考点03 向量的数量积（专项训练）高一数学人教A版必修第二册

考点03 向量的数量积 考点一：向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 考点二：向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 考点三：向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 （4）向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 考点四：向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）； （2）； （3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）； （5）或 考点五：数量积运算的运算律 （1）； （2）； （3） （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 题型一：平面向量数量积的简单计算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】平面向量，在上的投影为，则 . 【例2】是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知单位向量，的夹角为，则 . 【变式1-2】已知正六边形的边长为1，则 . 【变式1-3】如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则 ．    题型二：平面几何图形的数量积 先利用已知向量表示所求向量，然后用数量积的运算律及定义计算即可 【例3】在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 【例4】在平面四边形中，已知，则（   ） A．35 B．39 C．43 D．60 【变式2-1】在中，G为的重心，且，，则 ． 【变式2-2】在中，，，，求的值． 【变式2-3】已知任意四边形的四条边长分别为，求证：． 题型三：模的相关计算 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例5】已知向量，满足，且，，则 ． 【例6】已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【变式3-1】平面向量满足，，则的值为 【变式3-2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【变式3-3】已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 ． 题型四：夹角的相关计算 求向量,的夹角的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例7】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知，是单位向量，且在上的投影向量是，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-2】已知向量满足，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型五：平面向量的垂直问题 涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例9】已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【例10】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【变式5-2】设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【变式5-3】已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 题型六：投影向量问题 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例11】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【例12】已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 【变式6-1】在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-3】已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 题型七：平面向量数量积的最值 【例13】在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 . 【例14】P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式7-1】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 【变式7-3】在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 一、单选题 1．已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 3．已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 6．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 9．定义：平面向量，满足.若，，，则（    ） A． B．， C． D． 三、填空题 10．若向量满足，且，则的值为 . 11．起点重合，，则的取值范围为 四、解答题 12．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 13．已知四边形为的中点，，求的取值范围． 14．设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 15．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 向量的数量积 考点一：向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 考点二：向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 考点三：向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 （4）向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 考点四：向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）； （2）； （3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）； （5）或 考点五：数量积运算的运算律 （1）； （2）； （3） （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 题型一：平面向量数量积的简单计算 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 【例1】平面向量，在上的投影为，则 . 【答案】 【详解】在上的投影为，则，所以， 故答案为：． 【例2】是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，， 所以. 故选：A 【变式1-1】已知单位向量，的夹角为，则 . 【答案】0 【详解】由， 则. 故答案为：0. 【变式1-2】已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 【变式1-3】如图，在圆（为圆心）中，弦的长度为8，则 ．    【答案】 【详解】如图所示，取线段的中点，连接，则， 所以，则． 故答案为：.    题型二：平面几何图形的数量积 先利用已知向量表示所求向量，然后用数量积的运算律及定义计算即可 【例3】在中，为的中点，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】B 【详解】由为的中点，得， 又， 则． 故选：B. 【例4】在平面四边形中，已知，则（   ） A．35 B．39 C．43 D．60 【答案】B 【详解】由，则， . 故选：B. 【变式2-1】在中，G为的重心，且，，则 ． 【答案】 【详解】如图，设D为的中点，连接，则点G在上，且， 故，， 所以． 故答案为： 【变式2-2】在中，，，，求的值． 【答案】 【详解】因为， 所以． 【变式2-3】已知任意四边形的四条边长分别为，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图， 可得 ， 又，得， 所以． 题型三：模的相关计算 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 【例5】已知向量，满足，且，，则 ． 【答案】1 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. 【例6】已知向量，满足同向共线，且，，则（    ） A．3 B．15 C．或15 D．3或15 【答案】D 【详解】因为向量，满足同向共线，所以设， 又因为，，所以， 所以或，即或. ①当时，； ②当时，； 所以的值为3或15. 故选：D. 【变式3-1】平面向量满足，，则的值为 【答案】 【详解】由可得， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：. 【变式3-2】已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 【变式3-3】已知平面向量满足，，，若，则的最大值是 ． 【答案】1 【详解】由可得，即，整理得， 则，则的最大值是1，当且仅当时取最大值. 故答案为：1. 题型四：夹角的相关计算 求向量,的夹角的思路 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值；（2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 【例7】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 【例8】已知，是单位向量，且在上的投影向量是，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在上的投影向量为， ，故，， ，， . 故选:D. 【变式4-1】（多选）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【详解】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 【变式4-2】已知向量满足，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，因为，所以， 又，即， 即，即，即， 又，，所以， 解得， 又，所以. 故选：A 【变式4-3】已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 题型五：平面向量的垂直问题 涉及已知两向量的互相垂直问题,常转化为两向量的数量积为0求解,求解时要注意借助向量数量积的运算律. 【例9】已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 【例10】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 【变式5-1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【答案】 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 【变式5-2】设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【答案】 【详解】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 故答案为：. 【变式5-3】已知，，． (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，则． （2）若与垂直，则， 从而，又因为，， 所以，解得． 题型六：投影向量问题 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 【例11】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 【例12】已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 【变式6-1】在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.    故选：B 【变式6-2】非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 【变式6-3】已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 【答案】 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 题型七：平面向量数量积的最值 【例13】在平行四边形中，，，，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 【例14】P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 【变式7-1】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 【变式7-2】已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    如图，圆是边长为2的正方形的内切圆，点分别是圆和正方形的边上的点， 则， 当且仅当，共线且同向，，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式7-3】在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】在中，，所以, 因为为的中点，所以, 又因为为线段上的一个动点，所以， 所以, 当为线段上的中点时取等号， 所以则的最小值为， 故答案为：. 一、单选题 1．已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 而，则与的夹角为， 故选：B． 2．若向量，满足，，，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 则，所以. 故选：C. 3．已知非零向量满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边平方得， 所以 又，故，即， 所以，故，. 故选：C 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 故选：B. 5．已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为， 则， 又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为， 所以. 故选：B. 6．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 7．青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：取的中点，连接, 因为，所以在中，， 则． 解法二：在正五边形中，，，． ， ， ． 故选：A 二、多选题 8．已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【答案】ABD 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 9．定义：平面向量，满足.若，，，则（    ） A． B．， C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，故，C正确； D选项，，故，D错误. 故选：BC 三、填空题 10．若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 11．起点重合，，则的取值范围为 【答案】 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． 四、解答题 12．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】 【详解】（1）由已知得， 因为. 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 13．已知四边形为的中点，，求的取值范围． 【答案】． 【分析】 【详解】解法1：如图，设为的中点，插入分点，则有： ， 即的取值范围为．      解法2：运用极化恒等式，易得． 14．设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 15．已知向量，向量与的夹角为． (1)求向量与的夹角； (2)若向量，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意向量，，向量与的夹角为， ， 与垂直，即向量与的夹角为. （2）由（1）可知，而， 则 ， 当时，取得最小值45， 即的最小值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $