培优07 导数中的距离问题6种重难题型（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

培优07 导数中的距离问题 题型1 点与曲线的最小距离 1．已知二次函数，定点，求函数图象上动点到定点的最小距离． 【答案】. 【详解】设点，则， ． 解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以有两个极小值点， ． ， 所以有最小值，故函数图象上动点到定点的最小距离为. 2．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的导数为， 设，可得过的切线的斜率为， 当垂直于切线时，取得最小值， 可得，且， 可得，解得或（舍去）， 即有，解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查导数几何意义的应用、距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是 ． 【答案】3 【详解】设点，则有， 所以， 点到坐标原点的距离， 设，， 则， 在上，，在上，， 所以在时有最小值， 所以的最小值为. 故答案为：3 4．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点的坐标为，对函数求导得， 由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则， 得， 由两点间的距离公式得， 由于的最小值为，即，，解得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查根据点到曲线上一点距离的最小值求参数，解本题的关键在于分析出直线与曲线在点处的切线垂直这个条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 题型2 直线与曲线的最小距离 求曲线上动点到定直线的最短距离。 核心方法：平行切线法转化距离表达式： （1）设曲线上任意一点为，根据点到直线距离公式，构造距离函数。 （2）简化计算：因距离非负，可构造距离平方函数，可避免根号求导。 （3）求切点坐标：令曲线在该点的切线斜率等于直线斜率（即，解得切点横坐标。计算最值： （4）将切点代入距离公式，得最小（大）距离。 5．点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 令，所以， 易得函数在上单调递增，为零点，此时M的坐标为， 由点到直线的距离公式可得此时M到直线的距离为， 故点到直线的距离的最小值为. 故选:C 6．曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】的定义域为， 求导得，令得，即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为， 故答案为： 7．已知函数，函数，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】由题意可知：点到直线的距离， 因为，则的最小值即为的最小值， 构造，则， 可知在内单调递减，且，， 则，可得，， 即，可知的最小值为， 所以的最小值为. 故选：B. 8．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，得，设， 则， 所以曲线在点处且与直线平行的切线的斜率为， 又，所以，解得，所以， 此时点到直线的距离最小，如图，    距离为. 故答案为：. 9．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 对函数求导得， 令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）解法一：设点（）， 所以点到直线的距离为， 令，则， 令，得（舍去）或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取到极大值，也是最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 解法二：直线的斜率， 设（），又，令， 得，解得（舍）或，所以点的坐标为， 所以曲线上与直线平行的切线的切点为， 由题意知点到直线距离的最小值即为点到直线的距离， 又点到直线的距离， 所以点到直线距离的最小值为． 题型3 曲线与曲线的最小距离 10．若均为任意实数，且，则的最小值为（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【详解】由，可得在以为圆心，以1为半径的圆上， 又由表示点与点的距离的平方， 设过切点的切线与过的法线垂直，可得， 整理得， 设，可得， 所以函数在上单调递增，且， 所以切点为，则圆心与切点的距离为， 可得的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查了两点间距离公式几何意义的理解和应用，利用导函数求曲线上一点到圆上距离最值，利用导数判断函数单调性，进而确定解的唯一性. 11．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍. 设P（，），则. 设，. 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值是. 故选:D 12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称. 所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的. 所以的最小值即为曲线与上两点的最小值. 曲线上的点到直线的距离为 设，则. 由可得，由可得 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数，所以 由图象关于对称得：的最小值为. 故选：B 13．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 . 【答案】 【详解】曲线表示圆心为，半径的圆， 则， 令，则， 令，则， 所以单调递增，又， 所以当时，即，即在上单调递减， 当时，即，即在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，即， 所以， 所以. 故答案为： 14．记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：，设为曲线上的一点， 令过点A的切线斜率为，解得， 所以，所以点A到直线的距离为， 所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为． 故答案为：. 题型4 水平方向的最小距离 核心：水平距离即同一y值下两曲线x坐标差值的绝对值，转化为求该差值的最小值。 1．设两曲线为和，构造差值函数，求最小值。 2．去掉绝对值，令，求导得。 3．令，解得临界点，结合导数符号判断极值类型。 4．计算临界点及两曲线公共值域端点处的，最小值即为最短水平距离。 技巧：两曲线在最短距离处切线斜率相等（导数相等），可快速定位临界点；需优先确定公共y的取值范围。 15．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线与两曲线分别联解求出、两点坐标，计算得到函数表达式，对函数求导研究单调性，求出最小值 【详解】联立求解得，得到 ，设，则 令， 所以在在上单增，在上单减， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的最值. 求函数最值的五种常用方法： 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 16．直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且在上递增； ，且在上递增. 所以，且都有唯一解， ， ， 构造函数， 所以在区间递减；在区间递增. 所以的最小值为. 所以的最小值为. 故选：A 17．已知函数，直线与函数的图象分别交于点，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，将用表示，然后将转化为关于的代数式，设，利用导数求的最小值，即可求得的范围． 【详解】解：由题意可知， 由，得， 由，得， 易知， 所以． 令， 由， 得． 当时，，当时，， 则函数的增区间为，减区间为， 所以当时，取得最小值，且为， 所以要使对任意成立， 只需， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查函数与不等式的综合问题，考查考生分析、解决问题的能力． 18．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线为，则，， 而满足， 那么 设，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 故选：． 【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题． 19．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为 .（其中常数，是自然对数的底数） 【答案】 【详解】由直线分别与直线、曲线交于点A、B， 得，由，易得恒成立， 即曲线在直线的上方， 设，则 设，则， 则， ，， 当时，，当时，， 故函数在为减函数，在为增函数， 即. 故答案为: 【点睛】本题主要考查的是导数的应用，考查学生的运算求解能力，考查的而核心素养是数学运算，是难题. 题型5 竖直方向的最小距离 1．设两曲线为和，构造差值函数，问题转化为求的最小值。 2．去掉绝对值，令，对其求导得。 3．令，解得极值点，结合二阶导数或导数符号判断极值类型。 计算极值点及定义域端点处的，最小值即为最短竖直距离。 注意：需在两曲线公共定义域内求解，单调函数的最短距离出现在端点。 20．直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为 A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值. 【详解】直线分别与曲线和曲线交于，两点， 设，， 且，， ，． ，，， 令解得，（舍）， 当时，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增． 所以， 综上可知的最小值为． 故选：D. 【点睛】本题考查了导数在求函数单调性、最值中的综合应用，属于中档题. 21．设动直线与函数，的图象分别交于点，已知，则的最小值与最大值之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数， 所以， 令，则，在，，所以函数在上单调递减； 在，，所以函数在上单调递增； 所以当时，， 又当时，， 时，，因为，所以， 所以，故的最小值与最大值之积为：. 故选：D. 【点睛】方法点睛：构造函数，依据所给自变量的取值范围研究最值是解决函数应用题的一种重要方法. 22．动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， 当时，，当，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时取得最小值， 所以的最小值为， 故选：A 23．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为， 故选：D. 题型6有对称关系的最小距离 24．若，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方， 点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称， 所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方， 此时， ∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为. 故原式的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了应用了两点间距离公式，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方是解题的关键，属于中档题. 25．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 设，则， 令得， 则当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以与无交点，则与也无交点， 下面求出曲线上的点到直线的最小距离， 设与直线平行且与曲线相切的切点，， ， ，解得， ， 得到切点，到直线的距离， 的最小值为， 故选：D． 26．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】, 函数在单调递增，单调递减. 它的图像及关于直线对称的图像如图所示： 分别过P，Q作的平行线，如图虚线，由于中点在图中两条虚线的中间线上，要中点到原点的距离最小需要左边最近，右边最远，因此当两条虚线是如图所示曲线的切线时，此时切点分别是P，Q，此时P，Q的中点M到原点O的距离最小. 令，又P在y轴右侧，； 根据两条曲线的对称性，且P，Q处的切线斜率相等，点Q为点关于对称的点，可求得 因此PQ中点坐标为： 故答案为： 【点睛】本题考查了函数综合，考查了函数的对称性，单调性综合应用，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于难题． 27．设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 【答案】-1 【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称， 又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，所以， 得到切点，点到直线即的距离， 解得或3. 当时，过点和，过点和， 又，，所以与相交，不符合题意； 当时，令，则，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即恒成立， 所以与不相交，符合题意. 综上，. 故答案为：-1. 【点睛】关键点点睛：与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小. 七、 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优07 导数中的距离问题 题型1 点与曲线的最小距离 1．已知二次函数，定点，求函数图象上动点到定点的最小距离． 2．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知曲线：，点是曲线上的一点，则点到坐标原点的距离的最小值是 ． 4．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 A． B． C． D． 题型2 直线与曲线的最小距离 求曲线上动点到定直线的最短距离。 核心方法：平行切线法转化距离表达式： （1）设曲线上任意一点为，根据点到直线距离公式，构造距离函数。 （2）简化计算：因距离非负，可构造距离平方函数，可避免根号求导。 （3）求切点坐标：令曲线在该点的切线斜率等于直线斜率（即，解得切点横坐标。计算最值： （4）将切点代入距离公式，得最小（大）距离。 5．点是曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 6．曲线上的点到直线距离的最小值为 ． 7．已知函数，函数，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 8．在抛物线上有一动点，则到直线距离的最小值为 ． 9．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 题型3 曲线与曲线的最小距离 10．若均为任意实数，且，则的最小值为（    ） A． B．18 C． D． 11．已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 . 14．记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为 ． 题型4 水平方向的最小距离 核心：水平距离即同一y值下两曲线x坐标差值的绝对值，转化为求该差值的最小值。 1．设两曲线为和，构造差值函数，求最小值。 2．去掉绝对值，令，求导得。 3．令，解得临界点，结合导数符号判断极值类型。 4．计算临界点及两曲线公共值域端点处的，最小值即为最短水平距离。 技巧：两曲线在最短距离处切线斜率相等（导数相等），可快速定位临界点；需优先确定公共y的取值范围。 15．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（    ） A． B． C． D． 16．直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，直线与函数的图象分别交于点，若对任意，不等式成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 18．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知直线分别与直线、曲线交于点、，则线段长度的最小值为 .（其中常数，是自然对数的底数） 题型5 竖直方向的最小距离 1．设两曲线为和，构造差值函数，问题转化为求的最小值。 2．去掉绝对值，令，对其求导得。 3．令，解得极值点，结合二阶导数或导数符号判断极值类型。 计算极值点及定义域端点处的，最小值即为最短竖直距离。 注意：需在两曲线公共定义域内求解，单调函数的最短距离出现在端点。 20．直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为 A． B．2 C． D． 21．设动直线与函数，的图象分别交于点，已知，则的最小值与最大值之积为（    ） A． B． C． D． 22．动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6有对称关系的最小距离 24．若，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 25．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．已知P是曲线上的点，Q是曲线上的点，曲线与曲线关于直线对称，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则的最小值为 ． 27．设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $