精品解析：湖南省邵阳市第五中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试题

邵阳市第五中学2026年八年级期末测试卷 数学 一、单选题（30分） 1. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 3. 已知：，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B. 相等的两个角是对顶角 C. 同位角相等 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 7. 如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）． A. 6 B. 128 C. 64 D. 32 二、填空题（24分） 11. 已知，，则的值为_____． 12. 在半导体科研领域中，某新型芯片的电路线宽仅为米，将数字用科学记数法表示为_____． 13. 若关于x的方程的解是x＝1，则a的值为 _____． 14. 如图，在中，，，．在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点．则的长为______． 15. 等腰三角形两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长为___ 16. 如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是_______． 17. 如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 18. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 三、解答题（66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值： ，其中 ． 21. 已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 22. 为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件． （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？ 23. 如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 25. 【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：； （2）若，求的值； （3）请直接写出满足的a的取值范围为_____． 26. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合．则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图3-1，与都是等腰三角形，其中，则（边角边）． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点Q，求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接交于点，请判断和的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市第五中学2026年八年级期末测试卷 数学 一、单选题（30分） 1. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 利用完全平方公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A.不能用完全平方公式分解因式. B.不能用完全平方公式分解因式. C.，能用完全平方公式分解因式. D.不能用完全平方公式分解因式. 故选：C． 2. 把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 不变 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化．熟练掌握利用分式的基本性质判断分式值的变化是解题的关键． 根据判断作答即可． 【详解】解：分式中的，的值都扩大为原来的3倍得，， ∴分式的值不变， 故选：B． 3. 已知：，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键要明确：正数大于零，负数小于零，正数永远大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．分别计算，，的值，利用负指数法则，注意指数优先级，利用零指数法则，然后根据实数大小的比较方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 4. 线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴c的长度可能为3． 故选：A 【点睛】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键． 5. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 6. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B. 相等的两个角是对顶角 C. 同位角相等 D. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 7. 如图，在等边中，，分别在，上移动，且，与相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，因为，可得． 【详解】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出，然后再利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的长为． 10. 如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线上， 、、……均为等边三角形，若，则的边长为（ ）． A. 6 B. 128 C. 64 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、30度角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…以此可得即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：，即的边长为32． 故选D． 二、填空题（24分） 11. 已知，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的方法和整体代入思想是解题的关键．先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在半导体科研领域中，某新型芯片的电路线宽仅为米，将数字用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，绝对值小于的非零数可以记作 的形式，其中, 是正整数，等于原数中第一个非零数字前面零的个数，或原数中第一个非零数字在小数点后的位数． 【详解】． 故答案为： 13. 若关于x的方程的解是x＝1，则a的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，求解即可． 【详解】解：将x＝1代入，可得， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的含义是解题的关键． 14. 如图，在中，，，．在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形，角平分线的性质是解答本题的关键． 过点作于点，由作图可知，为的平分线，即可得，在中，可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 15. 等腰三角形两条边长分别为4和7，则这个等腰三角形的周长为___ 【答案】15或18 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．分腰长为4和腰长为7两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】解：当腰长为4时，底边为7，三边分别为4、4、7， ，， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形，周长为； 当腰长为7时，底边为4，三边分别为7、7、4， ，， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形，周长为7+7+4=18. 故答案为15或18. 16. 如图，是的中线，E，F分别为，的中点，若的面积为，则的面积是_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积，熟练掌握三角形的中线与面积是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵F为的中点，是的中线，且的面积为， ∴，，即， ∵E为的中点， ∴， ∴； 故答案为：24． 17. 如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 【答案】53°##53度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 18. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂的运算、求一个数的绝对值、实数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据整数指数幂的运算、求一个数的绝对值、实数的混合运算法则进行运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 20. 先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】略 22. 为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件． （1）求一、二等奖奖品的单价； （2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？ 【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件． 【解析】 【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解； （2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件，根据4≤m≤10，且为整数，m为整数，即可得到答案． 【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x， 由题意得：，解得：x=15， 经检验：x=15是方程的解，且符合题意， ∴15×4=60（元），15×3=45（元）， 答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元； （2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为件， ∵4≤m≤10，且为整数，m为整数， ∴m=4，7，10， 答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件． 【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键． 23. 如图，在△中，，，，垂足分别为、，且点是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：，， ， 是的中点， ， ∴； （2）13 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一． （1）根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到； （2）根据三线合一可知点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 点是的中点， ， ， ， 的周长． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴． 25. 【阅读理解】阅读下列解题过程： 例：若代数式，求的取值范围． 解：原式． 当时，原式， 解得（舍去）； 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式，解得． 综上所述，的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：； （2）若，求的值； （3）请直接写出满足的a的取值范围为_____． 【答案】（1）4 （2）或4 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、解绝对值方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先计算算术平方根，再根据a的取值范围去绝对值即可求解． （2）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． （3）仿照题意先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，，此时方程无解； 当时，， 解得； 综上所述，的值为或4． 【小问3详解】 解：∵， ， 当时，原式， 解得， 当时，原式，等式恒成立； 当时，原式， 解得（舍去）， 综上所述：a的取值范围为． 26. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合．则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图3-1，与都是等腰三角形，其中，则（边角边）． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点Q，求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：； 深入研究：， 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 拓展延伸：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】解：初步把握：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：略 拓展延伸：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $