湖南衡阳市2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学试卷

衡阳县2025年下学期高二期末质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时， 用0.5mm的，黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x∈N-1<x<4,B={yy=x2,x∈A,则A∩B A.{0.1 B.(1,4) C.[0,4) D.{ 2.已知向量a=(1,-m),b=(3m+2,-1),且a⊥b,则m= A.-1 B月 c时 D.3 3.直线x+V3y+3=0的倾斜角为 A.-30° B.120° C.60° D.150° 4.已知数列{an}为等比数列，a,a4a,=64,a6a1=8,则a,= A.1 B.4 C.2 D.6 5.在空间直角坐标系O-z中，点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点为M1,点M2 是点M1在坐标平面Oxy内的射影，则点M2的坐标为 A.(2,-3,0) B.(2,3,0) C.(-2,3,0) D.(0,3,1) 6已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，MF=3,则点M到直线x=-3的 距离为 A.6 B.5 C.4 D.3 7.函数f(x)=(x-1)e*在[-l,2]上的值域为 A[-2,e] B.[0,2] C.[-l,e] D.[-1,e2] 8.已知函数f(x)= log,0<x<4 是(0，+oo)上的增函数（其中a>0且a#1), (3-a)x+10a-22,x≥4 则实数a的取值范围为 A.(1.2) B.(1.3) C.[2.3) D.[2,2V2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分， 9.已知复数z满足(1-)z=2+3i,z,是z的共轭复数，则下列说法正确的是 A:的定部为码 B.复数z在复平面中对应的点在第三象限 C=v26 D.z>z 4 10.已知双曲线C:x2+my2=1,则下列说法正确的是 A.m<0 B.若C为等轴双曲线，则m=-1 C.若y=2x为C的一条渐近线，则m=-4 D,若C的焦点到渐近线的距离为2，则m=-】 11.设等差数列{an}的前n项和为S公差为d,首项为a1,若S8S2,S1<0,则下列结论 正确的是 A.d<0 B.当n=5时，Sn取最大值 C.las<a D.数列 为等差数列并且与数列{a}具有相同的单调性 n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知MN是相互独立事件，且PM0=0.2,PN)=0.6,则P(MUN)= 13.己知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-8x-6y+m=0有三条公切线，则 1m= 14.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若2b2+3c2-a2=2 ab sin C, 则cosA= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知{an}为公差不为0的等差数列，a,=1,且a,a2,a4成等比数列， (1)求{a}的通项公式： (2)若bn=an+2”,求{bn}的前n项和Sm 16.(本小题满分15分) 已知函数f)=3 sin xcosx-sin'x+ (1)求f(x)的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数f)在区间[-亚，m]上的最大值为1，最小值为-，求m的取值范围 6 17.(本小题满分15分) 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,AD=DC=CB=2,AB=4,∠DCB=120°， DP=2. (I)证明：BD⊥PA; (2)求平面PAB与平面PAD夹角的余弦值. 18.(本小题满分17分) 已知函数f()=x+r-a ex (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a<-2,证明：当>2时，f(x)< 2 19.(本小题满分17分) 已知椭圆CX+10<b<a<4)的离心率为e,石焦点FL,0),椭圆在第一象限 上有一动点卫，点P到直线4的距离为4当3时，P写 (1)求椭圆C的标准方程： (2)证明： d 是定值； PF 6)点D0之当DA-号取最大值时，求椭圆c上动点Q到直线DP的最大距高。 2025年下学期高二期末质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B D A B D 题号 9 10 11 答案 AB ABD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解析】由题意可知A={0,1,2,3},B={yly=x2,x∈A}={0,1,4,9},则A∩B={0,1},故选A. 2.【答案】B 【解析】因为向量a=(1,-m),b=(3m十2，一1)，且a⊥b,所以1×(3m+2)+m=0,解得m=一 子故选R 3.【答案D 【解析】直线x十Vy十3=0的斜率k=一1 3 ,设直线的倾斜角为a,则1ana= 3 3,因为0°≤a<180. 所以a=150°，故选D. 4.【答案】C 【解析】a1a4a=a=64,a4=4,a6a=aga4=4ag=8,ag=2,故选C. 5.【答案】A 【解析】由空间直角坐标系，可得点M(2,3,一1)关于平面Ox2对称的点M,的坐标为(2，一3，一1)，点M 在坐标平面Oxy内的射影为点M2(2,一3,0).故选A 6.【答案】B 【解析】抛物线C:y2=4x,其准线方程为：x=一1，因为|MF|=3,且点M在C上，由抛物线定义可知，点M 到直线x=一1的距离为3，因为x=一3与x=一1平行，且距离为2，所以点M到直线x=一3的距离为5， 故选B 7.【答案】D 【解析】f(x)=xe,当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减，x>0时f(x)>0,f(x)单调递增，f(0)=-1, f-1)=-2,f代2)=e,值域为[-1，e],故选D. e 8.【答案】G 【解析】由题意必有 1>1:可得1<a<3,还有lg443-a)+10a-2,整理为6a-log.4-10≥0，令g 3-a>0, =6-e4-101<<3有g0-6x-品生10，由函数y- 1 -(x>1)为增函数，可得函数g(x)为 增函数，又由g2)=12-品登10=0.可得不等式6a-1og4一10≥0中a的取值范围为a≥2，由上知，实数 a的取值范围为2≤a<3.故选C. 【高二数学试题参考答案第1页（共5页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】AB 【得折=-名书=一立十：的度部为号故A正确： -一名一号在复平面中对应的点在第三象限，故B正确， 1=√)+（号了-至.放c错误： 虚数不能比较大小，故D错误，故选AB 10.【答案】ABD 【解析】易知C:x2- 工=1，所以m<0,A选项正确： 若C为等轴双曲线，则一1=1，解得m=一1，B选项正确： m 者y一2x为C的一条渐近线，则一一2，解得m-一}，C选项错误： m 若C的焦点到新近线的距离为2，则一-2，解得m=一，D选项正确，故选ABD, 11.【答案】ABD 【解析】因为Ss>S2,所以Ss一S2=ag十a4十as十a6十a,十ag>0,即a3+ag>0,因为a5十as=ag十ag,所以 a5十a6>0:因为S1<0,又因为S1=11a6,所以a6<0,又因为a5十a6>0,所以as>0,a6<0,则d<0,且当 n=5时，S.取最大值，且|as|>|as|,所以A,B正确，C错误： 因为dK0,所以数列{a.单调递诚：因为S.=a+"Dd,所以子=a1+”d=号n+(a,一号)，所 2 以数列（气}也是等差数列，并且也为单调递减数列，所以选项D正确，放选ABD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】0.68 【解析】因为M,N是相互独立事件，所以P(MN)=P(M)P(N)=0.12,则P(MUN)=P(M)+P(N)- P(MN)=0.2+0.6-0.12=0.68. 13.【答案】16 【解析】C1(0,0),n1=2,C2:x2十y2-8.x-6y十m=0,化为标准方程为：(x-4)2十(y-3)2=25-m,则C2(4, 3),2=√25一m(m<25),因为圆C1和圆C2有三条公切线，所以圆C1和圆C2外切，则|CC2|=r1+r2, 即2+√25-m=5,解得m=16. 14.【答案】 2 【解折因为Sax=ainC=子kmA,所以28十32-d=2k血A,由余弦定理得，2+32=2ksmA+ 1 +-2msA.每2=mA-0sA,且“2=是+后≥2√层会·言=E.则mA-coA2 【高二数学试题参考答案第2页（共5页）】 E,当且仅当=Ec时取等号，又sinA-cosA=Esim(A-于）A∈(0，x),所以Esim(A-年)∈(-1， ],所以simA-c0sA=E,所以A=子x,故cosA=-号 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.【答案1(1)a.=n(2)S.=2+1+n+1D-2 2 【解析】(1)设{an}公差为d,则a2=1+d,a4=1+3d, ……2分 因为aa2,a4成等比数列， 所以a1·a4=a,即1十3d=(1十d)2,……… ………4分 所以d=1或0（舍去）.……… ………5分 故an=1十n-1=n;……………… ………6分 (2)由(1)可得bn=十2，…………7分 S。=1+21+2+22+3+23+…+n+2 =(1+2十3+…十m)+(21+22+…+2") ……9分 =n(n十1）+20-2） 2 1-2 ……11分 =2+1+nmD-2. 2 …13分 16.【答案】1)最小正周期为，对称中心坐标为（一吾+经，0），∈Z(2)[吾，受] 【解折11D-in2x-1上g2+月 …2分 2 -n2z+7os2-m(2r+若） …4分 代x)的最小正周期T=要=，… …5分 2 令2x十吾=，k∈Z,解得x=一是+经，k∈Z,所以fx)的对称中心的坐标为(-登+经，0），∈Z:… …………7分 (2)当x∈[-石，m]时，-若<2x+石<2m+石， 所以f(-吾)=sin(-吾)）=-子， …………………9分 因为fx)在区间[-音，m]上的最大值为1，所以2m+晋≥受 …………11分 印m>…12分 又因为f(x)在区间[一吾m]上的最小值为-号，所以2m十晋< ，………14分 即≤受，所以m的取值范围为[吾·受]， …15分 1.【答案11)详见解析(2号 【高二数学试题参考答案第3页（共5页）】 【解析】(1).PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,∴.PD⊥BD,……1分 :DC=CB=2,∠DCB=120°， 由余弦定理，得DB=DC十CB2-2DC·CB·cos120°，解得DB=2√5，…3分 .AD=2.AB=4.AD2+DB2=AB2, .△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°，.BD LAD,………………………5分 又PD∩AD=D,PDC平面PAD,ADC平面PAD,.BD⊥平面PAD, 又PAC平面PAD,.BDI PA:……………………………………………7分 (2)由(1)知，PD,AD,BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐 标系， D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0)，P(0,0,2),Di=(0,23,0),PA=(2,0, -2).AB=(-2,25,0), …9分 由(1)得BD⊥平面PAD,故DB可作为平面PAD的一个法向量， n·PA=2x-2x=0 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则 n.AB=-2x+25y=0, 则可取n=(5,1√/5)，………………12分 设平面PAB与平面PAD的夹角为0，则cos0= In.DBI 25 71 ………14分 |nl·|DB2√/5·√7 平面PAB与平面PAD夹角的余弦值为汽。 ………15分 18.【答案】(1)当a=一2时，f(x)在R上单调递减：当a>一2时，f(x)在(-∞，一a)和(2，十o∞)上单调递减， 在（一a,2)上单调递增：当a<一2时，f(x)在（一o∞，2）和（一a,十o∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增 (2)详见解析 【解折1(1Df(x)=2x+a)e-（十ax-a)c=-(x+a)(x-2 (e)2 ………………………3分 e ①若4=-2，fx=-二2》2≤0.x在R上单调递减：…4分 e ②若a>-2,此时-a<2,所以当x∈(-o∞，-a)U(2,+∞)时，f(x)<0,当x∈(-a,2)时，f(x)>0,所 以f(x)在（一o∞，一a)和(2，十o∞）上单调递减，在（一a,2)上单调递增：………6分 ③若a<-2,此时-a>2,所以当x∈(-o∞，2)U(-a,十∞)时，f(x)<0,当x∈(2，一a)时，f(x)>0,所 以f(x)在（一∞，2）和（一a,十o∞）上单调递减，在(2，一a)上单调递增：……8分 (2)若a<-2,由(1)可得，f(x)在(2，一a)上单调递增，在（一a,十∞）上单调递减，所以f(x)在区间(2， 十∞)上有最大值-a)-号，只需证明<号 ………………………………………11分 令gx)=号，则g'(x)=1二. …………………12分 当x>1时，g'(x)<0,所以g(x)在区间(1，十o∞)上单调递减.…14分 由于-a>2,所以g(-a)<g2),由此证明了<号 ……………16分 所以若a<-2,当>2时<号. 17分 【高二数学试题参考答案第4页（共5页）】 19.【答案11)千+号=1(2)详见解析(3w5 【解析11)由已知c=1,P(1,号），设椭圆左焦点R(一1,0)，则1P5,=号，…1分 因为Pf十PF列号十号三4=2a,8=2,…2分 由=石2一2，得b2=3,………………………3分 所以椭圆方程为C号十号-1：4分 (2)设点P(w).因为点P(0w)在椭圆上，得6=3-子，…5分 由两点间距离公式得1PF=Vo-1+万=√公-2十1十3-圣话，…7分 化简得1PF刊=√-2+4=（分o-2)=之(4-，d=4-…品=2：…9分 d (3)由(2)可知，d=21PF,所以DPl-号-DP1-PF1, 由图可知|PD川一|PF≤|DF(当且仅当D,F,P三点共线时，等号成立)，… ………………………………11分 所以当D,F,P三点共线时1DP一取最大值，… …12分 m=一设直线：y=合十m, 1 y=x+m ,得：x2十mx十m2-3=0,……14分 △=m2-4(m2-3)=0,.m2=4, 1 通过图象可得，当直线y=之十2时.椭圆上动点Q到直线DP的距离最大，…16分 即椭圆上动点Q到直线DP的最大距离为三=5. ……17分 5 【高二数学试题参考答案第5页（共5页）】