专题三 10 磁场 讲义 -2026届高考物理二轮复习

专题三 电场与磁场 10.磁场 高考真题 1．（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【详解】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则 其中， 由AB选项分析可知，所以 则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 可得，故D正确。 故选AD。 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 核心突破 突破1. 磁场的基本性质　安培力 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.磁场的产生与叠加 2.安培力的分析与计算 方向 左手定则 电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电流相互排斥 大小 直导线 F=BILsin θ，θ=0时F=0，θ=90°时F=BIL 导线为 曲线时 等效为ac直线电流 受力 分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程 例题1. 如图是一个表面绝缘的“8”字形封闭线框ABCD（交叉处彼此绝缘），上下两部分结构对称，且均为等腰三角形。线框通过细线悬挂在弹簧测力计的下端，并通有沿ABCDA方向的电流。开始时，AB边恰好位于匀强磁场的上边界。现将线框沿竖直方向缓慢上提，直到CD边恰好位于匀强磁场的上边界，此过程中弹簧测力计的示数F（　　） A．一直变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．先变大后变小 【答案】A 【详解】初始时，AB边在磁场上边界处，此时线框在磁场中的部分，等效电流方向向左，所受安培力方向竖直向下，则有BIL+mg=F 线框上移过程中，交叉点离开磁场前，有效长度L减小，所以F减小；交叉点离开磁场后，线框在磁场中的部分，等效电流方向向右，所受安培力竖直向上，则有BIL+F=mg 线框上移过程中，CD边到达磁场边界前，有效长度L增大，所以F继续减小。 故选A。 例题2.如图所示，MN、PQ为水平放置的平行导轨，静止的导体棒ab垂直放置在导轨上并通以从b到a的恒定电流，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝，在竖直平面内加与导体棒ab垂直的匀强磁场，发现无论磁感应强度多大都不能使导体棒运动，则磁场的方向与轨道平面的夹角最大为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【详解】无论磁感应强度多大，即无论安培力多大，导体棒都不能运动，故安培力斜向下方，对导体棒受力分析如图所示，由题意可知，安培力的水平分力不大于导体棒与导轨间的最大静摩擦力，即 当磁感应强度足够大时，由数学关系可知 即当时，无论安培力多大，导体棒都不能运动 因为，得 故选A。 突破2. 带电粒子在匀强磁场中的运动 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本 思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本 公式 qvB=m，T= 重要 结论 r=，T= 圆心的 确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的 确定 方法一：由物理公式求，由于Bqv= 所以半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的 求解 方法一：由圆心角求，t=·T 方法二：由弧长求，t= 2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论 (1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)。 (2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 (3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α1=α2)。 3.带电粒子在磁场中运动的多解成因 (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)速度不确定形成多解； (4)运动的周期性形成多解。 例题3. 如图所示，直角区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），。一带正电的粒子以的速度从点沿方向射入磁场，从边射出且半径最大，粒子在磁场中运动的时间为；若仅将区域内磁场的方向反向，同样的粒子以的速度从点沿方向射入磁场，同样从边射出且半径最大，粒子在磁场中的运行时间为。不计粒子重力。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设AC边长为，一带正电的粒子以的速度从A点沿AB方向射入磁场，从AC边射出且半径最大，画出粒子运动轨迹如图1所示 由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径，粒子在磁场中轨迹圆弧的圆心角， 在磁场中的运动时间 同样的粒子以的速度从C点沿CB方向射入磁场，同样从AC边射出且半径最大, 画出粒子运动轨迹如图2所示 由几何关系可知，粒子运动的轨迹半径，粒子在磁场中轨迹圆弧的圆心角， 在磁场中的运动时间 AB．粒子在磁场中运动过程中，洛伦兹力提供向心力 可得 所以，AB错误； CD．，C正确，D错误。 故选C。 例题4.如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知磁感应强度为时，带电粒子在磁场中运动有， 解得粒子的运动半径和周期分别为， 粒子在磁场中偏转角为，则运动时间 由几何关系可知 当把磁感应强度变为原来的3倍后，同理可得粒子的运动半径和周期分别为， 由几何关系可知粒子在磁场中的偏转角度为，运动时间 则 故选C。 突破3. 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题 1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 3.常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 磁聚焦与 磁发散 　　　磁聚焦　　　　　　磁发散 粒子速度大小相同，轨迹圆半径等于区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行出射——磁发散 例题5. 某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 【答案】D 【详解】A．a离子加速过程 解得，故A错误； B．b离子加速 解得 磁场中轨道半径 离子沿y轴入射时，打在底片上的位置为2rb；沿与y轴成角入射时，水平位移为 亮线长度为 代入，得亮线长度，故B错误； C．磁场中，洛伦兹力提供向心力，得轨道半径 则轨道半径 离子沿与y轴成角入射时，打在x轴上的水平位移为 沿y轴入射时，水平位移为 a离子的最小水平位移（沿角入射） b离子的最大水平位移（沿y轴入射） 两种离子的最近距离为，故C错误； D．要完全分辨，需满足 通过半径公式推导，可得，故D正确； 故选D。 例题6.利用磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场下方有一长度为R的线状粒子源GH，其左边界G与竖直半径MO共线，该粒子源不断射出速度竖直向上、速度大小范围为的粒子，粒子带电量均为，质量均为m。在沿半径MO入射的粒子中，速度大小为的粒子恰好从O点正右方的N点离开磁场。不计粒子重力及粒子间相互作用力，求： （1）匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）圆形磁场中，有粒子通过的区域的面积S； （3）在圆形磁场右侧有一长度为无限长的竖直挡板CD，中心小孔与N点重合，CD右侧1.6R处是竖直长度为2R的竖直荧光屏PQ，其中心点与N等高。CD右侧空间加有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，若线状粒子源GH只发射速度竖直向上、速度大小为的粒子，射出的粒子在GH间均匀分布，所有通过小孔N的粒子打在荧光屏PQ上都被吸收。求荧光屏上有粒子打到区域的长度d及能打到荧光屏上的粒子数与通过小孔N的粒子数之比。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由题可知，在沿半径MO入射的粒子恰好从O点正右方的N点离开磁场，该粒子圆周运动的轨道半径 由于洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）当粒子以入射时，则此时的轨道半径 解得 有粒子通过的区域如图中阴影部分的面积 则 所以 （3）所有粒子都通过N打到荧光屏上，磁场强度不变，因此粒子的轨道半径都是R粒子到达 N 点时的速度方向在沿竖直向上到水平向右 的范围内，如图所示，从粒子源H射出粒子通过N点时速度竖直向上，到达荧光屏上的E点，由几何关系可知E、点距离为 从K点进入圆形磁场的粒子过N点后轨迹与荧光屏相切于F点，则F为荧光屏上粒子打到的最低点，由几何关系可知 、F点距离为 故荧光屏左侧有粒子打到的区域长度为 设轨迹与荧光屏相切的粒子在 N 点速度方向与竖直成角，则 故 突破4.复合场中的摆线运动 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 3.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理 －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0 qBx＝mvy1－mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 例题7. 如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。 答案　　 解析　方法一　“配速法” 这个运动之所以复杂是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动就是匀速圆周运动，我们就可以设法将其分解为匀速圆周运动。粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡：Bqv＝Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨迹半径r＝，所以ym＝2r＝，vm＝2v＝。 方法二　动能定理＋动量定理 带电粒子在运动中，只有静电力做功，当其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有 qEym＝m ① 粒子沿竖直方向上的速度产生水平方向的洛伦兹力， 即F洛x＝qBvy 取沿水平方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有 F洛xΔt＝qBvyΔt＝mΔvx， 式中vyΔt表示粒子沿竖直方向运动的距离。 因此，等式两边对粒子从离开M点到第一次最远的过程求和有 qBym＝mvm ② 联立①②两式，解得vm＝，ym＝。 例题8. 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn。 答案　B 解析　 设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn， 在电场中，根据动能定理有 nqEd＝m 解得vn＝ 在磁场中由动量定理有qvxBΔt＝mΔvy 即qΔxB＝mΔvy 两边累加得qxB＝mvy，其中x为在磁场中的水平位移，x＝nd 联立得vy＝，sin θn＝ 得：sin θn＝B。 素养提升 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 实战演练 一、单选题 1．如图所示，倾角一定的两根平行且粗糙的金属导轨固定在水平面上，两导轨的顶端接有电源和滑动变阻器。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中（图中未画出）。有一金属杆ab在导轨上保持静止。下列判断正确的是（　　） A．增大接入电路中的阻值，金属杆ab受到的支持力一定变大 B．减小接入电路中的阻值，金属杆ab受到的静摩擦力一定变大 C．增大接入电路中的阻值，导轨对金属杆ab的作用力一定变大 D．仅将电源正负极对调，金属杆ab仍可能保持静止 【答案】D 【详解】A．设导轨的倾角为，金属杆的质量为，长度为，磁感应强度为，流过金属杆的电流为，根据左手定则可知金属杆所受的安培力方向水平向右，受力分析如图所示 金属杆ab受到的支持力 其中，增大接入电路中的阻值，则流过金属杆的电流变小，则金属杆ab受到的支持力变小，故A错误； C．导轨对金属杆的作用力等于金属杆所受重力和金属杆所受的安培力的合力，增大接入电路中的阻值，则流过金属杆的电流变小，则金属杆ab受到的安培力变小，根据力的合成可知金属杆所受重力和金属杆所受的安培力的合力变小，则导轨对金属杆ab的作用力一定变小，故C错误； B．若初始时，，则金属杆所受的静摩擦力沿着斜面向上，减小接入电路中的阻值，流过金属杆的电流变大，则金属杆ab所受的安培力增大，则金属杆所受的静摩擦力变小； 若初始时，则金属杆所受的静摩擦力沿着斜面向下，减小接入电路中的阻值，流过金属杆的电流变大，则金属杆ab所受的安培力增大，则金属杆所受的静摩擦力变大，故B错误； D．仅将电源正负极对调，根据左手定则可知，金属杆所受的安培力水平向左，如图所示 设金属杆与导轨间的动摩擦因数为，只需要满足，金属杆仍可知静止在导轨上，故D正确。 故选D。 2．两个完全相同的竖直弹簧秤，下方悬挂一粗细均匀的水平直导线ab，长度为L。整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示。若在ab中通入由a到b的恒定电流，电流强度为I，稳定后弹簧秤的示数为，若将电流反向，电流强度变为，稳定后弹簧秤的示数为，两次弹簧均处于伸长状态，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．直导线ab的质量为 D．匀强磁场的磁感应强度B的大小为 【答案】C 【详解】设直导线ab的质量为m，匀强磁场的磁感应强度为B。 根据题意，和是单个弹簧秤的示数，由于有两个完全相同的弹簧秤，所以弹簧秤对导线的总拉力在两种情况下分别为和。 情况一： 电流由a到b，强度为。 根据左手定则，导线ab受到的安培力方向竖直向上，大小为 导线处于平衡状态，受力分析可得 情况二： 电流反向，由b到a，强度变为。 根据左手定则，导线ab受到的安培力方向竖直向下，大小为 导线处于平衡状态，受力分析可得 联立方程进行求解， 即，， 故选C。 3．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为，方向竖直向下，磁感应强度大小为，方向垂直纸面（图中未画出）。一个电子由点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中、和分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．由点至点的运动过程中，电子的速度逐渐增大 C．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过点 D．电子的初速度只需大于即可形成图示轨迹 【答案】B 【详解】A．电子带负电，电场强度方向竖直向下，所以电子所受电场力方向竖直向上，电子从点水平向右射入后轨迹向下偏转，说明初始时刻电子所受洛伦兹力竖直向下，且满足，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B．电子由点至点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，根据动能定理，动能增加，所以电子的速度逐渐增大，故B正确； C．如果只将电子换成质子，质子带正电，受电场力方向竖直向下，初始时刻洛伦兹力方向竖直向上，因为洛伦兹力大于电场力，粒子将向上偏转。之后洛伦兹力随速度方向变化，将质子的速度分解为“洛伦兹力与电场力平衡的匀速直线运动”和“垂直于该方向的匀速圆周分运动”，质子做旋进运动，因为质子的质量远大于电子的质量，根据圆周运动公式有， 所以质子运动的半径和周期远大于电子，则质子经过最低点的位置将远远超过Q点，故轨迹不可能经过Q点，故C错误； D．电子的初速度，这是电子初始向下偏转的必要条件，但是若要形成图中所示的轨迹，电子在运动过程中必须始终存在合适的水平向右的分速度和垂直于该方向的匀速圆周分速度，如果电子的初速度过大，轨迹将出现打结、绕圈，与题图所示的平滑摆线轨迹不符，故D错误。 故选B。 4．如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的洛伦兹力始终为零 B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功 C．小球的速率先增大后减少 D．管壁对小球的弹力方向先竖直向上，后竖直向下 【答案】D 【详解】AD．当小球运动到ab中点时，磁感线的切线方向与小球速度方向平行，小球所受洛伦兹力为零；小球自a点到ab中点，所受洛伦兹力竖直向下，绝缘管壁对小球的弹力竖直向上；小球从ab中点至b点，所受洛伦兹力竖直向上，绝缘管壁对小球的弹力竖直向下，故A错误，D正确； BC．如图为俯视图，根据右手螺旋定则，磁感线如图所示 小球在磁场中受到洛伦兹力和弹力作用，洛伦兹力和弹力不做功，小球速率不变，故BC错误。 故选D。 5．如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v经过S点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒子的出射点分布在四分之一圆周SP上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．粒子的比荷为 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上 【答案】C 【详解】A．出射点分布在四分之一圆周SP上，根据左手定则知，粒子带正电，故A错误； B．根据题意可知从P点射出的粒子在磁场中的运动轨迹为半圆，其直径是最长的弦，轨迹半径为 根据 得 故B错误； C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D．若入射粒子的速率为2v，分析可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为，大于磁场圆半径，故出射点将分布在整个圆周上，故D错误。 故选C。 6．我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”，如图甲所示。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地磁场影响，与空气分子作用的发光现象。若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如图乙所示（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距）。下列说法正确的是（    ） A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大 B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的运动半径越大 C．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距不变 D．漠河地区看到的“极光”将以顺时针方向（从下往上看）向前旋进 【答案】D 【详解】A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，在洛伦兹力作用下的偏转半径 会变小，故A错误； B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，则半径变小，故B错误； C．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动。若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角变小，则速度的垂直分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减少，即直径D减小。而速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距将增大。故C错误。 D．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，宇宙粒子入射后，由左手定则可知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，故D正确。 故选D。 二、多选题 7．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式上，空中无人作战方队通过天安门广场，接受祖国和人民检阅。霍尔元件已广泛应用于无人机的各个部分，如图所示，一块宽为、长为，高为的霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入方向向右的恒定电流时，元件处在垂直于上下表面方向向下的匀强磁场中，元件的前、后表面间出现稳定电压。则（　　） A．霍尔元件前表面的电势比后表面的高 B．霍尔元件前、后表面间的电压与无关 C．霍尔元件前、后表面间的电压与成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 【答案】AD 【详解】A．由左手定则可知电子向后表面偏转，即后表面电势低，故霍尔元件前表面的电势比后表面的高，故A正确； BC．根据 因为 联立解得 可知霍尔元件前、后表面间的电压与有关，与c无关，故BC错误； D．以上分析可知自由电子受到的洛伦兹力大小为，故D正确。 故选AD。 8．如图所示，在真空中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场内点有一粒子源，可以不断释放初速度可忽略不计、质量为、带电量为的带电微粒。在磁场中点下方设置一水平探测板，为在探测板上的投影点，在其右侧有带电微粒到达点。逐渐增大板与点间的距离，当距离增大至时，探测板恰好没有带电微粒到达。已知知探测板面积足够大，不计微粒间的相互作用，微粒打到探测板上后即被吸收，重力加速度为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．磁场磁感应强度大小为 C．当探测板到点间的距离为时，微粒在磁场中运动的时间为 D．当探测板到点间的距离为时，微粒打在探测板上时速度的大小为 【答案】ABC 【详解】A．粒子离开粒子源在重力作用下加速受洛伦兹力向右偏转，故粒子带正电，A正确； B．因粒子初速度不计，运用“配速法”将粒子在叠加场中的运动分解为： 水平向右的匀速直线运动，其速度为 水平向左速率为 因受磁场力作用做逆时针匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得 因当探测板与点间的距离为时，探测板恰好没有带电粒子到达，故 解得 B正确； C．由周期公式 解得 当探测板与点间的距离为时，粒子自离开粒子源至达到探测板上所经历的时间为 C正确； D．而粒子打到探测板上时的速度大小为 D错误。 故选ABC。 9．自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 【答案】BD 【详解】A．由得，由于是的函数，随增大而变化，故不断变化，因此电子做非匀速圆周运动，故A错误； B．电子运动过程中，磁场不做功，速度不变，则从点（0，0，0）到点（0，a，0）的加速度大小变化和从点（0，a，0）到点（0，2a，0）的加速度大小变化相同；电子的运动具有对称性，从点（0，0，0）到点（0，a，0）电子的运动轨迹与从点（0，a，0）到点（0，2a，0）轨迹对称，但分居两侧，故B正确； C．由于是的函数，随增大而变化，且电子在每一对永磁体组成的磁场区域中的运动不是完整的匀速圆周运动，电子穿过扭摆磁铁的时间不等于，故C错误； D．由磁场可知沿轴方向磁场的变化周期为，和两个电子沿方向的间距相同，在同一时刻，它们在磁场中运动情况相同，因此辐射出的电磁波相位相同，故D正确。 故选BD。 10．在中国古代，人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用以辨别方向，如今在科学研究中，科学家常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，某一竖直平面存在上、下宽度分别为和d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场沿水平方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场内紧贴上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点（图甲中未画出）时粒子的运动轨迹正好与下边界相切。若以上电场和磁场同时存在于一足够大的区域，如图乙所示，重新让粒子从O点由静止释放，经过时间t粒子第一次到达最低点N。下列说法正确的是（　　） A．图甲中粒子从O点运动到P点的时间为 B．图乙中粒子经过N点时速度大小为 C．图乙中O、N两点的竖直距离为d D．图乙中O、N两点的水平距离为 【答案】BD 【详解】A．图甲中，设粒子在磁场中的速率为v，做圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 由几何关系可得R＝d，联立解得v＝ 粒子在电场中的运动时间为t1＝＝ 在磁场中运动到P点的时间为t2＝＝ 则图甲中粒子从O点运动到P点的时间为t总＝t1＋t2＝，故A错误。 BCD．法一：图甲中，在电场中，由动能定理有qE·＝mv2－0 解得E＝ 图乙中，将粒子从O到N的过程中某时刻的速度分解为水平向右的分量vx和竖直向下的分量vy，则该时刻粒子受到的洛伦兹力沿水平方向的分量为Fx＝qBvy 水平向右，沿竖直方向的分量为Fy＝qBvx 竖直向上；设粒子经过最低点N的速度大小为v1，O、N两点的竖直距离为y，水平距离为x，由O到N，水平方向由动量定理可得∑qBvyΔt＝mv1－0 其中∑qBvyΔt＝qB∑vyΔt＝qBy 竖直方向由动量定理可得qEt－∑qBvxΔt＝0－0 其中∑qBvxΔt＝qB∑vxΔt＝qBx 由动能定理可得 联立解得v1＝，y＝2d，x＝，故B、D正确，C错误。 BCD．法二：图乙中，将开始时粒子的速度v进行分解，其中一个分速度v1满足qE＝qv1B 且qv1B竖直向上，可知v1＝ 水平向右，另一个分速度v2＝v1，水平向左，则粒子的运动可分解为速度大小为v1的水平向右的匀速直线运动，和竖直面上速率为v2、初速度水平向左的匀速圆周运动。在N点，两个分运动的速度方向相同，所以vN＝2v1，联立解得vN＝，故B正确； 对于匀速圆周分运动，洛伦兹力提供向心力，根据运动的合成知，O、N两点间的竖直距离h＝2r，联立解得h＝2d，故C错误； 在匀速圆周分运动中，粒子从最高点O运动到最低点N，在水平方向上的位移为0，在匀速直线分运动中，这段过程粒子向右的位移x＝v1t＝ 由运动的合成规律可知，O、N两点的水平距离为x＝，故D正确。 故选BD。 三、解答题 11．光滑足够大的水平桌面上右侧，有一边长为的等腰直角三角形abc区域，其内分布着垂直桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为。以ac、cd、fa为边界分布着与边垂直，方向由指向的匀强电场，俯视图如图所示。三个可视为质点的小球、、在的延长线上，小球质量均为，小球带电量为，、不带电。小球位于绝缘轻质弹簧的右端，与弹簧接触但是不粘连，弹簧的左端系着小球B．初始时弹簧处于原长状态，C以初速度沿着连线方向与发生碰撞，碰撞后、粘连在一起，小球与弹簧分离后进入磁场，此后不再与、相碰。求： (1)弹簧弹性势能的最大值； (2)若小球能进入电场区，小球的初速度应满足的条件： (3)要使小球从点离开电场，则电场强度随初速度变化的表达式。 【答案】(1) (2) (3)，其中 【详解】（1）C与B碰撞，动量守恒 解得 B、C压缩弹簧至最大弹性势能时，三者共速，动量守恒 解得 由能量守恒得 （2）A分离时，弹簧原长，B、C速度，A速度，动量守恒 能量守恒 解得 A进入磁场需满足洛伦兹力提供向心力，轨道半径（不从cb边离开），由得 故，即 （3）A进入电场后，在磁场中运动的圆，第一次进入电场，减速后加速回到第一次离开边界的点(图中未画出轨迹)，速度方向与进入时相反，接着进入磁场运动的圆，第二次进入电场做类平抛运动(需要满足)，沿电场方向做匀加速，垂直电场方向做匀速。 从a点离开电场，水平位移，竖直位移，初速度方向有 电场方向有 代入解得： 由得到速度需要满足 12．如图所示，空间中有多个相同的匀强磁场区域，每个区域宽度和间距均为d，边界平行且足够长，磁场方向垂直纸面向外。一带电量为、质量为m的粒子从第1磁场区域左边界上的P点以大小为v、方向与边界夹角为60°的速度垂直射入磁场，粒子离开第1区域时与右边界恰好垂直。不计粒子所受的重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P点到离开第2磁场区域的时间t； (3)若只将粒子的速度大小改为2.5v，则粒子最远能运动到第几个磁场区域。 【答案】(1) (2) (3)第8个磁场区域 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如下图所示： 由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 由 得 （2）粒子在第1区域转过的圆心角，对应的时间 在第1、2区域间粒子做匀速直线运动，时间 粒子在第2区域转过的圆心角，时间 总时间 （3）假设粒子不能从第n个磁场区域穿出，即粒子在第n个磁场区域运行时，速度变为竖直向下；规定竖直向下为正方向，则粒子竖直方向的速度变化量为 设在任意时刻，粒子水平方向的速度分量为，洛伦兹力在竖直方向上满足 解得 即粒子在磁场中共能前进的距离，故粒子最远能运动到第8个磁场区域。 13．用下图所示的装置来探究离子源发射离子速度大小和方向的分布情况。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m，电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°；且各个方向均有速度大小连续分布在v0至2v0之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。 (1)求孔C所处位置的坐标x0； (2)求离子在x轴上落点横坐标的范围及离子在磁场中运动的最长时间t； (3)从孔C进入板间的离子具有不同的速度，若在N与M板之间加可调电压，求电流表示数刚好为0时的电压U0。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 所以孔C所处位置的坐标为 （2）速度大小为v′的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 当离子速度方向与x轴夹角为150°时，离子打在x轴上最左侧，根据几何关系可知，此时离子打在x轴上的位置坐标为 当离子速度方向沿y轴正方向射出时，离子打在x轴上最右侧，根据几何关系可知，此时离子打在x轴上的位置坐标为 由此可知，离子速度为v0时，左侧最远，离子速度为2v0时，右侧最远，所以离子在x轴上落点横坐标的范围为 离子在磁场中运动周期为 离子以与x轴正方向成150°入射，离子在磁场中运动时间最长，最长时间为 （3）如图所示 若离子能在C点进入板间，由几何关系可得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得不管离子从何角度发射，离子进入电场中竖直方向速度大小为 电流表示数刚好为0时，有， 解得电流表示数刚好为0时的电压为 14．如图所示，在空间建立直角坐标系区域有匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小；（碰撞瞬间，电场力可忽略） (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 【答案】(1) (2) (3)，为非负整数；最大面积 【详解】（1）初速度为的电子在场中运动时仅仅受到电场力的作用，合外力的大小 （2）沿轴方向做匀加速直线运动，垂直于轴方向做圆周运动，两个方向的速度垂直，沿轴方向由动能定理得 解得 时间内，有个电子撞击荧光屏，速度变为，由动量定理 解得 （3）沿轴从前向后看，初速度为的电子在垂直于轴的平面做匀速圆周运动，有 解得 由，得圆周运动周期 周期相同，所有不同初速度大小但同方向的电子从原点到平面的时间相同，圆周运动角度相同，在荧光屏上形成直线；不同方向不同速度大小的电子的位置在荧光屏上形成一个角度为的扇形区域，扇形区域的最大半径为电子位置离荧光屏与轴交点的最大距离 屏上接收到电子的区域的最大面积 沿轴方向，由动量定理 解得从原点到的时间 时间满足，为非负整数 解得，为非负整数 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三 电场与磁场 10.磁场 高考真题 1．（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 核心突破 突破1. 磁场的基本性质　安培力 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.磁场的产生与叠加 2.安培力的分析与计算 方向 左手定则 电流间的作用力：同向电流相互吸引，异向电流相互排斥 大小 直导线 F=BILsin θ，θ=0时F=0，θ=90°时F=BIL 导线为 曲线时 等效为ac直线电流 受力 分析 根据力的平衡条件或牛顿运动定律列方程 例题1. 如图是一个表面绝缘的“8”字形封闭线框ABCD（交叉处彼此绝缘），上下两部分结构对称，且均为等腰三角形。线框通过细线悬挂在弹簧测力计的下端，并通有沿ABCDA方向的电流。开始时，AB边恰好位于匀强磁场的上边界。现将线框沿竖直方向缓慢上提，直到CD边恰好位于匀强磁场的上边界，此过程中弹簧测力计的示数F（　　） A．一直变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．先变大后变小 例题2.如图所示，MN、PQ为水平放置的平行导轨，静止的导体棒ab垂直放置在导轨上并通以从b到a的恒定电流，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝，在竖直平面内加与导体棒ab垂直的匀强磁场，发现无论磁感应强度多大都不能使导体棒运动，则磁场的方向与轨道平面的夹角最大为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 突破2. 带电粒子在匀强磁场中的运动 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.分析带电粒子在匀强磁场中运动的方法 基本 思路 (1)画轨迹：确定圆心，用几何方法求半径并画出轨迹 (2)找联系：轨迹半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系，运动时间与周期相联系 (3)用规律：利用牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式 基本 公式 qvB=m，T= 重要 结论 r=，T= 圆心的 确定 (1)轨迹上的入射点和出射点的速度方向的垂线的交点为圆心，如图(a) (2)轨迹上入射点速度方向的垂线和入射点、出射点两点连线中垂线的交点为圆心，如图(b) (3)沿半径方向距入射点距离等于r的点，如图(c)(当r已知或可算) 半径的 确定 方法一：由物理公式求，由于Bqv= 所以半径r= 方法二：由几何关系求，一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)通过计算来确定 时间的 求解 方法一：由圆心角求，t=·T 方法二：由弧长求，t= 2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的三个重要结论 (1)粒子从同一直线边界射入磁场和射出磁场时，入射角等于出射角(如图甲，θ1=θ2=θ3)。 (2)沿半径方向射入圆形磁场的粒子，出射时亦沿半径方向(如图乙，两侧关于两圆心连线OO'对称)。 (3)粒子速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角(如图甲，α1=α2)。 3.带电粒子在磁场中运动的多解成因 (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)速度不确定形成多解； (4)运动的周期性形成多解。 例题3. 如图所示，直角区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），。一带正电的粒子以的速度从点沿方向射入磁场，从边射出且半径最大，粒子在磁场中运动的时间为；若仅将区域内磁场的方向反向，同样的粒子以的速度从点沿方向射入磁场，同样从边射出且半径最大，粒子在磁场中的运行时间为。不计粒子重力。则（　　） A． B． C． D． 例题4.如图所示，半径为R的圆形区域内有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从C点以速度v沿直径CD方向射入磁场，经磁场偏转后从F点射出磁场。粒子在磁场中的运动时间为，如果只把磁感应强度变为原来的3倍，粒子依然以相同的速度从C点射入，粒子在磁场中的运动时间为，忽略粒子的重力，则（　　） A． B． C． D． 突破3. 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题 1.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，利用动态圆思想寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。 2.粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 3.常见的动态圆 示意图 适用条件 应用方法 放缩圆 (轨迹圆的圆心在P1P2直线上) 粒子的入射点位置相同，速度方向一定，速度大小不同 以入射点P为定点，将半径放缩作轨迹圆，粒子恰好不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切 旋转圆 (轨迹圆的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上) 粒子的入射点位置相同，速度大小一定，速度方向不同 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件 平移圆 (轨迹圆的所有圆心在一条直线上) 粒子的入射点位置不同，速度大小、方向均一定 将半径为R=的圆进行平移 磁聚焦与 磁发散 　　　磁聚焦　　　　　　磁发散 粒子速度大小相同，轨迹圆半径等于区域圆半径 带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行——磁聚焦，从边缘某点以不同方向入射时平行出射——磁发散 例题5. 某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的区域存在方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场，在x轴处放置照相底片，大量a、b两种离子飘入（其初速度几乎为零）电压为U的加速电场，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后打到照相底片上，测得最大发射角的余弦值，已知a、b两种离子的电荷量均为，质量分别为2m和m，不考虑离子间相互作用。下面说法正确的是（　　） A．a离子在磁场中速度大小为 B．b离子在照相底片上形成的亮线长度为 C．打在照相底片上的a、b两种离子间的最近距离为 D．若加速电压在之间波动，要在底片上完全分辨出a、b两种离子，则不超过 例题6.利用磁场控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场下方有一长度为R的线状粒子源GH，其左边界G与竖直半径MO共线，该粒子源不断射出速度竖直向上、速度大小范围为的粒子，粒子带电量均为，质量均为m。在沿半径MO入射的粒子中，速度大小为的粒子恰好从O点正右方的N点离开磁场。不计粒子重力及粒子间相互作用力，求： （1）匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）圆形磁场中，有粒子通过的区域的面积S； （3）在圆形磁场右侧有一长度为无限长的竖直挡板CD，中心小孔与N点重合，CD右侧1.6R处是竖直长度为2R的竖直荧光屏PQ，其中心点与N等高。CD右侧空间加有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，若线状粒子源GH只发射速度竖直向上、速度大小为的粒子，射出的粒子在GH间均匀分布，所有通过小孔N的粒子打在荧光屏PQ上都被吸收。求荧光屏上有粒子打到区域的长度d及能打到荧光屏上的粒子数与通过小孔N的粒子数之比。 突破4.复合场中的摆线运动 1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。 2.配速法 (1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 3.用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyB Fy＝qvxB 两个方向分别列动量定理 －qvyBΔt＝mΔvx qvxBΔt＝mΔvy 即－qBΔy＝mΔvx qBΔx＝mΔvy 两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0 qBx＝mvy1－mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 例题7. 如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在电场中运动，不计粒子所受重力。若该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 提示：为了研究该粒子的运动，可以应用运动的合成与分解的方法，将它为0的初速度分解为大小相等的水平向左和水平向右的速度。 例题8. 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn。 素养提升 (2)配速法处理叠加场中的摆线类问题 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 实战演练 一、单选题 1．如图所示，倾角一定的两根平行且粗糙的金属导轨固定在水平面上，两导轨的顶端接有电源和滑动变阻器。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中（图中未画出）。有一金属杆ab在导轨上保持静止。下列判断正确的是（　　） A．增大接入电路中的阻值，金属杆ab受到的支持力一定变大 B．减小接入电路中的阻值，金属杆ab受到的静摩擦力一定变大 C．增大接入电路中的阻值，导轨对金属杆ab的作用力一定变大 D．仅将电源正负极对调，金属杆ab仍可能保持静止 2．两个完全相同的竖直弹簧秤，下方悬挂一粗细均匀的水平直导线ab，长度为L。整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图所示。若在ab中通入由a到b的恒定电流，电流强度为I，稳定后弹簧秤的示数为，若将电流反向，电流强度变为，稳定后弹簧秤的示数为，两次弹簧均处于伸长状态，重力加速度大小为g。则下列说法正确的是（　　） A． B． C．直导线ab的质量为 D．匀强磁场的磁感应强度B的大小为 3．如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为，方向竖直向下，磁感应强度大小为，方向垂直纸面（图中未画出）。一个电子由点以初速度水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中、和分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．由点至点的运动过程中，电子的速度逐渐增大 C．如果只将电子换成质子，其他条件不变，粒子的轨迹仍然能过点 D．电子的初速度只需大于即可形成图示轨迹 4．如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的洛伦兹力始终为零 B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功 C．小球的速率先增大后减少 D．管壁对小球的弹力方向先竖直向上，后竖直向下 5．如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率v经过S点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，粒子的出射点分布在四分之一圆周SP上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．粒子带负电 B．粒子的比荷为 C．从P点射出的粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子的入射速率为2v，粒子的出射点分布在二分之一圆周上 6．我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美丽的彩色“极光”，如图甲所示。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地磁场影响，与空气分子作用的发光现象。若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁场方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如图乙所示（相邻两个旋转圆之间的距离称为螺距）。下列说法正确的是（    ） A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大 B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的运动半径越大 C．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变，仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺距不变 D．漠河地区看到的“极光”将以顺时针方向（从下往上看）向前旋进 二、多选题 7．2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式上，空中无人作战方队通过天安门广场，接受祖国和人民检阅。霍尔元件已广泛应用于无人机的各个部分，如图所示，一块宽为、长为，高为的霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为的自由电子，通入方向向右的恒定电流时，元件处在垂直于上下表面方向向下的匀强磁场中，元件的前、后表面间出现稳定电压。则（　　） A．霍尔元件前表面的电势比后表面的高 B．霍尔元件前、后表面间的电压与无关 C．霍尔元件前、后表面间的电压与成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 8．如图所示，在真空中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场内点有一粒子源，可以不断释放初速度可忽略不计、质量为、带电量为的带电微粒。在磁场中点下方设置一水平探测板，为在探测板上的投影点，在其右侧有带电微粒到达点。逐渐增大板与点间的距离，当距离增大至时，探测板恰好没有带电微粒到达。已知知探测板面积足够大，不计微粒间的相互作用，微粒打到探测板上后即被吸收，重力加速度为，则下列判断中正确的是（　　） A．粒子带正电 B．磁场磁感应强度大小为 C．当探测板到点间的距离为时，微粒在磁场中运动的时间为 D．当探测板到点间的距离为时，微粒打在探测板上时速度的大小为 9．自由电子激光器是把电子束的能量转换成相干辐射的激光器，其核心部件是扭摆磁铁。如图所示，扭摆磁铁由沿y方向周期性交错排列的对、宽度均为的永磁体组成（）。电子经加速后，从坐标原点射入平面，在周期性磁场力作用下，电子几乎沿轴方向前进，同时在方向上做小幅摆动，并向外辐射出电磁波。电子运动情况相同时，可以辐射出相位相同的电磁波。已知磁场沿轴方向的分量随的变化关系为，电子的质量为、电荷量为。仅考虑对电子的作用，忽略电子质量和速率的变化。下列说法正确的是（　　） A．在到范围内，电子做匀速圆周运动 B．电子运动过程中，若经过点（0，a，0），则一定会经过点（0，2a，0） C．电子穿过扭摆磁铁的时间为 D．沿方向相距为的两点处运动情况相同的电子，辐射出的电磁波相位相同 10．在中国古代，人们利用磁体在地磁场中受力的特点制作司南用以辨别方向，如今在科学研究中，科学家常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示，某一竖直平面存在上、下宽度分别为和d的匀强电场与匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场沿水平方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场内紧贴上边界的O点由静止释放，运动到磁场的下边界的P点（图甲中未画出）时粒子的运动轨迹正好与下边界相切。若以上电场和磁场同时存在于一足够大的区域，如图乙所示，重新让粒子从O点由静止释放，经过时间t粒子第一次到达最低点N。下列说法正确的是（　　） A．图甲中粒子从O点运动到P点的时间为 B．图乙中粒子经过N点时速度大小为 C．图乙中O、N两点的竖直距离为d D．图乙中O、N两点的水平距离为 三、解答题 11．光滑足够大的水平桌面上右侧，有一边长为的等腰直角三角形abc区域，其内分布着垂直桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为。以ac、cd、fa为边界分布着与边垂直，方向由指向的匀强电场，俯视图如图所示。三个可视为质点的小球、、在的延长线上，小球质量均为，小球带电量为，、不带电。小球位于绝缘轻质弹簧的右端，与弹簧接触但是不粘连，弹簧的左端系着小球B．初始时弹簧处于原长状态，C以初速度沿着连线方向与发生碰撞，碰撞后、粘连在一起，小球与弹簧分离后进入磁场，此后不再与、相碰。求： (1)弹簧弹性势能的最大值； (2)若小球能进入电场区，小球的初速度应满足的条件： (3)要使小球从点离开电场，则电场强度随初速度变化的表达式。 12．如图所示，空间中有多个相同的匀强磁场区域，每个区域宽度和间距均为d，边界平行且足够长，磁场方向垂直纸面向外。一带电量为、质量为m的粒子从第1磁场区域左边界上的P点以大小为v、方向与边界夹角为60°的速度垂直射入磁场，粒子离开第1区域时与右边界恰好垂直。不计粒子所受的重力。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P点到离开第2磁场区域的时间t； (3)若只将粒子的速度大小改为2.5v，则粒子最远能运动到第几个磁场区域。 13．用下图所示的装置来探究离子源发射离子速度大小和方向的分布情况。x轴上方存在垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、足够长的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m，电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为60°；且各个方向均有速度大小连续分布在v0至2v0之间的离子射出。已知速度大小为v0、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力，不考虑离子间的碰撞和相互作用。 (1)求孔C所处位置的坐标x0； (2)求离子在x轴上落点横坐标的范围及离子在磁场中运动的最长时间t； (3)从孔C进入板间的离子具有不同的速度，若在N与M板之间加可调电压，求电流表示数刚好为0时的电压U0。 14．如图所示，在空间建立直角坐标系区域有匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小；（碰撞瞬间，电场力可忽略） (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $