第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组（知识清单）数学新教材北京版七年级下册

第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点四、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点五、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点六、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 一、不等式与不等式的基本性质 1.掌握不等式的定义 错误：混淆不等式与方程的概念 注意：要记住方程与不等式的特征，学会从概念上分辨出两者之间的区别 1．（25-26七年级上·北京昌平·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.掌握不等式的基本性质 错误：忽略不等式的变号情况； 注意：不等式的基本性质很容易记住，但要注意左右两边同时乘除一个负数时，不等式的符号要改变； 2．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、一元一次不等式 1.求一元一次不等式的整数解 错误：求整数解时，容易遗漏两头的情况 注意：在我们求一元一次不等式的整数解时，要记得不等式符号是否包含了等于的情况，如果有，记得要带上； 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为 ． 2.在数轴上表示不等式的解集 错误：在数轴上表示不等式的解集时忘记实心和空心的表示； 注意：如果包含在内的话就是实心的，如果不包含在内的话就是空心的； 4．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 3.一元一次不等式的实际应用 错误：忽略不等式的实际意义 注意：掌握一元一次不等式的实际意义，要在符合范围的要求取值； 5．（24-25八年级上·北京延庆·期中）某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案 ；租车总费用最少需要 元． 三、一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的整数解 错误：求整数解时，容易遗漏两头的情况 注意：在我们求一元一次不等式组的整数解时，要记得不等式符号是否包含了等于的情况，如果有，记得要带上； 6．（25-26七年级下·北京海淀·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 2.由不等式组解集的情况求参数 错误：不理解这种题型该如何处理 注意：先根据题意求出不等式组的解集，再按照要求列出解集的情况，再进行求参数； 7．（25-26七年级下·北京门头沟·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 3.不等式组和方程组结合的问题 错误：遇到不等式组和方程组结合的问题不知从何下手； 注意：要将不等式组和方程组均解出对应的未知数值，再根据等量关系列出符合条件的式子，解答即可； 8．（25-26七年级下·北京·期末）若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 4.不等式组的实际应用 错误：不等式组的实际应用，一个是要符合实际情况，另一个则是计算时要注意范围，是否包含两头相等的情况； 注意：不等式的实际应用，要先看看题目所给数量的实际意义，在符合条件的情况下进行取值；对于不等式两头是否取等，要学会将结果代入进行验证； 9．（25-26七年级下·北京东城·期末）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 1．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（    ） A．200 B．202 C．201 D．210 2．（24-25七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京西城·期末）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 5．（23-24七年级下·北京房山·期末）甲、乙、丙三人做写数字的游戏，三个人写的数字要同时满足以下四个条件： ①乙写的数字的一半大于甲写的数字； ②丙写的数字不大于甲写的数字； ③丙写的数字的3倍大于乙写的数字； ④甲、乙、丙三人写的数字均为正整数． 则三人所写数字之和的最小值为（    ） A．4 B．7 C．9 D．13 6．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·北京·月考）把颗糖平均分成若干份，每份不得少于颗，也不能多于颗，那么一共有 种不同分法． 8．（24-25七年级下·北京昌平·月考）不等式的非正整数解是 ； 9．（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 10．（2025·北京昌平·二模）某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示： 木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸 M 2块／次 4块／次 8块／次 N 不能加工 3块／次 6块／次 其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． （1）加工这批木材，M款切割机至少要使用 次； （2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少 元． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 12．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 13．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 14．（24-25九年级上·北京·月考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 15．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 16．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 17．（2025·北京·模拟预测）解不等式组 18．（25-26八年级上·北京·开学考试）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E (1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； (2)5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 19．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，_____________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_____________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 20．（24-25七年级下·北京昌平·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”. (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）. (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______. (3)若关于x的不等式组的“解集中点”大于方程的解且小于方程的解，m的取值范围为______. 21．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知方程组 (1)若原方程组中为非正数，为负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的最小的整数解． 22．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 23．（24-25九年级下·北京·开学考试）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 24．（24-25七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一元一次不等式和一元一次不等式组 知识点一、不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点二、不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点三、不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点四、一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点五、一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点六、解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 一、不等式与不等式的基本性质 1.掌握不等式的定义 错误：混淆不等式与方程的概念 注意：要记住方程与不等式的特征，学会从概念上分辨出两者之间的区别 1．（25-26七年级上·北京昌平·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 2.掌握不等式的基本性质 错误：忽略不等式的变号情况； 注意：不等式的基本性质很容易记住，但要注意左右两边同时乘除一个负数时，不等式的符号要改变； 2．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 二、一元一次不等式 1.求一元一次不等式的整数解 错误：求整数解时，容易遗漏两头的情况 注意：在我们求一元一次不等式的整数解时，要记得不等式符号是否包含了等于的情况，如果有，记得要带上； 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）若关于的方程的解大于2且小于4，则的整数值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了解一元一次方程，解不等式． 先求出x关于k的解，再根据“解大于2且小于4”求出k的取值范围，最后找出的整数值即可． 【详解】解：， ∴， ∵关于的方程的解大于2且小于4， ∴， ∴， ∴的整数值为5， 故答案为：5． 2.在数轴上表示不等式的解集 错误：在数轴上表示不等式的解集时忘记实心和空心的表示； 注意：如果包含在内的话就是实心的，如果不包含在内的话就是空心的； 4．（22-23七年级下·北京·期末）关于x的不等式的解如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：由不等式得：， ∵由数轴可知， ∴， 解得：． 故答案为：． 3.一元一次不等式的实际应用 错误：忽略不等式的实际意义 注意：掌握一元一次不等式的实际意义，要在符合范围的要求取值； 5．（24-25八年级上·北京延庆·期中）某学校计划租客车接送名学生和名教师去参加社会大课堂活动，每辆车至少有名教师．现有，，三种型号的客车，载客量和租金如下表所示： 型客车 型客车 型客车 载客量（单位：人辆） 租金（单位：元辆） 请你写出一个满足乘坐需求的租车方案 ；租车总费用最少需要 元． 【答案】 辆客车（答案不唯一） 租客车辆， 客车辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，由题意可知，最多租辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可，按租丙客车的数量讨论，设甲客车租x辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵每辆车至少有名教师， ∴最多租辆客车， ∵总人数为(人) ， 若全租客车，符合题意, 则满足乘坐需求的租车方案为辆客车， 故答案为：辆客车 (答案不唯一) ； 若租客车辆，则客车没有租， 此时乘坐人数为满足题意， 租车总费用为: 元； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得： ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为或， 当时，即租客车辆，客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当时， 即租客车辆，客车辆，租车总费用为: （元）； 若租丙客车辆，设客车租辆, 则客车租辆, 其中， 此时 解得：， ∴的取值为， 当时，即租客车辆， 客车辆， 租车总费用为: （元）； 当租客车少于辆时，均不满足需求， 则租车总费用最少的租车方案为租客车辆， 客车辆， 故答案为：租客车辆， 客车辆． 三、一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的整数解 错误：求整数解时，容易遗漏两头的情况 注意：在我们求一元一次不等式组的整数解时，要记得不等式符号是否包含了等于的情况，如果有，记得要带上； 6．（25-26七年级下·北京海淀·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 2.由不等式组解集的情况求参数 错误：不理解这种题型该如何处理 注意：先根据题意求出不等式组的解集，再按照要求列出解集的情况，再进行求参数； 7．（25-26七年级下·北京门头沟·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出其和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3.不等式组和方程组结合的问题 错误：遇到不等式组和方程组结合的问题不知从何下手； 注意：要将不等式组和方程组均解出对应的未知数值，再根据等量关系列出符合条件的式子，解答即可； 8．（25-26七年级下·北京·期末）若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 4.不等式组的实际应用 错误：不等式组的实际应用，一个是要符合实际情况，另一个则是计算时要注意范围，是否包含两头相等的情况； 注意：不等式的实际应用，要先看看题目所给数量的实际意义，在符合条件的情况下进行取值；对于不等式两头是否取等，要学会将结果代入进行验证； 9．（25-26七年级下·北京东城·期末）某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 1．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（    ） A．200 B．202 C．201 D．210 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到两种组合，并列出等量关系． 根据题意可知：要使牛最少，则尽量让鸡夹在两只羊中间，且羊不剩余，即有两种组合：①鸡、牛、鸡；②羊、鸡、羊；设有x只鸡夹在羊中间，则羊有只，牛有只，然后列出不等式求解即可． 【详解】解：设有x只鸡夹在羊中间，则羊有只，牛有只，由题意得， 解之得． 此时牛是201头． 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示一元一次不等式的解集是解题的关键；先解不等式，再将解集表示在数轴上即可求解． 【详解】解：， ； 故不等式的解集在数轴上表示如下： ； 故选：A． 3．（2024七年级上·北京·专题练习）已知，且，那么，以下正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．根据绝对值的定义，由知，据此得，再由知，继而根据且无论还是，都有，，进而得出结果． 【详解】解：， ； ， 由知， 因为， ，， ， ， 而且， ， ， 故选：A． 4．（25-26七年级下·北京西城·期末）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，现有A，B两种型号，A型每台万元，B型每台万元，经预算，该企业购买设备的资金不高于万元．则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键． 设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ，得 又∵为整数， ∴，， 故购买方案有3种． 故选：． 5．（23-24七年级下·北京房山·期末）甲、乙、丙三人做写数字的游戏，三个人写的数字要同时满足以下四个条件： ①乙写的数字的一半大于甲写的数字； ②丙写的数字不大于甲写的数字； ③丙写的数字的3倍大于乙写的数字； ④甲、乙、丙三人写的数字均为正整数． 则三人所写数字之和的最小值为（    ） A．4 B．7 C．9 D．13 【答案】C 【分析】此题考查了不等式的性质和正整数解问题，由①可得，，由②可得，，由③可得，，根据x、y、z均为正整数进行分析即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙、丙写的数字分别为x、y、z，且x、y、z均为正整数， 由①可得，， 由②可得，， 由③可得，， 由可取时， 此时，不合题意， 若，，则不成立，舍去， 若，，则，即， 此时三人所写数字之和的最小值为 故选：C 6．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能求出m，n的值是解此题的关键．先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ，， 关于x的不等式的解集为． 故选：C． 7．（24-25八年级下·北京·月考）把颗糖平均分成若干份，每份不得少于颗，也不能多于颗，那么一共有 种不同分法． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，可平均分成份，根据“每份不得少于颗，也不能多于颗”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可得出结论，理解题意，正确列出一元一次不等式组是解此题的关键． 【详解】解：设可平均分成份， 依题意，得：， 解得：， 又∵，均为正整数， ∴可以取，，，，， ∴一共有种不同分法， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京昌平·月考）不等式的非正整数解是 ； 【答案】，，和0 【分析】本题考查了求一元一次不等式整数解的知识，掌握以上知识并理解非正整数的含义是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，在数轴上表示出来，然后再找出其中的非正整数解，即可求解； 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： ， 通过数轴可以得到不等式的非正整数解为：，，和0； 故答案为：，，和0； 9．（2025·北京西城·二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 10．（2025·北京昌平·二模）某木材加工厂配备有M型和N型两款木材切割机，两款切割机每次可加工的木材尺寸和数量如下表所示： 木材尺寸 切割机型号 大尺寸 中尺寸 小尺寸 M 2块／次 4块／次 8块／次 N 不能加工 3块／次 6块／次 其中加工1块大尺寸木材的位置，可以替换为加工2块中尺寸木材或4块小尺寸木材，加工1块中尺寸木材的位置可以替换为加工2块小尺寸木材．例如：M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，也可以一次加工1块大尺寸、1块中尺寸和2块小尺寸木材．某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． （1）加工这批木材，M款切割机至少要使用 次； （2）若M型切割机加工一次费用为50元，N型切割机加工一次费用为35元，则加工完这批木材所需费用最少 元． 【答案】 2 235 【分析】该题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材，M型切割机可以一次加工2块大尺寸木材，即可得到答案； （2）将3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材，全部转化为小尺寸木材，则需要加工小尺寸木材块，设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次，则，结合，均为正整数，据此求解即可． 【详解】解：∵需要加工3块大尺寸木材，且只有M款切割机可加工大尺寸木材， 设加工这批木材，M款切割机使用x次， 则，解得：， ∵x为正整数， ∴加工这批木材，M款切割机至少使用 2 次， 故答案为：2； （2）∵某批次木材共有3块大尺寸，7块中尺寸，12块小尺寸木材． 全部转化为小尺寸木材， 则需要加工小尺寸木材块， 设M款切割机需要用m次，N款切割机需要用n次， 则，即， ∵，均为正整数， ∴有以下方案：，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ，此时加工成本为元； ∴加工这批木材成本最低为元， 故答案为：235． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，且4个整数解为：2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 13．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数取值求和，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 解得， 符合条件的所有整数为，，，， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京·月考）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式和不等式是解题的关键． ①先求出该笔订单的总金额，然后求出优惠后的金额即可； ②在促销活动中，设订单总金额为元，若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意；若，依题意可得，解得，由即可得出的最大值． 【详解】解：①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总金额为： （元）， 一次购买水果的总价已达到120元， 需要支付：（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为元， 若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意， 若，依题意可得：， 解得：， ， ， ， 即：的最大值为； 故答案为：，． 15．（25-26七年级上·北京海淀·期末）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，解题关键是分别求出不等式组中两个不等式的解集． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示出来为： 16．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再移项，合并同类项，即可作答． （2）与（1）同理得，结合方程的解是正整数，得，故，又因为为正整数，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； （2）解：设被遮挡的正整数是， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； ∵方程的解是正整数， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， 即被遮挡的正整数是． 17．（2025·北京·模拟预测）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确地求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·北京·开学考试）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到了以下消息：（分别以相应字母来对应他们本人的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E (1)请参照表中第二条文字信息的翻译方式，在表中写出其它三条文字信息的数学表达式； (2)5位同学的比赛名次依次是__________．（仿照第二条信息的数学表达式用“＞”连接） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查推理与论证问题，关键是根据题意得出结论解答． （1）根据题意列出数学表达式即可； （2）根据推理得出几位同学的名次即可． 【详解】（1）解：填表如下： 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （2）解：由（1）得四个代数式①；②；③；④； 由①和③得到一个推论⑤， 由②④得⑥， 由①得⑦，代入④得到， 整理得到⑧， 由⑤得⑨， 把⑦和⑨代入②得， 整理得⑩， 最后把⑥⑧⑩结合一起，得到． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一元一次方程和一元一次不等式组，给出如下定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，_____________（填序号）是不等式组的“子方程”； (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则这个“子方程”可以是_____________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)的取值范围是 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，解题的关键是正确理解题意． （1）解方程和不等式组，分别判断每一个方程的解是否在不等式组解集的范围内即可； （2）解不等式组，取一个整数解，依此构建方程即可； （3）分别解方程，将方程的解代入不等式组，解不等式组，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由不等式组， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴，在不等式组解集范围内， ∵ ∴， ∵，，在范围内，，不在范围内， ∴是不等式组的“子方程”， 故答案为：． （2）解：由不等式组， 解得，， 又∵不等式组的一个“子方程”的解是整数， ∴方程的解可能是或， ∴这个“子方程”可以是，答案不唯一， 故答案为：． （3）解：由，得， 由，得， ∵方程，都是关于的不等式组的“子方程”， ∴， 解得，， 答：的取值范围是． 20．（24-25七年级下·北京昌平·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”.若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”. (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）. (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______. (3)若关于x的不等式组的“解集中点”大于方程的解且小于方程的解，m的取值范围为______. 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式组的解集和两个一元一次方程的解，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①得：； 解方程②得：； 解不等式组得：， ， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， ， 故答案为：，答案不唯一； （3）解：解不等式组得：， 这个不等式组的“解集中点”为：， 解方程得：， 解方程的解为：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知方程组 (1)若原方程组中为非正数，为负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的最小的整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的求解，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法是关键； （1）先解方程组，求出，再根据为非正数，为负数得到关于a的不等式组，解不等式组即可； （2）将（1）中方程组的解代入不等式可求出a的范围，结合（1）题即可确定a的最小整数． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∵为非正数，为负数，即， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴a的最小整数解是． 22．（24-25七年级下·北京顺义·月考）定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4． (1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号） ①    ②    ③ (2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b． ①若，求整数k的值． ②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值． 【答案】(1)① (2)①整数的值为；②整数的值为2 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用，理解题意，得到正确的不等式组是解题的关键． （1）根据“核数”的定义即可解答； （2）①得到不等式组的“核数”为，再根据即可解答； ②解三元一次方程组得到，，再根据三元一次方程组的解是正数，即可解答． 【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2； 的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限； 的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1； 故答案为：①； （2）解：①， 不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3； 故， ， 不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个， ， 解得， 则整数的值为； ②根据题意可得， ①+③得，， 解得， 把代入③得，， 得， 把，代入②可得，即， 由，得， 关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数， 则， ， ， 即， 是不等式组的“核数”，为整数， ， 不等式组的整数解有6个， ， 解得， 则整数的值为2． 23．（24-25九年级下·北京·开学考试）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种， 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减70元． （如：所购商品原价为300元，可减70元，需付款230元；所购商品原价为700元，可减140元，需付款560元） （1）若购买一件原价为400元的健身器材，更合算的选择方式为活动 ； （2）若购买一件原价为元的健身器材，选择活动二比选择活动一更合算，则的取值范围是 ． 【答案】 一 或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用． （1）根据该专卖店推出两种优惠活动，求分别求出选择活动一及选择活动二需付款金额，比较后即可得出结论； （2）分，及三种情况考虑，分别列不等式解不等式可得答案． 【详解】解：（1）选择活动一需付款（元）， 选择活动二，可减70元，需付款（元）， ∵， ∴更合算的选择方式为活动一， 故答案为：一； （2）当时，选择活动二无优惠，舍去； 当时，选择活动二可减70元，需付款元， 若， 解得：， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算； 当时，选择活动二可减140元，需付款元， 若， 解得， ∴当时，选择活动二比选择活动一更合算． 综上所述，a的取值范围是或，选择活动二比选择活动一更合算． 故答案为：或． 24．（24-25七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $