精品解析：江西省南昌市2025—2026学年度第一学期九年级期末测试数学试卷

2025—2026学年度第一学期期末测试卷 九年级（初三）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. “2025年2月共有30天”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 不确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．2月天数最多29天（闰年），不可能达到30天，故该事件不可能发生，为不可能事件． 【详解】解：∵ 2月天数仅可能为28天或29天，从未有30天， ∴ “2025年2月共有30天”不可能发生，为不可能事件． 故选：B． 2. 下列烟花图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 使用配方法解方程，将方程左边配成完全平方式，右边为常数． 【详解】解：∵方程是， ∴移项得， ∴配方得， 即． 故选：A． 4. 如图，大圆O与小圆O的半径分别为，若点P在圆环内（阴影部分，不含边界），则点P到圆心O的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，解题的关键是理解点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则，当点在圆上时，则；当点在圆内时，则． 根据点与圆的位置关系，判断点P到圆心的距离，即可求解． 【详解】解：∵大圆O与小圆O的半径分别为，若点P在圆环内（阴影部分，不含边界）， ∴点P到圆心O的距离的取值范围是， ∴符合题意． 故选C． 5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．要判断直线与的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析． 通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断位置关系． 【详解】解：∵直线与y轴的交点是， ∴， ∴定点B在上， ∴圆心到直线的距离一定不大于， ∴直线（k为常数）与的位置关系为相切或相交． 故选：D． 6. 若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，通过两个函数关系式描述同一运动，顶点处的最大高度相等，建立方程求解． 【详解】解：∵ 两个函数关系式描述同一小球的运动， ∴ 最大高度相等， 从得最大高度， 从得最大高度， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用概率估计频率，概率公式，根据概率的定义，对于一枚公平硬币，正面向上的概率是等可能事件中的有利情况数与总情况数的比值． 【详解】解：抛掷一枚硬币，所有可能的结果有2种：正面向上或反面向上，且每种结果出现的可能性相等，因此正面向上的概率为，当抛掷次数足够多时，频率会稳定在这个概率附近， 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有一根为2，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由于一元二次方程缺少一次项，根据根与系数的关系，两根之和为零，已知一根为2，故另一根为． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得， ∴， 即另一根为． 故答案为：． 9. 如图，是内接正n边形的一条边，若圆周角，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键． 如图，点D在圆上，连接、、、，先根据圆内接四边形的性质得，再由圆周角定理得，再根据正多边形的边数“中心角”，即可求出n的值． 【详解】解：如图，点D在圆上，连接、、、， ∵， ∴， ∴， ∵是内接正n边形的一条边， ∴． 故答案为：3． 10. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关于原点对称点的性质，先利用因式分解法解一元二次方程，然后由方程有两个相等的实数根，得出的值，得到点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：， ∴，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 【答案】2或或 【解析】 【分析】如图1所示，连接，利用矩形的性质和勾股定理可求出，可证明，，当三点共线时，有最小值，最小值为2，此时满足题意；当三点不共线时，，则当为等腰三角形，只存在这种情况，故点在线段的垂直平分线上；再分点在矩形内部和点在矩形外部两种情况，画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为2， 此时，满足为等腰三角形， ∴此时边上的高为的长，即为2； 当三点不共线时，， ∴当为等腰三角形，只存在这种情况， ∴点在线段的垂直平分线上； 如图2所示，当点在矩形内部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时边上的高为； 如图3所示，当点在矩形外部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时边上的高为； 综上所述，该等腰三角形边上的高为2或或； 故答案为：2或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形三边的关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】（1），；（2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程及二次函数的性质． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用顶点式直接写出点的坐标及对称轴即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 14. 为响应学校“启迪润智迎新年，同心逐梦向未来”的号召，某班班主任将本班学生分成四组：灵健组、灵动组、灵趣组、灵智组，学生加入哪个组由电脑程序随机自动生成．该班甲、乙两位同学的愿望是进入同一组． （1）甲同学进入灵健组的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学实现愿望的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有四个组，“甲同学进入灵健组”有一种情况， ∴甲同学进入灵健组的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记灵健组、灵动组、灵趣组、灵智组四个组分别为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学进入同一组的结果有4种， 故甲、乙两位同学实现愿望的概率为． 15. 如图，在中，，，现将绕着点A逆时针旋转一定的角度（）得到，连接，若． （1）求旋转角的度数； （2）求点B运动的路径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质及弧长的计算方法是解题的关键． （1）由可得，由旋转可得，可得，利用三角形内角和即可求解． （2）由旋转可得点B运动的路径为圆弧，利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转可得，，， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 【小问2详解】 解：由题意得，点B运动的路径长． 16. 3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” （1）哪位同学说的对？请说明理由； （2）把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 【答案】（1）丙说的对 （2）900 【解析】 【分析】本题考查的是树状图法求概率的知识，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三人抽中的情况，然后利用概率公式求得他们抽中的概率，即可得出结论； （2）根据甲抽到黑桃的次数试验总次数甲抽到黑桃的概率，即可得出答案 【小问1详解】 解：丙说的对，理由如下： 设3张扑克牌为A、B、C，A为黑桃， 画树状图得： 则所有可能出现的结果有：，，，，，共6种． 甲得到奖励的结果有2种，P（甲中签）； 乙得到奖励的结果有2种，P（乙中签）； 丙得到奖励的结果有2种，P（丙中签）． 因此先抽的人与后抽的人得到奖励的概率相同； 【小问2详解】 解：根据题意得（次）， 答：估算甲抽到黑桃大约900次． 17. 如图，平行四边形的顶点A，B都在上，延长交于点E，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作与边相等的弦； （2）在图2中，作线段，使（F为（1）中弦的端点）． 【答案】（1）如图， （2）如图，则线段即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交于点，连接，则弦即为所作； （2）连接、，连接、交于点，则线段即为所作． 【小问1详解】 解：延长交于点，连接，则弦即为所作， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∴弦即为所作； 【小问2详解】 解：连接、，连接、交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由（1）可得：四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所作． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 活动主题：三角点阵中前n行的点数计算． 活动过程：如图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行． （1）探究点数与行数的规律 第一行有______个点，第二行有______个点，……，第n行有______个点； （2）探究点数和与行数的规律 前4行的点数和为______，前n行的点数和为______； （3）根据规律解决问题 这个三角点阵中前n行的点数之和能是300吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1）1；2；n （2）10； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）根据三角形点阵数点数，再根据规律可得解； （2）前4行共有个点；前n行共有个点，然后求它们的和即可； （3）由（2）得，求n的值即可． 【小问1详解】 解：第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点； 故答案为：1；2；n； 【小问2详解】 解：前4行的点数和为：， 前n行的点数和为：， 故答案为：10；； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 整理得， ， ∴，， ∵n为正整数， ∴． 答：300是前24行的点数之和． 19. 如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，． （1）求证：是的切线； （2）点C是优弧上一点，连接，，设． ①求的大小（用表示）； ②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的切线，切点为A， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据证明，得到，即可证明是的切线； （2）①先求出，再根据圆周角定理作答即可； ②根据菱形的性质得到，，即可求出，，根据全等三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴ ， ∴； ②如图，连接，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去） ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积公式，度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20. 已知抛物线与轴的公共点是，（），顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线绕着点旋转得到抛物线． ①当时，直接写出抛物线的解析式； ②若抛物线上恰好存在3个点，使，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、旋转的性质： （1）根据抛物线与轴的公共点是，得到顶点式，根据对称轴求出，代入顶点坐标得到解析式； （2）①用中点坐标公式算出对称顶点，利用抛物线绕点旋转后开口方向相反即可得到解析式； ②说明直线的斜率为或，代入的坐标，得到两条直线方程，求出旋转后的解析式，根据条件可知直线与抛物线相切，联立方程，用判别式求解，结合即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的公共点是，， 则抛物线的表达式为：， 即， 对称轴为， 是顶点坐标， ， 解得：， 抛物线的表达式为：， 将代入，得 解得：， 抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 ①抛物线，其顶点为， 当时，点关于点对称的点的坐标为：设， 根据中点坐标公式， 解得， 即， 抛物线绕点旋转后开口方向相反， 抛物线的解析式为． ②抛物线，其顶点为， 点关于点对称的点的坐标为， 抛物线的解析式为， ， 直线的斜率为或， 设直线的方程为或， 直线过点， 把代入， 得， 解得， 直线方程为； 把代入， 得， 解得， 直线方程为， 抛物线上恰好存在3个点，使， 两条直线中一条与抛物线相切（1个交点），另一条与抛物线有两个不同的交点， 直线或与抛物线相切， 联立， 得， 整理得， 相切， ， 解得， 抛物线的解析式为， 联立， 得， 整理得：， ， 与抛物线有两个不同的交点， 共计三个交点，符合题意； 联立， 得， 整理得， 相切， ， 解得， ， 舍去． 综上所述，． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 【课本再现】 （1）如图1，矩形的对角线相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； 【类比迁移】 （2）如图2，和是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 （3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是和． 求证：直线，的外接圆相交于一点． 【答案】 （1）证明：∵矩形的对角线相交于点O， ∴，， 则， 即A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； （2）选图①： 取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； 选图②：取的中点，连接， ∴， ∵和是有公共斜边的直角三角形， ∴ 即， ∴A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点； （3）证明：连接，并延长交于一点，且交于点，如图所示： ∵，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， 即A，B，C，H四个点是在同一个圆上， ∴直线，的外接圆相交于一点，即该点为点． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质：对角线互相平分且相等，得，即可作答． （2）选图①：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点，选图②：运用斜边上的中线等于斜边的一半，得出即，故A，B，C，D四个点是在同一个圆上，且这个圆的圆心为点， （3）先连接，并延长交于一点，且交于点，结合等腰直角三角形的性质，证明，则，运用三角形内角和性质得，则，，故A，B，C，H四个点是在同一个圆上，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，90度的圆周角所对的弦是直径，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末测试卷 九年级（初三）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的代号填涂在答题卷上） 1. “2025年2月共有30天”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 不确定性事件 2. 下列烟花图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，大圆O与小圆O的半径分别为，若点P在圆环内（阴影部分，不含边界），则点P到圆心O的距离可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交 6. 若小球飞行的高度与水平距离、飞行时间的函数关系式分别为，，则v的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若抛掷1枚硬币的次数足够多，出现“正面向上”的频率会稳定在一个常数（概率）附近，则这个常数为______． 8. 若关于x的一元二次方程有一根为2，则另一个根为______． 9. 如图，是内接正n边形的一条边，若圆周角，则______． 10. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为______． 12. 如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 14. 为响应学校“启迪润智迎新年，同心逐梦向未来”的号召，某班班主任将本班学生分成四组：灵健组、灵动组、灵趣组、灵智组，学生加入哪个组由电脑程序随机自动生成．该班甲、乙两位同学的愿望是进入同一组． （1）甲同学进入灵健组的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学实现愿望的概率． 15. 如图，在中，，，现将绕着点A逆时针旋转一定的角度（）得到，连接，若． （1）求旋转角的度数； （2）求点B运动的路径长． 16. 3张扑克牌中只有1张黑桃，甲、乙、丙3位同学依次抽取，抽到黑桃的有奖励．甲说：“我第1个抽，得到奖励的概率最小．”乙说：“还好，我第2个抽，得到奖励的概率虽然比丙小，但要比甲大．”丙说：“大家不用担心，我们得到奖励的概率与抽取顺序无关，是一样大的．” （1）哪位同学说的对？请说明理由； （2）把“甲、乙、丙3位同学依次抽取完3张扑克牌”看作一次试验，若甲、乙、丙3位同学重复该试验2700次，估算甲抽到黑桃大约多少次？ 17. 如图，平行四边形的顶点A，B都在上，延长交于点E，若，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，作与边相等的弦； （2）在图2中，作线段，使（F为（1）中弦的端点）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 活动主题：三角点阵中前n行的点数计算． 活动过程：如图是一个三角形点阵，从上往下数有无数多行． （1）探究点数与行数的规律 第一行有______个点，第二行有______个点，……，第n行有______个点； （2）探究点数和与行数的规律 前4行的点数和为______，前n行的点数和为______； （3）根据规律解决问题 这个三角点阵中前n行的点数之和能是300吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 19. 如图，是的切线，切点为A，点B在上，不与点A重合，． （1）求证：是的切线； （2）点C是优弧上一点，连接，，设． ①求的大小（用表示）； ②已知，若四边形为菱形，试求图中阴影部分的面积． 20. 已知抛物线与轴的公共点是，（），顶点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线绕着点旋转得到抛物线． ①当时，直接写出抛物线的解析式； ②若抛物线上恰好存在3个点，使，求的值． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 【课本再现】 （1）如图1，矩形的对角线相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上； 【类比迁移】 （2）如图2，和是有公共斜边的直角三角形，判断A，B，C，D四个点是否在同一个圆上，若在，指出圆心的位置，并结合图2①或②中的其中一个说明理由；若不在，请举出一个反例； 【拓展延伸】 （3）如图3，以点C为直角顶点画两个等腰直角三角形，分别是和． 求证：直线，的外接圆相交于一点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $