精品解析：江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学学情调研 2026.1 命题人：何洪光 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则方程所有的根之和为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 7 5. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若成等差数列；成等比数列，则等于 A. B. C. D. 7. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)． A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a) 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 11. 的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 若的面积为，则 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 13. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 14. 在平面四边形ABCD中，，，，则AB的取值范围是_________． 四、解答题 15. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁 10 合计 70 100 （1）根据已有数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率. 附：， 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 16. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点. （1）求证：平面； （2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的两个焦点为，动点在椭圆上，且的面积最大值为 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，且斜率不为0的直线与相交于两点A，B（在的左侧），设直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②设直线相交于点，求证：为定值. 19. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； （2）证明：函数在上为“下凸函数”； （3）已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学情调研 2026.1 命题人：何洪光 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的概念运算即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：A． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，即可作出判断. 【详解】由题意得：. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 4. 已知函数，则方程所有的根之和为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】讨论的范围，根据解析式列方程求对应的根，即可得. 【详解】由，得或， 所以或，所有根的和为1. 故选：B 5. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 6. 若成等差数列；成等比数列，则等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可． 【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1， ∴a1﹣a2＝﹣1． 又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）． ∴ 故答案为A． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 7. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有(　　)． A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a) 【答案】A 【解析】 【详解】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0， 所以′＝≤≤0， 则函数在(0，＋∞)上单调递减． 由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a) 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形与相似结合双曲线定义依次求出，再在焦三角形中由勾股定理列出方程即可求解. 【详解】因为，， 所以与相似，所以， 所以，则， 所以由得， 所以，解得（舍去）或. 所以双曲线的离心率为. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的概念即可判断A；求出即可判断BC；将点代入方程求出即可判断D. 【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可. 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 11. 的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 若的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理得，结合周长得到，得到；B选项，由基本不等式得到，求出，且，故，故，B正确；C选项，由余弦定理得到，故；D选项，由三角形面积公式得，结合B可知，，由正弦定理得到. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 又，故， 所以，，A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，故，即， 又，，故， 所以，即，解得， 又，故，故，B正确； C选项，由余弦定理得 ， 又，故，C错误； D选项，由题意得，即，解得， 由B可知，，故，解得， 故，由正弦定理得， 故，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 在的二项展开式中，各项系数的和是_____. 【答案】 【解析】 【分析】令即可得出答案. 【详解】令，则，则各项系数的和为. 故答案为： 13. 已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，可得，根据为等比数列，可求得q值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 因为为等比数列，且各项都是正数，设公比为， 所以，即， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 14. 在平面四边形ABCD中，，，，则AB的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将平面四边形补形为三角形，成为等腰三角形，在内平移直线使之能满足条件，通过数形结合，分析两个临界点得到的取值范围. 【详解】如图所示，延长交于，平移，当与点重合时，最长(此时为临界位置，不能取) 在中，，，， 由正弦定理可得，即， 由，解得=， 平移，当与点重合时，最短，此时与交于， 在中，,， 由正弦定理知，，即， 解得(此时为临界位置，不能取) 所以的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，考查正弦定理解三角形，本题的关键是通过平行移动，根据临界点分析出的长度，属于难题. 四、解答题 15. 某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 80 年龄大于50岁 10 合计 70 100 （1）根据已有数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ （3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率. 附：， 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关 （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表． （2）假设不同年龄与支持申办奥运无关没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率． 试题解析：（1） 支持 不支持 合计 年龄不大于50岁 20 60 80 年龄大于50岁 10 10 20 合计 30 70 100 （2） 所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关. （3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是： ，，，，，，，，，共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：，，，，，， 所以所求概率是. 16. 已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. （1）求数列和的通项公式； （2）令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 【答案】（1）； （2）3，9，81，243； 【解析】 【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式可得结果； （2）由分组求和法计算. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得， 去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243， ， 综上，. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点. （1）求证：平面； （2）若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接 中，分别为中点， 且， 又正方形中，为中点， ， 且， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，取的中点E，连接，即可证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及平面夹角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为中点为，连接， 中，， ， 平面平面平面，平面平面， 平面， 又四边形为正方形， ， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， ， 设平面的法向量为， 则即，取，则， ， 设平面的法向量为， 则即，取，则， ， 设平面与平面的夹角为，则. 18. 已知椭圆的两个焦点为，动点在椭圆上，且的面积最大值为 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，且斜率不为0的直线与相交于两点A，B（在的左侧），设直线的斜率分别为. ①求证：为定值； ②设直线相交于点，求证：为定值. 【答案】（1） （2） ①直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去得， ，， 则，又，则， 所以. ②由①知，则，作关于轴的对称点，则三点共线， 设，直线方程即为直线方程为， 又直线方程为，由，解得， 则，由，得，而，则， 即，因此点在以为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆对称性求出即可求出椭圆标准方程. （2）①设出直线方程，与椭圆方程联立，结合斜率坐标公式列式计算得证；②作关于轴的对称点，由①的结论求出直线方程，并求出交点的坐标，进而求出其轨迹即可. 【小问1详解】 令椭圆的焦距为2c，则，设的顶点的纵坐标为， 则，当且仅当时取等号，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． （1）若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； （2）证明：函数在上为“下凸函数”； （3）已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，对任意的恒成立，分离参数后，构造函数，将问题转化为恒成立问题，求构造函数的最值即可； （2）根据下凸函数的定义，只需证明即可，根据函数的单调性可证； （3）令，则，考虑函数，易证，根据下凸函数的定义可知，化简即可得所求最小值. 【小问1详解】 由，可得，则. 因为是上的“下凸函数”， 所以对任意的恒成立， 即恒成立，所以在上恒成立. 令，则函数在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，可得，. 令， 当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 根据“下凸函数”的充要条件可知，函数在上为“下凸函数”． 【小问3详解】 令， 则，即是增函数，所以. 又， 考虑函数，求导得， 则. 当时，，则， 故在上为“下凸函数”， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因此的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $