精品解析：湖南省邵阳市大祥区邵阳市第二中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，进而可得，从而可得集合的子集个数. 【详解】由，解得，又因为，所以. 所以集合的子集有：. 故集合的子集个数为4. 故选：B 2. 与角终边相同的一个角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把表示成的形式即可求解． 【详解】， 与角终边相同． 故选：A． 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作差比较法及对勾函数的单调性即可判断各个选项. 【详解】因为，所以， 所以，故B正确，D错误； 再由对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以若，则；若，则，所以AC选项不一定成立. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据齐次转化得，再解方程即可． 【详解】解：， 即， 解得． 故选：D． 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】直接判断和成立的充要条件，进而可得结果. 【详解】因为由，得，即. 而要使有意义，则且，所以，得. 所以成立必有成立，而成立不一定有成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 6. 已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面的面积都比前一天多，若荷叶生长30天时可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶大约生长了参考数据：.（ ） A. 26天 B. 27天 C. 28天 D. 29天 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得初始面积与天数对应的面积关系式，再根据题意取对数化简求解即可 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则天后荷叶覆盖水面的面积， 根据题意，令，即， 两边取以10为底的对数得， 所以，解得． 故选：B． 7. 已知函数的定义域为，，且在上单调递增，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得,，结合和单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由，可得, 因为，，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递增，所以 由题意知，， 所以， 当，则 由，在上单调递增， 得， 当，， 综上，， 所以. 故选：C 8. 已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，,要使函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值,结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】令，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系可得，再结合诱导公式及和差角公式，及二倍角公式计算可得. 【详解】由，，再由同角三角函数基本关系式得. 由诱导公式，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则函数的最大值为9 C. 不等式的解集是 D. 若，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题知，且，对于A，根据解集，令即可判断；对于B，利用韦达定理结合二次函数最值即可判断；对于C，对不等式进行变形，得，再代入解不等式即可判断；对于D，利用基本不等式“1”的妙用求最值即可． 【详解】对于A，不等式的解集是， ，，故A正确； 对于B，由题知方程的两根为或，且， ，又，解得，符合题意， ， 即函数的最大值为9，故B正确； 对于C，根据题意，，且， 不等式可化为， 即，，解得或，故C错误； 对于D，，则， ， ， 当且仅当，即时取等号，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个实根，则的取值范围为 D. 若函数（）在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用倍角公式和辅助角公式化简；B利用齐次化思想化简；C将问题转化为，与的图象有2个交点，数形结合即可；D根据即可求解. 【详解】 ，故A正确； ，故B错误； ，则， 因为方程在内恰有两个实根， 则，与的图象有2个交点， 结合图形可知，，则的取值范围为，故C正确； （） 若，则 因为在上单调递减， 所以， 则，得， 因为，，所以，则，此时， 则的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是定义在上的奇函数，则，结合奇函数对称性即可求解． 【详解】已知是定义在上的奇函数， ， 又在内有2个零点， 所以在内有2个零点， 综上，在上有个零点． 故答案为：． 13. 已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数.若存在，，使得，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值时的值或取得最小值时的值，再分情况讨论即可. 【详解】函数, 所以的值域为 若存在，，使得，则或， 当时，则，解得 当时，对应的值为， 此时的最大值为， 当时，则，解得 当时，对应的值为， 此时的最大值为，显然； 综上的最大值为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）证明：； （2）求. 【答案】（1） ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦差角公式展开可得，再切化弦代入求即可； （2）先求，再结合角的范围，利用同角三角函数求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ，， . 16. 已知函数. （1）求的零点； （2）求的最大值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域（保证对数有意义），再通过对数的底数转换将函数统一为同底数对数，令函数值为0后利用对数的单调性将对数方程转化为代数方程，求解后验证定义域即可，（2）通过对数函数的运算法则以及对勾函数的性质进而得到原函数的最大值， 【小问1详解】 的定义域需满足：， ， 令，， 由函数单调递增，得：， 整理可得或， 满足定义域，故的零点或， 【小问2详解】 ， 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立， 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，从而得到的解析式，再令，求出所对应的的取值，即可得解. 【小问1详解】 因为 ， 由的最小正周期为且，得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 将函数的图象向左平移个单位得到， 令，即，即，所以， 解得， 所以的解分别为，，，，，，， 因为在区间上恰有个解，所以，所以的最小值为. 18. 已知函数的定义域为，满足，，且当时，. （1）求，，的值； （2）证明：在上单调递增； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），， （2） 任取，且， 则 当时，，，，， ， 在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，以及，即可求出； （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【小问1详解】 因为对任意，都有，即 所以，令，则，所以； 令，则，由，所以； 令，，则，因为，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于， 所以等价于， 即，解得：， 令，，则，解得， 因为在上单调递增，，， 则等价于， 解得；， 所以不等式的解集为 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求，的值； （2）函数满足，若正数满足，求及； （3）令函数，对于定义域内的实数，，，若，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解参数从而得函数解析式； （2）化简可得，所以，利用及与即可求解； （3）化简函数，根据指数运算、指数函数的性质、函数单调性可得变量，，的关系，从而得所求. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以且， 所以，解得，所以， 因为定义域为且关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足条件； 所以； 【小问2详解】 由，可得， 当，即时，， 所以， 因为正数满足，则， ， ； 【小问3详解】 因为， 因为，所以， 整理可得：， 所以， 由，可得，即， 所以， 令， 则， 由基本不等式， 由于，得：， 解得：（负值舍去）； 令， 则, 当时，随的增大而增大， 所以， 则的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 与角终边相同的一个角是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面的面积都比前一天多，若荷叶生长30天时可以完全覆盖池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积的一半时，荷叶大约生长了参考数据：.（ ） A. 26天 B. 27天 C. 28天 D. 29天 7. 已知函数的定义域为，，且在上单调递增，记，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则函数的最大值为9 C. 不等式的解集是 D. 若，则的最小值是 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个实根，则的取值范围为 D. 若函数（）在上单调递减，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是定义在上的奇函数，若在内有2个零点，则的零点个数为______． 13. 已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数.若存在，，使得，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）证明：； （2）求. 16. 已知函数. （1）求的零点； （2）求的最大值. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若方程在区间上恰有个解，求的最小值. 18. 已知函数的定义域为，满足，，且当时，. （1）求，，的值； （2）证明：在上单调递增； （3）求不等式的解集. 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求，的值； （2）函数满足，若正数满足，求及； （3）令函数，对于定义域内的实数，，，若，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $