第4章 4.3.1 第2课时 异面直线-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一数学必修第二册教师用书（湘教版2019）

第2课时　异面直线 [学习目标]　1.了解异面直线的画法.2.掌握异面直线的判定方法.3.会求异面直线所成的角. 导语 上节课我们知道了异面直线的概念，自然而然的就想到以下问题：(1)如何画出两条异面直线？(2)异面直线的判定方法有哪些？(3)异面直线是否存在夹角？等等.本节课就一起来探讨上述问题. 一、异面直线的判断 问题1　若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线吗？ 提示　不一定. 问题2　反证法证明问题的思路是什么？ 提示　先假设结论错误，由假设出发经过推理得出矛盾(与已知、公理、定理等相矛盾)，从而说明假设错误，肯定结论成立. 知识梳理 异面直线的判定与画法 画法 图形表示如图所示(通常用一个或两个平面衬托) 判定定理 文字表述 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线 符号表述 若a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a，则直线AB与a是异面直线 例1　已知A，B，C，D是空间中四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.证明：直线AC与BD也是异面直线. 证明　假设AC和BD不是异面直线， 则AC与BD在同一平面内， ∴A，C，B，D四点在同一平面内， ∵AB，CD分别有两个点在这个平面内， 则AB，CD在这个平面内， ∴AB与CD不是异面直线，这与已知条件矛盾， ∴直线AC与BD是异面直线. 反思感悟　异面直线的判定方式 (1)定义法：证明两条直线既不平行也不相交. (2)定理法：找满足定理的条件，如A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线. (3)反证法. 跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，则： (1)AM和CN是否为异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否为异面直线？说明理由. 解　(1)AM和CN不是异面直线，理由如下： 如图，连接MN，A1C1，AC， 因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1， 因为AA1CC1，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC， 所以MN∥AC， 所以A，M，N，C四点共面，所以AM和CN共面. (2)D1B和CC1是异面直线，理由如下： 因为CC1⊂平面CC1D1D，D1∈平面CC1D1D，D1∉直线CC1，B∉平面CC1D1D，由异面直线的判定定理可得D1B和CC1是异面直线. 二、异面直线所成的角 问题3　在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度.如图，在正方体ABCD-EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 提示　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画.应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题. 知识梳理 异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 在空间任意一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b' 结论 我们把a'与b'所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则θ∈ 特殊情况 当θ=90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点P的位置选取无关. (2)两条异面直线所成的角θ∈. (3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 例2　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角. 解　(1)如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF=45°， 所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，因为HDFB， 所以四边形HFBD为平行四边形， 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA，AF，易得FH=HA=AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 所以∠HFO=30°，即FO与BD所成的角为30°. 反思感悟　求两异面直线所成的角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是. 跟踪训练2　在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 解　如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG=AB， GF∥CD且GF=CD. 由AB=CD知EG=FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF=30°或150°， 由EG=FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 当∠EGF=150°时，∠GEF=15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 三、异面直线所成角的应用 例3　如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成的角为60°，且AC=BD=2，求EG的长. 解　因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF=AC， 同理GH为△ACD的中位线， 故GH∥AC且GH=AC，所以EFGH， 所以四边形EFGH是平行四边形且EF=AC=1. 同理FG∥BD且FG=BD=1. 因为AC与BD所成的角为60°， 所以∠EFG=60°或120°， 当∠EFG=60°时，EG=1； 当∠EFG=120°时，EG=. 反思感悟　解答本题的关键是处理好“AC与BD所成的角为60°”这个条件.异面直线所成角的范围为，而本题求解中∠EFG可能与之相等，也可能与之互补，故而产生两解. 跟踪训练3　在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是　　　　.  答案　 解析　连接CD1，AC，由题意得，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1=BC，A1D1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，所以AC=2sin 60°×2=6.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形，所以DD1⊥AD，DD1⊥DC，所以A=D+AD2，D1C2=D+DC2，因为四边形ABCD是菱形，所以AD=DC，所以AD1=D1C，所以△AD1C为等腰直角三角形.所以AD1=AC=3，所以AA1===. 1.知识清单： (1)异面直线的判断. (2)异面直线所成的角. 2.方法归纳：平移法. 3.常见误区：异面直线所成角的范围为. 1.在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是(　　) A.SB B.SC C.BC D.AB 答案　C 解析　由异面直线的判定定理可知SA与BC是异面直线. 2.如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是(　　) A.相交直线 B.异面直线 C.平行直线 D.相交或异面直线 答案　D 解析　由平面几何知识和异面直线互相垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可能相交或异面，故选D. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是(　　) A.120° B.90° C.60° D.30° 答案　C 解析　如图，连接AD1，CD1，则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=AD1=CD1， ∴∠CAD1=60°， 即AC与BC1所成的角为60°. 4.如图，空间四边形ABCD的棱AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=　　　　.  答案　5 解析　如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN=90°， 又PN=AC=4，PM=BD=3， ∴MN=5. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.异面直线是指(　　) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 答案　D 解析　对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能，一种是平行(共面)，另一种是异面. ∴A应排除； 对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图就是相交的情况，∴B应排除； 对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除；D符合定义. 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　) A.1条　B.2条　C.3条　D.4条 答案　B 解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，共2条，故选B. 3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 答案　A 解析　如图所示， 过点P作直线l'∥l，以l'为轴， 与l'成30°角的圆锥面的所有母线所在直线都与l成30°角， 除去两条与l共面的母线，其余都符合要求. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为(　　) A.45°　B.60°　C.90°　D.120° 答案　B 解析　取A1B1的中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°. 5.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点.若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　A 解析　取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角. ∵EF⊥AB， ∴在△EFH中，∠EFH=90°. ∵CD=2AB，∴HE=2HF，∴∠FEH=30°. 6.(多选)点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(　　) 答案　BD 解析　A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，BD正确. 7.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE=25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为　　　　.  答案　65° 解析　∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°. 8.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有　　　　条.  答案　8 解析　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线有AB1，BA1，DC1，CD1，AD1，DA1，BC1，CB1共8条. 9.(10分)如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2，AE=2. (1)求直线BC和EG所成的角的大小；(5分) (2)求直线AE和BG所成的角的大小.(5分) 解　(1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角. ∵在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2， ∴∠ACB=45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°. (2)∵AE∥BF， ∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=， ∴∠FBG=60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°. 10.(11分)如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求证：A1B与AD1是异面直线；(5分) (2)求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值.(6分) (1)证明　A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B，A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，由异面直线的判定定理可得A1B与AD1是异面直线. (2)解　如图，连接BC1， ∵AB∥C1D1，AB=C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，即∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角， 连接A1C1，由已知可得BA1=BC1==5，A1C1=3， 则cos∠A1BC1==. 即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 11.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　　) A.90°　B.60°　C.45°　D.0° 答案　B 解析　将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求， 因此GH与IJ所成的角为60°. 12.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A.直线CC1与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 答案　ACD 解析　因为CE∥B1C1且CE=B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形.C1C与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1垂直，选项D正确. 13.(5分)如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC所成角的大小为　　　　.  答案　60° 解析　如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD=BE， 所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角(或其补角). 在△AOD中， AD=2OAsin 60°=2， 在Rt△BOC中，BC==2， 所以CB=CE=BE=2，所以△CBE为正三角形， 所以∠CBE=60°，即直线AD与BC所成的角为60°. 14.(5分)如图，在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，异面直线BE与CD1所成角的正弦值为，则侧棱AA1的长度为 　　　　.  答案　1或2 解析　如图，连接A1B，易知A1B∥CD1， ∴∠A1BE即异面直线BE与CD1所成的角. 过点E作EH⊥A1B于点H，设EH=h， 则BE===h，AE==. 易得△A1HE∽△A1AB， ∴=， 即=，解得h2=或h2=， ∴AE=或AE=1，∴AA1=1或AA1=2. 15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　) A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60° C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60° 答案　D 解析　如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ=∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°. 16.(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P是棱BB1上一点(不包括端点)，若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，求BP的长. 解　将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的长方体.在EE1上取点P1使EP1=BP，连接AP1，C1P1，则DPAP1，∠P1AC1即为异面直线AC1，DP所成的角(或其补角). 设BP=x，且0<x<4， 则AP1=，P1C1=. 又AC1=4，A+A=48+32+x2=80+x2，P1=80+x2-8x，A+A>P1， 所以∠C1AP1为锐角，cos∠C1AP1===， 解得x=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 第4章 <<< 异面直线 1.了解异面直线的画法. 2.掌握异面直线的判定方法. 3.会求异面直线所成的角. 学习目标 上节课我们知道了异面直线的概念，自然而然的就想到以下问题： (1)如何画出两条异面直线？(2)异面直线的判定方法有哪些？(3)异面直线是否存在夹角？等等.本节课就一起来探讨上述问题. 导 语 一、异面直线的判断 二、异面直线所成的角 课时对点练 三、异面直线所成角的应用 随堂演练 内容索引 异面直线的判断 一 提示　不一定. 若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线吗？ 问题1 提示　先假设结论错误，由假设出发经过推理得出矛盾(与已知、公理、定理等相矛盾)，从而说明假设错误，肯定结论成立. 反证法证明问题的思路是什么？ 问题2 异面直线的判定与画法 画法 图形表示如图所示(通常用一个或两个平面衬托)   判定定理 文字表述 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线 符号表述 若a⊂α，A∉α，B∈α，B∉a，则直线AB与a是异面直线 知识梳理 　　　已知A，B，C，D是空间中四个点，且直线AB与CD是两条异面直线.证明：直线AC与BD也是异面直线. 例 1 假设AC和BD不是异面直线， 则AC与BD在同一平面内， ∴A，C，B，D四点在同一平面内， ∵AB，CD分别有两个点在这个平面内， 则AB，CD在这个平面内， ∴AB与CD不是异面直线，这与已知条件矛盾， ∴直线AC与BD是异面直线. 9 (1)定义法：证明两条直线既不平行也不相交. (2)定理法：找满足定理的条件，如A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线. (3)反证法. 异面直线的判定方式 反 思 感 悟 10 　　　　　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，则： (1)AM和CN是否为异面直线？说明理由； 跟踪训练 1 11 AM和CN不是异面直线，理由如下： 如图，连接MN，A1C1，AC， 因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点， 所以MN∥A1C1， 因为AA1　CC1，所以四边形A1ACC1为平行四边形， 所以A1C1∥AC， 所以MN∥AC， 所以A，M，N，C四点共面，所以AM和CN共面. 12 (2)D1B和CC1是否为异面直线？说明理由. D1B和CC1是异面直线，理由如下： 因为CC1⊂平面CC1D1D，D1∈平面CC1D1D，D1∉直线CC1，B∉平面CC1D1D，由异面直线的判定定理可得D1B和CC1是异面直线. 13 二 异面直线所成的角 提示　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画.应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题. 在平面内，两条直线相交形成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度.如图，在正方体ABCD-EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 问题3 异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 在空间任意一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b' 结论 我们把a'与b'所成的___________叫作异面直线a与b所成的角 锐角或直角 知识梳理 16 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则__________ 特殊情况 当θ=90°时，异面直线a，b互相垂直，记作_______ θ∈ a⊥b 知识梳理 17 (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点P的位置选取无关. (2)两条异面直线所成的角θ∈. (3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 注 意 点 <<< 18 　　　如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； 例 2 如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF=45°， 所以BE与CG所成的角为45°. 19 (2)FO与BD所成的角. 20 连接FH，因为HD　FB， 所以四边形HFBD为平行四边形， 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA，AF，易得FH=HA=AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 所以∠HFO=30°，即FO与BD所成的角为30°. 21 反 思 感 悟 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. (2)证：证明作出的角就是要求的角. (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是. 求两异面直线所成的角的三个步骤 　　　　　在空间四边形ABCD中，AB=CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小. 跟踪训练 2 23 如图所示，取AC的中点G， 连接EG，FG， 则EG∥AB且EG=AB， GF∥CD且GF=CD. 由AB=CD知EG=FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°， ∴∠EGF=30°或150°， 24 由EG=FG知△EFG为等腰三角形， 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°； 当∠EGF=150°时，∠GEF=15°， 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 25 异面直线所成角的应用 三 　　　如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成的角为60°，且AC=BD=2，求EG的长. 例 3 27 因为E，F，G，H分别是三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF=AC， 同理GH为△ACD的中位线， 故GH∥AC且GH=AC，所以EF　GH， 所以四边形EFGH是平行四边形且EF=AC=1. 同理FG∥BD且FG=BD=1. 28 因为AC与BD所成的角为60°， 所以∠EFG=60°或120°， 当∠EFG=60°时，EG=1； 当∠EFG=120°时，EG=. 29 反 思 感 悟 解答本题的关键是处理好“AC与BD所成的角为60°”这个条件.异面直线所成角的范围为，而本题求解中∠EFG可能与之相等，也可能与之互补，故而产生两解. 　　　　　在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是　　　.  跟踪训练 3 31 连接CD1，AC， 由题意得，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， A1D1=BC，A1D1∥BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1， 所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角， 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C=90°. 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，∠ABC=120°， 所以AC=2sin 60°×2=6. 32 因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面都是矩形， 所以DD1⊥AD，DD1⊥DC， 所以A=D+AD2，D1C2=D+DC2， 因为四边形ABCD是菱形， 所以AD=DC，所以AD1=D1C， 所以△AD1C为等腰直角三角形. 所以AD1=AC=3，所以A1===. 33 1.知识清单： (1)异面直线的判断. (2)异面直线所成的角. 2.方法归纳：平移法. 3.常见误区：异面直线所成角的范围为. 课堂小结 随堂演练 四 1.在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的是 A.SB B.SC C.BC D.AB 由异面直线的判定定理可知SA与BC是异面直线. √ 1 2 3 4 2.如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是 A.相交直线 B.异面直线 C.平行直线 D.相交或异面直线 由平面几何知识和异面直线互相垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可能相交或异面，故选D. √ 1 2 3 4 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是 A.120° B.90° C.60° D.30° √ 1 2 3 4 如图，连接AD1，CD1，则AD1∥BC1. ∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC=AD1=CD1， ∴∠CAD1=60°， 即AC与BC1所成的角为60°. 1 2 3 4 4.如图，空间四边形ABCD的棱AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN=　　.  1 2 3 4 5 如图，取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN=90°， 又PN=AC=4，PM=BD=3， ∴MN=5. 1 2 3 4 课时对点练 五 答案 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B A BD 65° 8 题号 11 12 13 14　 15 答案 B ACD 60° 1或2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角. ∵在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2， ∴∠ACB=45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°. (2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=， ∴∠FBG=60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)证明　A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B，A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，由异面直线的判定定理可得A1B与AD1是异面直线. (2)解　如图，连接BC1， ∵AB∥C1D1，AB=C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，即∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角， 连接A1C1，由已知可得BA1=BC1==5，A1C1=3， 则cos∠A1BC1==. 即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的 长方体.在EE1上取点P1使EP1=BP，连接AP1，C1P1，则DP AP1， ∠P1AC1即为异面直线AC1，DP所成的角(或其补角). 设BP=x，且0<x<4， 则AP1=，P1C1=. 又AC1=4，A+A=48+32+x2=80+x2，P1=80+x2-8x，A+A>P1， 所以∠C1AP1为锐角， cos∠C1AP1===， 解得x=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.异面直线是指 A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 答案 对于A，空间中两条不相交的直线有两种可能， 一种是平行(共面)，另一种是异面. ∴A应排除； 对于B，分别位于两个不同平面内的两条直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图就是 相交的情况，∴B应排除； 对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除； D符合定义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 48 2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有 A.1条　　　　B.2条　　　　C.3条　　　　D.4条 和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，共2条，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线 A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 如图所示， 过点P作直线l'∥l，以l'为轴， 与l'成30°角的圆锥面的所有母线所在直线都与l成30°角， 除去两条与l共面的母线，其余都符合要求. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为 A.45°　　　B.60°　　　C.90°　　　D.120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取A1B1的中点I，连接IG，IH，则EF∥IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°. 答案 5.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点.若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角. ∵EF⊥AB， ∴在△EFH中，∠EFH=90°. ∵CD=2AB，∴HE=2HF，∴∠FEH=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 6.(多选)点G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是 A中HG∥MN，C中GM∥HN且GM≠HN，故HG，NM必相交，BD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE=25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为　　　.  ∵B1C1∥BC， ∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65° 答案 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线共有____条.  如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，六个面内与BD成60°角的对角线有AB1，BA1，DC1，CD1，AD1，DA1，BC1，CB1共8条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 答案 9.如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2， AE=2. (1)求直线BC和EG所成的角的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角. ∵在长方体ABCD-EFGH中，AB=AD=2， ∴∠ACB=45°， ∴直线BC和EG所成的角是45°. 答案 (2)求直线AE和BG所成的角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AE∥BF， ∴∠FBG即是AE和BG所成的角. 易知tan∠FBG=， ∴∠FBG=60°， ∴直线AE和BG所成的角是60°. 答案 10.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4. (1)求证：A1B与AD1是异面直线； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A1B⊂平面AA1B1B，A∈平面AA1B1B，A∉直线A1B，D1∉平面AA1B1B，由异面直线的判定定理可得A1B与AD1是异面直线. 答案 (2)求异面直线A1B与AD1所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，连接BC1，∵AB∥C1D1，AB=C1D1， ∴四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1， 即∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角， 连接A1C1，由已知可得BA1=BC1==5， A1C1=3， 则cos∠A1BC1==. 即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 61 11.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为 A.90°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.0° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 答案 将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，在三棱锥A-DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求， 因此GH与IJ所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 12.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是 A.直线CC1与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 因为CE∥B1C1且CE=B1C1， 所以四边形CEB1C1为梯形. C1C与B1E必相交，A正确； 由几何图形可知B错误，C正确； AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1垂直，选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 13.如图所示，圆锥的底面直径AB=4，高OC=2，D为底面圆周上的一点，且∠AOD=120°，则直线AD与BC所成角的大小为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60° 答案 如图，延长DO交底面圆于点E，连接BE，CE，由AB，DE均为圆的直径知AD∥BE，且AD=BE， 所以∠CBE即为异面直线AD与BC所成的角(或其补角). 在△AOD中， AD=2OAsin 60°=2， 在Rt△BOC中，BC==2， 所以CB=CE=BE=2，所以△CBE为正三角形， 所以∠CBE=60°，即直线AD与BC所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14.如图，在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，异面直线BE与CD1所成角的正弦值为，则侧棱AA1的长度为 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1或2 答案 如图，连接A1B，易知A1B∥CD1， ∴∠A1BE即异面直线BE与CD1所成的角. 过点E作EH⊥A1B于点H，设EH=h， 则BE===h， AE==. 易得△A1HE∽△A1AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ∴=， 即=，解得h2=或h2=， ∴AE=或AE=1，∴AA1=1或AA1=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 拓广探究 15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是 A.0°<θ<60° B.0°≤θ<60° C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1， 所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角， 即θ=∠D1CP. 当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°， 但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾， 所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 16.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P是棱BB1上一点(不包括端点)，若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，求BP的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的长方体. 在EE1上取点P1使EP1=BP，连接AP1，C1P1， 则DP　AP1，∠P1AC1即为异面直线AC1，DP 所成的角(或其补角). 设BP=x，且0<x<4， 则AP1=，P1C1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 74 又AC1=4，A+A=48+32+x2=80+x2， P1=80+x2-8x， A+A>P1， 所以∠C1AP1为锐角， cos∠C1AP1===， 解得x=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 75 第一章 <<< $$