正确的是（图中轻绳与竖直方向的夹角α<θ<β）(　　) A B C D 【检测反馈】 1. 关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是(　　) A. 与线速度方向始终相同　 B. 与线速度方向始终相反 C. 始终指向圆心　 D. 始终保持不变 2. 下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A. 向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B. 向心加速度描述线速度方向变化的快慢 C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 3. 一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道半径为R，向心加速度为a，则(　　) A. 小球相等时间内的位移相同　 B. 小球的线速度大小为Ra C. 小球在时间t内通过的路程为 　 D. 小球做圆周运动的周期为2π 4. 如图所示为皮带传动装置，OA＝O′C＝r，O′B＝2r，转动时皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的线速度vA、vB、vC，角速度ωA、ωB、ωC，向心加速度aA、aB、aC的大小关系是(　　) A. ωB＝ωC>ωA B. vA＝vB>vC C. aA＝aB>aC D. aC>aB>aA （第4题） （第6题） 5. 做匀速圆周运动的两物体甲和乙质量相等，它们的向心加速度分别为a1和a2，轨道半径分别为R1和R2，且a1>a2、R1>R2，下列判断正确的是(　　) A. 甲的线速度大于乙的线速度 B. 甲的角速度大于乙的角速度 C. 甲的周期小于乙的周期 D. 甲的向心力小于乙的向心力 6. 天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2).设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　) A. 两球运动的周期相等 B. 两球的向心加速度大小相等 C. A、B两球的线速度之比等于sin α∶sin θ D. A、B两球的质量之比等于cos θ∶cos α 7. A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，它们的向心加速度之比是多少？ 8. 如图所示，将小球穿在硬杆上，硬杆与竖直轴线OO′的夹角为53°，使硬杆绕OO′匀速转动，此时小球相对于硬杆静止在某一位置上，且与硬杆之间没有摩擦，小球质量为0.1 kg，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2.求： (1)杆对小球的弹力大小； (2)小球做圆周运动的角速度ω与其离O点距离x的关系式． 9. 游乐场里的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由钢丝绳竖直悬吊在半空，绳到转轴的距离为r.秋千匀速转动时，钢丝绳与竖直方向成某一角度θ，其简化模型如图所示．已知钢丝绳的长度为l，座椅质量为m，大小忽略不计．重力加速度为g，不计空气阻力，求： (1)钢丝绳所受拉力F的大小； (2)秋千匀速转动的角速度ω； (3)若要使钢丝绳与竖直方向的夹角θ增大，可采取哪些方法？（只要答对一种即可） 10. 根据a＝，Δv的方向即为Δt时间内平均加速度的方向，当Δt趋近于0时，Δv的方向即为某时刻瞬时加速度的方向．我们可以通过观察不断缩小的时间段内的平均加速度方向的方法，来逼近某点的瞬时加速度方向．图中圆弧是某一质点绕O点沿顺时针方向做匀速圆周运动的轨迹，若质点在Δt时间内从A点经过一段劣弧运动到B点． (1)请用铅笔画出质点从A点起在时间t内速度变化量Δv的方向； (2)请用铅笔画出质点经过A点时瞬时加速度aA的方向； (3)根据a＝，证明匀速圆周运动的向心加速度an＝，其中v为线速度，r为圆运动半径． 【参考答案】 【活动方案】 活动一： 1. (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用． (2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心；小球受到的合力方向沿半径指向圆心． 2. (2)指向圆心　指向圆心　向心加速度 (3)由于向心加速度方向总是指向圆心，而圆周上不同位置指向圆心的方向是不同的，因而向心加速度的方向不断改变，不恒定． (4)向心加速度描述的是线速度变化的快慢，由于向心加速度方向指向圆心，线速度方向沿切线方向，两者相互垂直，因而向心加速度只描述线速度的方向变化的快慢，不表示线速度的大小变化的快慢． 活动二： 1. 　ω2r　r　ωv 2. 不矛盾．说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下，说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾． 3. B、C两点向心加速度适用于“向心加速度与半径成正比”，A、B两点向心加速度适用于“向心加速度与半径成反比”．因为B、C两点属于同轴转动，角速度相等，ωB＝ωC，根据an＝ω2r，又rB<rC，所以anB<anC；A、B两点在传送带上，两点线速度相等，vA＝vB，根据an＝，又rA>rB，所以anA<anB. 活动三： 1. A　从图像知，对甲：a与R成反比，由a＝ 知，当v一定时，a∝，故甲球线速度大小不变；对乙：a与R成正比，由a＝ω2R知，当ω一定时，a∝R，故乙球角速度一定．A正确． 2. 同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP.由向心加速度公式an＝ω2r，得 ＝，故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2；又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝，得 ＝，故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2. 3. 对小球由牛顿第二定律得mg tan θ＝man， an＝g tan θ. an＝rω2，r＝l sin θ， 解得cos θ＝. 故ω增大，cos θ减小，θ增大． 拓展：(1)由牛顿第二定律得mg tan θ＝mω2L sin θ，解得L cos θ＝，故小球与悬点的高度差H＝L cos θ＝.由H的表达式知，高度差与绳长没有关系，仅与ω有关，因两球转动的角速度相同，故两球处于同一高度． 总结：角速度　周期 (2)B 【检测反馈】 1. C　做匀速圆周运动的物体，它的向心加速度始终与线速度垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确． 2. B　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，匀速圆周运动是非匀变速曲线运动，故C、D错误． 3. D　做匀速圆周运动的小球，相等时间内的位移大小不变，但方向时刻在改变，故A错误；由公式a＝得v＝，故B错误；由v＝ 知Δl＝vΔt＝t，故C错误；由a＝R知T＝2π ，故D正确． 4. B　根据同皮带上各点线速度大小相等则有vA＝vB，根据同一转轴各点角速度相等，则有ωB＝ωC，根据v＝ωr，则有vB>vC，ωA>ωB，则有vA＝vB>vC，ωA>ωB＝ωC，所以A错误，B正确；根据a＝ω2r，则有aB>aC，根据a＝，则有aA>aB，则有aA>aB>aC，所以C、D错误． 5. A　根据向心加速度与线速度的关系有a＝，整理有v甲 ＝ ，v乙 ＝ ，由于a1>a2，R1>R2，则甲的线速度大于乙的线速度，A正确；根据向心加速度与角速度的关系有a ＝ rω2，整理有ω甲 ＝ ，ω乙 ＝ ，由于甲、乙两物体的向心加速度、做圆周运动的半径不明确，则无法判断它们角速度的大小关系，B错误；由选项B可知，甲、乙两物体的角速度的大小关系未知，从而也无法判断出它们的周期关系，C错误；根据向心力与向心加速度的关系有F向甲 ＝ ma1，F向乙 ＝ ma2，则甲的向心力大于乙的向心力，D错误． 6. A　设圆环P到圆周运动轨迹的圆心的高度为h，对小球B由牛顿第二定律有mBg tan θ＝mBω2h tan θ，可知ω＝，两球角速度相等，两球的周期相等，故A正确；由于向心加速度a＝ω2r＝r，由于A、B两球的运动半径r不同，可得向心加速度大小不相等，故B错误；由公式v＝ωr，又rA＝h tan α，rB＝h tan θ，可得A、B两球的线速度之比＝＝，故C错误；绳子上的拉力处处相等，则有＝，可得＝，故D错误． 7. 根据线速度定义式v＝，已知在相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，则线速度大小之比为4∶3；根据角速度定义式ω＝，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，相同时间内它们转过角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2；根据向心加速度公式an＝vω，结合线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则向心加速度之比为 2∶1. 8. (1)竖直方向由平衡条件可得 FNsin 53°＝mg，解得FN＝1.25 N． (2)水平方向有FNcos 53°＝mω2r， 其中r＝x sin 53°， 解得ω＝ rad/s. 9. (1)座椅做匀速圆周运动时，由重力和钢丝绳的拉力的合力提供向心力， 如图所示，钢丝绳的拉力大小为F＝. (2)座椅做匀速圆周运动的半径为 R＝r＋l sin θ， 由mg tan θ＝mω2R，得ω＝. (3)增大转速(角速度)或增加钢丝绳的长度，可以增加钢丝绳与竖直方向的夹角． 10. (1)根据三角形定则，可知质点从A点起在时间Δt内速度变化量Δv的方向，如图所示． (2)质点经过A点时瞬时加速度aA的方向如图所示． (3)设在很短时间Δt内从A运动到B，此过程中速度变化为Δv，因为△OAB∽△BDC， 则 ＝， 当Δt→0时AB＝，则 v＝，a＝， 则a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $