精品解析：云南省保山市龙陵县第三中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

云南省保山市龙陵县第三中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 （满分100分，测试时间：120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷草稿纸上作答无效 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的范围，从而得到答案． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和7，设第三边为c， 则，即， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方和积的乘方的运算，合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；C． 5. 等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（ ） A. 4与4 B. 6与6 C. 4与8 D. 6与6或4与8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分情况讨论边长为4的是腰或底边，并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）进行验证． 【详解】解：由题意，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为， 但，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为； 故另两边的长是6与6； 故选：B． 6. 如图，E，B，F，C四点在一条直线上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 而， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于坐标轴对称的坐标变化规律，根据关于轴对称的点的横坐标不变、纵坐标互为相反数解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：． 8. 若使分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确理解分式有意义的条件是关键．根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：分式 有意义， 分母， ． 故选：B． 9. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，进而可得AE+BE＝BC＝5，进而可得答案． 【详解】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E， ∴AE＝CE， ∵BC＝5， ∴BE+CE＝5， ∵AB＝3， ∴△ABE的周长为3+5＝8cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线性质的应用是解决本题的关键. 10. 的计算结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式计算即可． 【详解】 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式的结构特征是解题的关键． 11. 如果实数满足，那么等于（　　） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，根据偶次方、绝对值的非负性得出，，代入计算即可得出答案，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的关键． 【详解】解：∵，而，， ，即，， ． 故选：D． 12. 如图，是的角平分线，于点E，，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质定理可得，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 13. 如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 由，，得，，由于点D，得，则，所以，而，求得，则，即可得答案． 【详解】解：在中，，， ，， 于点，， ， ， ， ， ， 故选：D． 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律题，观察序列中系数和指数的规律：系数的绝对值是项数，符号由决定；指数是项数，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴第个单项式是， 故选：． 15. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 17. 若代数式的值为0，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 18. 如图，，则的度数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图可知， ∵， ∴； 故答案为：60． 【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 19. 如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．由点E为的中点，可得与的面积之比，同理可得，和的面积之比，即可解答． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义． 先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方、立方根的意义化简各数，再算乘法，后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 21. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据已知条件可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】略 22. 已知点． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C三点，并顺次连结； （2）请画出关于x轴的对称图形； （3）若内有一点P的坐标为，则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，坐标系中描点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先根据，描出点 A，B，C这三点，并顺次连结，即可作答． （2）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，得出，即可作答． （3）根据轴对称的性质，且内有一点P的坐标为，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：依题意，先描出点 A，B，C这三点，并顺次连结． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵内有一点P的坐标为， 则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是． 23. 先化简，再求值：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先将分式的分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，根据分式的混合运算法则化简分式，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 24. 国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 【答案】30元，20元 【解析】 【分析】设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元，根据题意得：20，解方程即可 ． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元， 根据题意得：20， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元） 答：哪吒摆件单价是30元，敖丙摆件的单价是20元． 25. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；. （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ． 【解析】 【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 阅读下列材料，解答问题： 例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值． 解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13 方法2：∵a－b=3 ∴(a－b)2=32 即a2－2ab＋b2=9 a2＋b2=9＋2ab=9+4=13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值； （2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值． 【答案】（1）42；（2）8 【解析】 【分析】（1）仿照方法1利用完全平方公式把a2＋b2用a＋b和ab去表示，然后代入数值计算即可；也可仿照方法2，把a＋b=6两边平方，然后把左边利用完全平方公式展开，整理代入数值计算即可得出答案； （2）方法1：把(a－b)2利用完全平方公式展开，然后配方，用a＋b和ab去表示，再代入数值计算即可；方法2：把a＋b=－2两边平方，然后左边利用完全平方公式展开，再配方成(a－b)2的形式，代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：a2+b2 =(a+b)2 －2ab =62－2×(－3) =36+6 =42； 方法2：∵a+b=6， ∴(a+b)2=36， a2+2ab+b2=36， a2+b2=36－2ab =36－2×(－3) =42； （2）方法1：(a－b)2= a2－2ab+b2 =(a+b)2－4ab =(－2)2－4×(－1) =4+4 =8； 方法2：∵a+b=－2， ∴(a+b)2=4， (a－b)2+4ab=4， (a－b)2=4－4ab =4－4×(－1) =8． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键． 27. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； 【小问3详解】 解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省保山市龙陵县第三中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 （满分100分，测试时间：120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷草稿纸上作答无效 2．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“小满”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 三角形的两边长分别为2和7，则第三边的长可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（ ） A. 4与4 B. 6与6 C. 4与8 D. 6与6或4与8 6. 如图，E，B，F，C四点在一条直线上，且，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若使分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝5cm，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 10. 的计算结果是（　　） A. B. C. D. 11. 如果实数满足，那么等于（　　） A. B. C. D. 9 12. 如图，是的角平分线，于点E，，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 13. 如图，在中，，，，垂足为D，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 14. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第个单项式是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：x2－9＝______． 17. 若代数式的值为0，则的值为________． 18. 如图，，则的度数为_________． 19. 如图，在中，D为边上的一点，E，F分别为，的中点，且，则图中涂色部分的面积是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 已知：如图，，．求证：． 22. 已知点． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C三点，并顺次连结； （2）请画出关于x轴的对称图形； （3）若内有一点P的坐标为，则中与点P关于x轴的对称的点的坐标是 ． 23. 先化简，再求值：先化简，再求值：，其中． 24. 国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 25. 如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 26. 阅读下列材料，解答问题： 例：已知a－b=3，ab=2，求a2＋b2的值． 解：方法1：a2＋b2=(a－b)2＋2ab=32＋4=13 方法2：∵a－b=3 ∴(a－b)2=32 即a2－2ab＋b2=9 a2＋b2=9＋2ab=9+4=13 请选择任意一种解题方法解决下列问题． （1）已知a＋b=6，ab=－3，求代数式a2＋b2的值； （2）已知a＋b=－2，ab=－1，求代数式(a－b)2的值． 27. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $