2.5.2 第2课时 切线的性质 课件 2025-2026学年湘教版 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“切线的性质”，通过复习切线定义及判定方法（唯一公共点、距离等于半径、判定定理）搭建学习支架，引导学生从已知切线判定过渡到性质探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于采用“观察-猜想-证明-应用”教学路径，通过量角器测量直观感知、反证法严谨推理证明性质定理，结合例题解析、基础练习及中考专练，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。小结提炼性质及“见切线连切点得垂直”辅助线技巧，助力学生提升逻辑推理与解题能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 2.5.2 第2课时 切线的性质 第2章 圆 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月31日 2026年1月31日星期六7时57分10秒 2026年1月31日星期六7时57分11秒 复习引入 1. 什么是圆的切线? 2. 判断一条直线是圆的切线有哪些方法? 直线与圆只有一个公共点，那么这条直线叫作圆的切线. ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理． 即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 问题1 如果直线 l 是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么切线 l 和半径 OA 垂直吗？ A l O 合作探究 切线的性质 大家可以先用量角器量量看. 两者成 90°角，也就是说切线 l 与半径 OA 垂直. 用量角器量得切线 l 与半径 OA 所成的角为 90°，即切线 l 与半径 OA 垂直. 如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点， 切线 l 与半径 OA 垂直吗？ 如图，直线 l 是⊙O 的切线，A为切点， 切线 l 与半径 OA 垂直吗？ 下面我们用反证法来证明这个结论. 假设直线 l 与半径 OA 不垂直. 过圆心 O 作 OB ⊥ l 于点 B. 由于垂线段最短， 可得 OB ＜ OA， 那么圆心 O 到直线 l 的距离小于半径， 即直线 l 与⊙O 相交. 这与已知直线 l 是 ⊙O 的切线相矛盾. 因此直线 l ⊥ OA. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 对于任意一条直线，如果具备下列条件中的两个，就可以推出第三个结论： （1）垂直于切线； （2）经过切点； （3）经过圆心. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，BD 和过点 C 的切线 CD 垂直，垂足为D.求证：BC 平分∠ABD． 证明: 连接 OC. ∵ CD 是⊙O 的切线， ∴ OC⊥CD . 又∵ BD⊥CD ， ∴ BD∥OC . 【教材P68页】 ∴ ∠1 =∠2 . 又OC = OB ， ∴ ∠1 =∠3 . ∴ ∠2 =∠3 ， 即 BC 平分∠ABD. 证明：经过直径两端点的切线互相平行． 已知：如图，AB 是⊙O 的直径， l1，l2 分别是经过点 A，B 的切线． 求证：l1∥l2 ． 证明: ∵ OA 是⊙O 的半径， l1是过点 A 的切线， ∴ l1⊥OA． 同理 l2 ⊥ OB． ∴ l1⊥ AB，且 l2⊥ AB． ∴ l1∥l2 ． 【教材P68页】 练习 如图，两个同心圆的圆心是 O，大圆的弦 AB 所在直线 切小圆于点 C. 求证：点 C 是线段 AB 的中点． 证明：连接 OC，OA，OB. ∵ AB 是小圆的切线，切点为 C， ∴ OC⊥AB. 又∵在大圆中，OA＝OB， ∴ 点 C 是线段 AB 的中点. 【教材P69页】 2. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点 B 的切线 与 AD 的延长线交于点 C，且 AD = DC. 求∠ABD 的度数. 【教材P69页】 解： ∵ CB 是⊙O 的切线， 切点为 B， ∴ AB⊥BC. ∵ AB为⊙O 的直径，∴ ∠ADB = 90°. 又∵ AD＝DC， ∴ 在Rt△ABC 中， DB＝AD＝DC， ∴ ∠ABD = 45°. 返回 B 1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝25°，则∠ABO的度数为(　　) A．35°　　 B．40° C．50°　　 D．55° 中考考法 13 中考考法 14 【点拨】A.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.故A正确；B.∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，∴CA⊥AB，即∠CAB＝90°.故B正确； 中考考法 【答案】 ABD 返回 中考考法 3．[2025福建]如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P＝30°，则∠BCP的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 中考考法 17 【点拨】如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AP.∵∠P＝30°，∴∠POA＝90°－30°＝60°.∵AB∥PC，∴∠POA＝∠OAB＝60°.∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°－∠POA－∠AOB＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°.故选C. 【答案】 C 返回 中考考法 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为________． 105° 返回 中考考法 19 5．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝60°，BC＝3，则线段AE的长为________． 3 中考考法 20 6. “板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD. 中考考法 21 (1)求证：∠ADC＝∠DBC； 【证明】如图，连接OD.∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠DBC＝∠ADB＋∠OAD＝90°＋ ∠OAD， ∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°＋∠ODA， ∴∠ADC＝∠DBC. 中考考法 22 中考考法 23 切线的 性质 有1个公共点 d=r 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 性质定理 2. 如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD的延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列结论正确的是(　　) A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝BC C.∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴BD＝AB.故C错误；D.∵AC＝AB，AD⊥BC， ∴CD＝BD.∵∠CAB＝90°，∴AD＝BC，故D正确． (2)若测得CD＝2，tan C＝，求BD的长． 【解】由(1)可知∠ODC＝90°，在Rt△ODC中，tan C＝ ＝＝，∴OD＝1，∴OA＝1，AB＝2.在Rt△ODC中，由勾股定理得OC＝＝＝3，∴CA＝4. $